粘彈性邊界輸入及大直徑隧道地震反應數值模擬

[摘要] """為了確定粘彈性邊界輸入地震動時底部波場的選擇，并在此基礎上研究兩條并行大直徑盾構隧道的地震響應，建立了相應的數值模型進行分析。首先通過對粘彈性邊界地震動輸入波動法的研究，使用自由場和散射場算例對比了求解模型底部等效節點力時幾種不同的波場選擇方式。然后，使用粘彈性邊界和前面的地震動輸入方法，建立了大直徑不同間距的土-隧道有限元模型，輸入不同頻譜特性的地震動，對土-隧道體系地震響應問題進行分析。研究結果表明：粘彈性邊界以等效節點力的方式輸入地震動時，采用自由波場求解等效節點力精度最高，采用基于人工邊界子結構的地震動輸入方法也有較高精度；地震動頻譜特性對隧道的動力響應影響較大，隧道間距對隧道的動力響應影響相對較??；隧道間距對隧道襯砌的彎矩和軸力的影響存在差異。研究結果可為使用粘彈性邊界時地震動的準確輸入和大直徑盾構隧道抗震設計提供參考。

[關鍵詞] 粘彈性邊界; 大直徑隧道; 地震響應; 動力相互作用

[DOI] 10.19987/j.dzkxjz.2024-013

基金項目："中國地震局工程力學研究所基本科研業務費專項資助項目（2019B10）資助。

0 "引言

隨著工程技術的快速發展，大量的隧道建設開始向大直徑、大深度、長距離和高烈度場地發展^[1-2]。同時，隨著城市地下空間利用率日益提高，雙線隧道或隧道相互鄰近的情況不可避免。大量的研究和震害現場調查表明，穿越復雜場地的隧道襯砌往往存在開裂、坍塌、滲水等破壞情況^[3-4]，這些已引起了 工程設計人員和研究者的高度重視。

目前，有很多學者對地震作用下土-隧道之間的相互作用進行研究，主要研究方法有理論推導、原型觀測、模型試驗和數值模擬等。理論推導形式復雜，且往往局限于各向同性彈性場地和線彈性襯砌等理想情況^[5]，限制了其實際應用。原型觀測^[3-4]結果可靠，其缺點是往往只能觀測結果而不能獲得破壞時的響應。模型試驗主要有擬靜力試驗、振動臺試驗和離心機振動臺試驗。其中，鄒炎等^[6]通過振動臺試驗研究了穿過土層分界面的隧道地震反應，認為此類隧道產生破壞的主要原因是隧道相對位移的出現；Wang等^[7]通過振動臺試驗研究了土-隧道-結構相互作用系統的地震反應規律，發現隧道結構的存在對周圍土體和地表建筑的影響不同，且與地震動頻譜特性有關；王彤輝等^[8]通過振動臺試驗分析了地震動特性對場地-地下結構-地上結構相互作用體系的影響；Baziar等^[9]通過離心機振動臺試驗及數值模擬分析，發現隧道的存在對地表加速度影響有正有負；李延濤等^[10]通過振動臺試驗研究了在上部結構存在時土-上下平行隧道體系的地震響應；Liang等^[11]通過振動臺試驗和數值模擬研究了超大直徑盾構隧道上軟下硬場地的響應。在數值模擬方面的研究也很多，有直接對土-隧道體系進行分析的，如王國波等^[12]，黃忠凱和張冬梅^[13]，張季等^[14]；還有通過反應位移法等簡化方法的，如Kontoe等^[15]對圓形隧道抗震設計的4個解析解進行了驗證，并驗證了使用等效線性化來模擬非線性的近似方法；Zhao等^[16]通過數值模擬采用改進反應位移法研究了大直徑海底盾構隧道混凝土襯砌在地震荷載作用下的損傷模式。當地震動作用于土-隧道體系時，其動力相互作用是復雜的，受到場地和地震動頻譜特性、有無并行隧道及其間距等的影響，有必要對該體系的動力響應進行進一步研究。

地下隧道的地震反應計算，是半無限域中土-結動力相互作用問題，在進行涉及到地基半無限性影響的動力計算時，需要使用人工邊界模擬半無限域對有限計算區域的作用，使得散射波穿過人工邊界或被人工邊界吸收而不反射回到計算區域。正確的地震動輸入方法是數值模擬得到準確結果的前提。本文首先通過SV波垂直入射下的自由場和散射場算例給出了使用粘彈性邊界時合理的底邊界等效節點力計算方法；然后，采用粘彈性邊界和前面提到的地震動輸入方法，建立了實際工程中典型的上軟下硬場地雙線大直徑盾構隧道的數值計算模型，研究地震作用下隧道襯砌的受力情況并探討了地震動頻譜特性和隧道間距對隧道襯砌動力響應的影響。本研究對復雜場地大直徑隧道的抗震設計和性能分析有一定的參考作用。

1 "粘彈性邊界與地震動輸入

1.1 "粘彈性邊界

ABAQUS自帶的無限元在應用于動力計算時，本質上是粘性邊界^[17]，因此也具有粘性邊界在低頻動力荷載作用下模型容易整體漂移的缺點，粘彈性邊界克服了粘性邊界這一缺點，能吸收散射波并模擬半無限地基的恢復能力^[18]。粘彈性邊界首先由Deeks和Randolph^[19]提出；隨后劉晶波等^[18]在此基礎上給出了二維時域粘彈性邊界和外源荷載輸入方法，并發展了三維時域粘彈性邊界^[20]；后來，劉晶波等^[21]又提出了一種基于子結構的外源地震動輸入方法，避免了輸入地震動時對自由場應力進行求解。粘彈性邊界概念清晰，實現簡單，穩定性良好，因此被廣泛應用^{[14，16，22]}。

粘彈性邊界是在有限的土體模型邊界上施加彈簧和阻尼器元件來模擬半無限土體的，其彈簧系數K和阻尼系數C分別如下：

將地震動合理輸入到計算區域是取得正確數值模擬結果的前提。使用粘彈性邊界，需要將地震動轉化為人工邊界節點上的等效節點力實現地震動輸入，如果使用強制的位移或加速度邊界條件輸入會導致粘彈性邊界失效^{[22， 24]}。根據劉晶波等的研究^[18]，施加在粘彈性邊界上一點P的力為：

1.2 "自由場和散射場工況及計算模型

根據馬笙杰等^[22]，譚輝等^[24]的研究，在數值模擬時應當在土體側面和底面截斷處都施加粘彈性邊界，側邊界輸入波場應為自由波場。基于此，在本節中，保持側邊界均為自由波場，僅考慮底部波場的不同，再與劉晶波等^[21]提出的基于人工邊界子結構的地震動輸入方法對比。具體的計算方法見表1。

1.3 "不同方法下的結果分析

圖3為自由場各方法的計算結果，從自由場的計算結果中可以看到，求解底部邊界等效節點荷載時速度采用入射波場或自由波場，位移采用自由波場能獲得最佳的模擬精度，如果位移選擇了入射波場，則無論速度輸入自由波場還是入射波場都存在較大的誤差，采用子結構法輸入地震動的模擬精度也較高。在粘彈性邊界中，反射波在邊界上引起的荷載一部分由阻尼器吸收，該部分荷載不需要額外輸入來平衡，剩余部分由彈簧來平衡。當底邊界上的等效節點力采用方法1，3的公式進行計算時，位移項僅考慮了入射波場，沒有考慮反射波對底邊界位移的影響，因此計算結果與理論值存在較大差異。同時，發現方法1和方法3，方法2和方法4結果完全相同，這是因為在底部邊界，當二維SV波垂直入射時，自由場只有水平位移。因此，根據胡克定律，自由場應力表示為：

圖4為散射場A，B，C，D四個點在不同方法下水平方向位移與遠置邊界計算結果的對比，從圖4可以看出，方法2，4，5與遠置邊界擬合度較高，但都不是完全重合，這是因為粘彈性邊界是一種近似的人工邊界，在推導過程中采用了一系列假設，但是從計算結果來看，完全滿足工程精度要求；方法1，3如前文所述，其計算結果存在較大偏差。

綜上所述，當采用波動法作為粘彈性邊界輸入方法時，底邊界建議采用方法2，4所列公式，可以高精度地模擬計算域有散射波的情況；基于人工邊界子結構的地震動輸入方法也具有較高的精度?；谌斯み吔缱咏Y構的地震動輸入方法使用方便，可用于不同的應力型人工邊界，但需要對人工邊界子結構模型進行一次動力計算，速度較慢。

2 "隧道-土體模型數值模擬

2.1 "模型參數

為了分析不同地震動作用下不同間距的大直徑隧道的響應，在ABAQUS中建立了不同隧道間距的土-隧道模型，計算模型見圖5，其中，B表示并行隧道的間距。選擇90 m厚的上軟下硬土層進行分析，為了減小邊界對計算結果的影響，土體水平向寬度取為300 m。隧道外直徑為15 m，襯砌厚度為0.65 m，隧道最大埋深為27.5 m，采用4節點平面應變單元離散土體和襯砌。為了滿足波傳播的條件^[25]，土體單元的最大尺寸為1 m×1 m，并在隧道附近適當加密，土體劃分了約45000個單元（不同工況方法單元數略有不同），每個隧道襯砌劃分了1920個單元。隧道襯砌和土體之間為有限滑移接觸，其中，法向為“硬”接觸，切向為罰剛度算法，摩擦系數為0.6。為了更貼近隧道的真實受力情況，參考王蘇等^[26]的研究，對模型進行了地應力平衡。地震動以SV波形式從土體底部入射，為了考慮地震動頻譜特性對隧道動力響應的影響，分別輸入El Centro波，Northridge波，Kobe波，并將其調幅到0.1g，輸入地震動的加速度時程曲線見圖6。

采用等效線性化模型考慮土體的非線性，利用一維土層反應分析程序EERA計算自由場響應，獲得土體的等效阻尼比和等效剪切模量。將土體的等效阻尼比以瑞利阻尼的形式施加，以自由場的一階和二階頻率計算瑞利阻尼參數。土層信息見表2，各類土的剪切模量比、阻尼比與剪應變的關系曲線見圖7。隧道襯砌選擇為C60混凝土，采用基于規范的混凝土損傷塑性（CDP）模型來考慮混凝土的彈塑性，具體實現方式參考方自虎等^[27]的研究。混凝土密度為2400 kg/m³，彈性模量為36000 MPa，泊松比為0.18。根據土層參數和自由場響應，采用自編Python腳本批量施加粘彈性邊界和等效節點荷載。

2.2 "數值模擬結果

分別考察在輸入不同地震動，隧道間距為20 m、 25 m、 30 m、40 m和50 m的雙線隧道以及單孔隧道情況下襯砌彎矩（圖8）和軸力（圖9）的不同，來分析地震動頻譜特性和隧道間距對隧道受力的影響。彎矩以使襯砌外側受拉為正，軸力以受壓為正，為方便起見隧道襯砌的環寬取1 m。

2.2.1 "代表性計算結果

由于土-隧道模型為對稱結構，當地震動從底部垂直入射時，左右隧道受力也是對稱的，因此，只分析一側的隧道。圖8給出了在0.1g的El Centro波入射時單一隧道以及不同間距并行隧道中左側隧道襯砌的總彎矩沿著圓周方向的分布圖。從圖8可以看出，襯砌所受的彎矩在水平和豎直方向上最大，水平位置附近為外側受拉，豎直方向附近為內側受拉。并行隧道的彎矩與單一隧道有較大區別，且與并行隧道的間距關系較大，如當B=20 m、50 m時，并行左側隧道襯砌的最大彎矩分別為548.5 kN·m、603.2 kN·m，比單一隧道襯砌的最大彎矩625.1 kN·m分別下降了約12.3%、3.5%。和單一隧道相比，在并行隧道拱頂拱底附近和2個隧道內側相對的水平位置附近，單一隧道襯砌的彎矩大于并行隧道，而在并行隧道內側上下45°方向則相反，并行隧道的間距越小，這一趨勢越明顯。在并行隧道靠外的一側，單一隧道襯砌的彎矩和并行隧道襯砌的彎矩相差不大。

圖9給出了在0.1g的El Centro波入射時單一隧道以及不同間距并行隧道中左側隧道襯砌的總軸力沿著圓周方向的分布圖。由圖9可知，隧道襯砌軸力以壓力為主，最小值出現在隧道頂部位置，在底部和中部也較小，最大值出現在2個隧道下半部相對方向的45°位置。并行隧道襯砌所受的軸力比單一隧道要大一些，兩個隧道的間距越小這種趨勢越明顯。

2.2.2 "場地的地震響應

為了說明地震動頻譜特性對場地響應的影響，提取了不同入射波作用下自由場中隧道所在土層相對于隧道底部土體的最大位移的絕對值（圖10）。由圖10可知，地震動頻譜特性對場地的最大相對位移影響較大。在0.1g的El Centro波、Northridge波和Kobe波作用下，隧道頂部土層相對于隧道底部土層的最大相對位移分別為6.71 mm、5.51 mm和3.84 mm，由于隧道的受力和變形主要由土體的相對位移引起，因此可以預見，在El Centro波作用下，隧道襯砌的動彎矩和動軸力最大，在Kobe波作用下，隧道襯砌的動彎矩和動軸力最小。

2.2.3 "隧道所受動力荷載與隧道間距和地震動頻譜特性的關系

用隧道襯砌受力的最大最小值減去地應力平衡分析步的隧道襯砌受力，即可得到隧道襯砌的最大動彎矩和動軸力，以此來分析并行隧道的動力相互作用。

首先考慮地震動頻譜特性的影響，在El Centro波、Northridge波和Kobe波作用下，單孔隧道襯砌所受的最大正動彎矩分別為206.58 kN·m，162.40 kN·m，107.63 kN·m?？梢?，不同地震動入射時，隧道襯砌所受的動軸力和動彎矩有很大的區別。

圖11為不同間距，不同地震動入射時，隧道襯砌所受動彎矩的包絡圖。可以看出，隧道襯砌動彎矩的最大值出現在襯砌上下共軛45°方向上，且襯砌所受正負動彎矩的最大值位置不同。隨著隧道間距的減小，雙線隧道襯砌所受正負動彎矩在2個隧道相對側的上下45°方向增加明顯，有逐漸向水平方向移動的趨勢，而在另一側變化不大。以左側隧道的負動彎矩為例，當B=20 m、25 m、30 m時，El Centro波入射下的并行左側隧道的負動彎矩相較單孔隧道提高了15.6%、9.5%、5.8%，在Northridge波入射時，提高值為8.6%、3.3%、3.4%，而在Kobe波入射時，分別提高了12.9%、5.4%、2.0%。這說明并行隧道間距對地震動作用下襯砌動彎矩的影響很大，這種影響主要體現在2個隧道相靠近的一側，且與地震動頻譜特性的關系也較大。

圖12為不同間距，不同地震動入射時，隧道所受動軸力的包絡圖?？梢钥闯觯淼浪軇虞S力的最大值位置和動彎矩類似，出現在襯砌上下共軛45°方向上。隨著隧道間距的減小，襯砌所受動軸力逐漸增大，增大位置出現在并行隧道相對側的上部45°和另一側下部45°位置，而在其他位置變化不大，甚至有可能略有減小。以右側隧道的正動軸力為例，當B=20 m、25 m、30 m時，El Centro波入射下并行右側隧道的正動軸力相較單孔隧道提高了9.5%、5.7%、3.2%，在Northridge波入射時，提高值為5.5%、3.6%、3.7%，而在Kobe波入射時，提高值為10.4%、4.8%、1.8%。這說明并行隧道間距對地震動作用下襯砌動軸力的影響很大，這種影響主要體現在2個隧道相靠近的一側的上半部和另一側的下半部，且受地震動頻譜特性的影響，地震動頻譜特性對襯砌動軸力和動彎矩的影響存在不同。

3 "結論

本文從地震動輸入波動法節點等效荷載的計算公式入手，在使用中發現理論公式的計算結果有一定偏差，通過自由場和散射場算例驗證了底邊界幾種輸入方法的計算精度，并通過分析計算結果與理論解和遠置邊界計算結果的差異，得出精確程度最高的地震動輸入方式。然后，利用有限元軟件建立了土-大直徑隧道模型，采用粘彈性邊界和前面提出的地震動輸入方式，考慮地震動頻譜特性和隧道間距的影響，得出了以下結論：

（1）粘彈性邊界采用等效節點荷載方式輸入地震動時，側面邊界輸入自由波場，底部位移輸入自由波場，速度輸入入射波場或自由波場，能得到最高的模擬精度，基于人工邊界子結構的地震動輸入方法精度也較高。

（2）隧道在地震動作用下的響應受地震動頻譜成分的影響較大，在設計時應當綜合考慮多條地震動。

（3）地震作用下，隧道襯砌所受的動彎矩、動軸力峰值位置出現在襯砌的共軛45°方向，與靜力作用下襯砌彎矩和軸力最大值的位置不同。

（4）地震動作用下雙線隧道和單一隧道的受力存在差異，隨著雙線隧道的間距逐漸減小，2個隧道之間的動力相互作用會越來越強烈，且這種作用對動彎矩和動軸力的影響不同。

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Seismic motion input methods of viscous-elastic boundary and numerical simulation of seismic response on large diameter tunnels

Jing Weibiao， Wang Zhan， Jing Liping Qi Wenhao

Institute of Engineering Mechanics， China Earthquake Administration， Heilongjiang Harbin 150080， China

[Abstract] """"To determine the selection of input wave field at the bottom of the viscous-elastic boundary， and study the seismic response of two parallel large-diameter shield tunnels， corresponding numerical models were established for analysis. First， through the study of wave method for seismic motion input of viscous-elastic boundary， several different wave fields selection methods for calculating the equivalent nodal forces at the bottom of the model were compared using free field and scattering field models. Then， using viscous-elastic boundary and the previous seismic motion input method， established soil-tunnels system finite element models with different interval between two large-diameter tunnels and input seismic waves with different spectral characteristics analyzed the dynamic response of the soil-tunnels system. The results show that the simulation accuracy is highest when calculating the equivalent nodal loads by the free wave field， and the seismic input method based on the substructure of artificial boundaries also has high accuracy; spectral characteristics of seismic motion has a significant impact on the dynamic response of tunnels， while the influence of two tunnels interval is relatively small; the influence of tunnels interval on the bending moment and axial force of tunnels lining is different. The research results can provide reference for accurately seismic motion input of viscous-elastic boundary and seismic design of large-diameter shield tunnels.

[Keywords] viscous-elastic boundary; large diameter tunnel; seismic response; dynamic interaction