基于雙指數跳擴散模型的滬深300ETF期權定價研究

［摘 要］ 用雙指數跳擴散模型來描述滬深300ETF資產收益率，用蒙特卡洛方法模擬出雙指數跳擴散模型和B-S模型下樣本路徑，旨在選擇更能反映期權實際價格變化的模型。結果顯示：雙指數跳擴散模型定價誤差小，擬合效果更優。雙指數跳擴散模型可以更準確地反映資產跳躍這一特點，同時可以很好地刻畫資產的“尖峰厚尾”和“波動率微笑”。

［關鍵詞］ 雙指數跳擴散模型； 蒙特卡洛； 滬深300ETF ； 期權定價

［中圖分類號］ F832.5 ［文獻標識碼］ A

期權定價研究有很長的歷史且一直處于核心地位。Black和Scholesl（1973）[1]首次提出了Black-Scholesl （B-S）模型，這為期權定價理論開啟了新篇章。B-S公式有7個假設，市場是完全競爭、標的資產價格服從幾何布朗運動等，實證研究發現：這些假設過于理想，不符合市場的實際情況。為了對B-S定價模型進行優化與補充，Merton（1973）[2]在B-S模型的基礎上加入了跳過程，并用泊松過程表示實際市場中標的資產價格不連續的跳躍，他認為標的資產的價格在受到重大影響的情況下會表現為跳躍。Merton（1976）[3]開始對跳擴散過程機制進行了研究和實驗，提出了帶“跳”的Merton跳擴散模型。但還是有很多學者認為這種跳躍是隨機偶然突發事件，所以在期權定價的時候沒有重視跳過程。但是經濟全球化是時代發展的必然趨勢，總會有各種各樣的突發事情發生，例如不可預測的天災人禍、國際關系的變化、不同國家政策的調整宏觀等等，這些都可能導致穩定持續變化的市場出現較大幅波動，出現跳躍現象。

Kou S G（2002）[4] 進一步在跳擴散模型的基礎上細分為正反、上下跳躍以及跳躍范圍，使跳躍過程具體化，提出了雙指數跳躍擴散模型（KDJ模型）。后面有很多學者將KDJ模型用以實證，Tse等（2003）[5] 用馬爾科夫蒙特卡洛法（MCMC法）分析雙指數跳擴散模型。 Ramezani（2007）[6]用不對稱跳躍擴散模型和對Samp;P500指數進行了實證分析。Lee和Mykland（2008）[7]提出了L-M法，一種全新的確定跳躍點的方法，該方法能檢測出給定的收益率數據是否服從純粹連續分布，從而識別出過程中發生的跳躍。王獻東等（2009年）[8]將雙指數跳躍擴散模型與股票相結合。Benth 和Fred Espen （2012）[9]對電力現貨價格進行實證分析，在幾種模型對比下得出跳擴散模型效果最優的結論。Christara， Leung（2016）[10]基于雙指數跳躍擴散模型對歐式期權和美式期權做了比較和系統論證。趙守娟（2017）[11]給出了雙指數跳擴散模型下的長期生效期權定價。莫英（2020）[12]將雙指數跳躍擴散模型用于對銅期權定價分析研究，發現KDJ模型擬合效果最佳。后來的研究將雙指數跳躍擴散模型應用于各種不同標的期權定價分析上，包括股票價格、房地產、上證50ETF、存款保險、復合期權、開放式基金費率、豆粕和白糖等方方面面。研究表明，正是由于雙指數跳擴散模型對不連續市場的合理刻畫，雙指數跳躍擴散模型可以靈活地解決上述各種期權定價問題，不論是傳統金融衍生市場（股票價格、上證50ETF等）還是與人們生活息息相關的生產生活領域（房地產、存款保險、實物期權等），凡具有回報率高峰、厚尾特征和“波動微笑”的資產，雙指數跳躍擴散模型都可以很好地改善這一情況，具有較好的擬合效果。

作為中國市場最具代表性的寬基指數——滬深300指數，不僅能夠作為投資業績的評價標準，而且可以反映整個A股市場全貌，素有中國A股\"晴雨表\"之稱。因此以滬深300指數為標的資產的滬深300ETF期權即成為投資者投資中國最合理、便捷的選擇之一。所以對滬深300ETF期權的研究也很有意義，并能給廣大投資者后續投資提供參考價值。

考慮到自2019年年底以來，新冠肺炎對正常社會秩序、經濟穩定造成的巨大影響，對于資產價格的定價就應該要充分考慮跳過程的存在。故本文采用雙指數跳擴散模型，對滬深300ETF期權做定價研究。與傳統的B-S模型作比較，得到兩種模型下的理論價格，而后與實際價格相比，旨在選擇一個更優的模型，可以更好地擬合實際期權的價格，以減少投資風險。

1 雙指數跳擴散模型介紹

Kou提出的雙指數跳躍擴散模型（KDJ模型）是在B-S模型的基礎上加入了一個帶跳躍項的擴散過程，KDJ模型分成了兩部分：一部分是資產的價格波動關于時間t的連續部分用幾何布朗運動來表示，另一部分是價格有跳躍的部分，其中規定跳躍規模的對數是雙指數分布，并用泊松過程表達突發事件也就是會產生跳躍的事件。這樣就得到了KDJ模型具體表達式如下：

2 基于雙指數跳擴散模型的滬深300ETF期權定價實證分析

2.1 MCMC算法

MCMC法基本原理是已知一個概率密度函數，需要從這個概率分布中隨機抽樣，來分析這個分布的一些統計特性。就是要從后驗密度函數中進行抽樣，抽出參數向量。但直接從后驗分布模擬原數據情況是非常困難的，所以MCMC方法就是設置了一個馬爾可夫鏈π（·），使其平穩分布是相同的后驗密度。當馬爾可夫鏈收斂，模擬值可以被視為一個樣本從后得到的。

在后驗密度函數P（S|θ）已知的情況下，由貝葉斯原理就可以得到θ在數據S上的條件分布，可表示為：π（θ|S）=cp（S|θ）π（θ），其中π（θ）是參數θ的先驗分布。

雙指數跳擴散模型的MCMC估計過程如下：

2.4 實證結果

選擇深交所自2020年10月9日到2022年10月14日滬深300ETF購2022年10月執行價格為4200的每日收盤價，做出時間序列圖，如圖1所示。

由圖1可以清晰地看到近兩年滬深300ETF每日收盤價波動還是比較大的。最高達到5.76，最低只有3.78。在此基礎上做出時序圖的概率直方圖，與正態分布相比看原數據是否平衡，是否存在跳躍現象（圖2）。

已知正態分布的偏度為0，峰度為3，而由圖2滬深300ETF日收盤價的概率直方圖輸出結果可知：直方圖偏度：-0.3137相對于正態分布呈現出左偏態，峰度：4.4981大于3偏離正態分布。說明該數據有明顯尖端現象，序列不平衡，存在跳躍點。由于原數據波動較大且反映的信息有限，下面做對數處理，Ri=lnSi－lnSi－1，做出日對數收益率時序圖。而后用LM法逐點該序列進行跳過程識別，共篩選出8個跳躍點，其中1個向上的跳躍點，在2022/3/15這一天；同時篩選出7個向下跳躍點，分別是2021/3/16、2021/7/26、2021/7/27、2022/1/25、2022/3/7、2022/3/14、2022/4/25這7天 ，即可以得到向上跳躍概率p=1/488，向下跳躍概率q=7/488。

然后對識別出的跳躍點采取均值插補法，即用該點前后各3位共6位數的平均值代替。整理數據即得到修正后的時間序列RC，進一步做出修正后的對數收益率時間序列圖。為了更直觀地看出區別，將修正前后的對數收益率時序圖做在一張圖上對比，如圖3所示。

由圖3對比圖可以明顯看出在數據中后部有幾個跳躍點被剔除了，再由均值替換后得到了更平滑連續序列圖。

在得到修正后的收益率數據后，計算此時的峰度、偏度。處理前后偏度由-0.3137變為 -0.0368；峰度4.4981 到3.4648，更接近正態分布的峰度值3了，有很大的改進。說明雙指數跳擴散模型對滬深300ETF收盤價的處理是有效果的。進一步得出雙指數跳擴散模型各參數的參數估計值。具體的估計值由表3所示。

在得到的雙指數跳擴散模型各參數估計值后，用模型各參數導入運行該模型，用MCMC方法模擬生成收益率數據序列， 然后做出模型模擬生成的數據和實際數據的Q-Q圖， 如圖4所示。

由圖4中可以發現，所生成的擬合數據與實際值基本是一個直線，且重合程度非常大。說明用雙指數跳擴散模型模擬出的數據的確能夠很好擬合真實數據的分布狀況，所以用雙指數跳擴散模型擬合滬深300ETF是可行有效的。

2.5 模型比較

在樣本為滬深300ETF購2022年9月執行價格為4200的數據運行KDJ模型和B-S定價模型。由于數據過多，篇幅有限，選取2022-11-29到2022-12-28一個月的數據來做模型對比分析。獲取滬深300ETF這一個月內K=4200的相關數據帶入兩個模型計算出理論期權的價格。然后利用MAE、MPE、RMSE三個相對誤差指標來判斷哪個模型計算出的期權理論價值與期權實際價格更接近。

將每日交易真實值與計算出的模型每日理論值的結果可視化，得到圖5。

通過圖5可知，雙指數跳擴散模型的圖像走勢和實際價格更相似，而且與實際價格的距離也更接近。計算出的三個指標的值也能看出來雙指數跳擴散模型的誤差更小，可以更好擬合實際價格的變化。

為避免特例干擾，隨機抽取滬深300ETF購2022年12月14個行權價中的5個期權，重復上述的步驟，計算總誤差值，匯總，以得到一個更普遍的結論。結果顯示如表4所示。

從表4看，整體來說不論執行價格K是3300、3800、4000、4200還是4600，KDJ模型的三個指標值都是小于B-S模型的。KDJ模型的MSE大致在0.1左右波動但B-S模型的MSE大致在0.2波動，而且KDJ模型RMSE最小可以達到0.002，和真實數據的誤差非常之小。而B-S的誤差會稍大一些。所以總的來說，雙指數跳擴散模型的理論價格比B-S模型的理論價值更接近滬深300ETF的真實值，誤差更小，擬合效果更好。

3 結論

期權定價一直都是金融研究的核心，各種期權定價也得到了不斷地完善。滬深300ETF是晴雨表，能夠很好地反映經濟情況。關于滬深300ETF的研究，有用各種模型來擬合的，但基本沒有人使用雙指數跳擴散模型來擬合。本文分析了KDJ模型適應的情景，再結合新冠疫情，KDJ模型是很適合用來擬合疫情期間滬深300ETF變化的。實證表明：KDJ模型對滬深300ETF的擬合效果確實優于傳統的B-S模型。KDJ模型能更好地刻畫價格的尖端厚尾和波動率微笑，更適合于疫情期間計算期權的理論價值，可以為投資者提供參考。

［ 參 考 文 獻 ］

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Research on Option Pricing of CSI 300ETF Based on Double Exponential Jump Diffusion Model

ZHU Zhaomei， SHANG Hao

（School of Science， Hubei University of Tech， Wuhan 430068， China）

Abstract： Since the end of 2019， Covid-19， the outbreak of this sudden event to people’s normal social order， economic stability caused a huge impact. The price of assets turns into a jump. In this paper， a double exponential jump diffusion model is used to describe the yield of CSI 300 Index 300 ETF. The sample paths under the double exponential jump diffusion model and B S model are Monte Carlo method， the aim is to choose a model that can better reflect the real price change of options. The results show that the double exponential jump diffusion model has less pricing error and better fitting effect. The double index jump diffusion model can reflect the jump of assets more accurately， and can describe the“Peak fat tail” and“Volatility smile” of assets.

Keywords： double exponential jump diffusion model; Monte Carlo; CSI 300 Index 300 ETF ；pricing

［責任編校： 閆 品］

［收稿日期］ 2023-06-07

［基金項目］ 國家社會科學基金（24BTJ068）

［第一作者］ 祝兆媚（1998-）， 湖北恩施人， 湖北工業大學碩士研究生， 研究方向為金融統計。

［通信作者］ 商 豪（1982-）， 湖北羅田人， 湖北工業大學副教授， 研究方向為隨機分析及其在金融中的應用、 金融統計。