極大子群的跡和Sylow子群的性質對可解群的影響

摘要： 結合Sylow子群的可補及交換條件， 利用極大子群的跡的超可解性質研究若G的每個極大子群都有超可解的跡， 則G是否為可解群的問題， 得到了關于可解群的充分必要條件.

關鍵詞： 極大子群； 跡； Sylow 子群； 可解群

中圖分類號： O152.1文獻標志碼： A文章編號： 1671-5489（2025）02-0425-03

Influence of Traces of Maximal Subgroups andProperties of Sylow Subgroups on Solvable Groups

HUANG Xiao1， ZHANG Jia^1，2， ZHU Liyu1

（1. School of Mathematics and Information， China West Normal University， Nanchong 637009， Sichuan Province，China； 2. School of Mathematics and Sta

tistics， Northeast Normal University， Changchun 130024， China）

Abstract： By combining the complemented and abelian conditions of Sylow subgroups， and utilizingthe supersolvable property of traces of maximal subgroups，

we studied the question of whether G was a solvable group （if each maximal subgroup of G had a supersolvable trace），

and obtained some sufficient and necessary conditions for solvable groups.

Keywords： maximal subgroup; trace; Sylow subgroup; solvable group

收稿日期： 2024-04-26. 網絡首發日期： 2024-09-06.

第一作者簡介： 黃 瀟（2000—）， 男， 漢族， 碩士研究生， 從事有限群理論的研究， E-mail： 242021623@qq.com.

通信作者簡介： 張 佳（1988—）， 男， 漢族， 博士， 副教授， 從事有限群理論的研究， E-mail： zhangjia198866@126.com.

基金項目： 國家自然科學基金（批準號： 12371018； 12001436）、 四川省自然科學基金（批準號： 2022NSFSC1843）、 教育部春暉計劃合作科研項目

（批準號： HZKY20220567）、 中國博士后科學基金（批準號： 2023M730545）和西華師范大學基本科研業務費項目（批準號： 17E091； 18B032）.

網絡首發地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.o.20240905.1130.002.

本文的群均為有限階的， 所有術語和符號可參考文獻［1-3］.記群G的階為G， G全體素因子的集合為π（G）， Alt;G表示A是G的真子群， G的截斷是G的子群的商群. 文獻［4］引入了邊界因子和跡的概念， 并提出了如下問題： 若G的每個極大子群都有超可解的跡， 則G是否為可解群. 在此基礎上， 文獻［5］考察了極大子群和容許子群的跡與p-超可解超中心的關系; 文獻［6］研究了極大子群的冪零跡對可解群的影響； 文獻［7］分析了c-極大子群的跡與可解群的關系； 文獻［8］利用極大子群邊界因子的相關性質刻畫了一類非可解群. 本文利用G的Sylow p-子群的可補條件、 對極大子群的跡及其Sylow 2-子群的交換條件， 給出G為可解群的充分必要條件.

定義1^［4］設Alt;G， AG是A在G中的柱心. G的任一主因子H/AG稱為A的G-邊界因子（邊界因子）. 任選A的一個G-邊界因子H/AG， （H∩A）/AG稱為A的G-跡（跡）.

定義2^［3］如果群G存在主群列

1=G0≤G1≤…≤Gt-1≤Gt=G，

使得對任意的i∈{1，2，…，t}， Gi/Gi-1是交換的（Gi/Gi-1是素數階的）， 則稱群G是可解群（超可解群）.

定義3^［1］設H是群G的子群， 如果G存在子群K， 使得G=HK且H∩K=1， 則稱H在G中是可補的， 其中K為H在G中的補子群.

引理1^［9］若G的每個極大子群都是超可解的， 則G是可解的.

定理1 設P是G的一個Sylow 2-子群， 如果G滿足下列條件：

1） 每個極大子群有一個超可解的跡；

2） P在G中是可補的.

則G的非交換合成因子同構于PSL（2，q）， q是梅森素數且16（q2-1）.

證明： 情形1） G是單群.

此時， 對G的每個極大子群M， G/1=G/MG是唯一的G-邊界因子. 根據條件1）， （M∩G）/MGM∩G=M是超可解的. 因此根據引理1可知， G是可解群.

情形2） G是非單群.

① 對于G的極小正規子群L， G/L滿足結論. 任意選取G的一個極小正規子群L， 考慮商群G/L. 如果2π（G/L）， 則G/L是可解的（奇階群可解定理）. 如果2∈π（G/L）， 則PL/L是G/L的一個Sylow 2-子群且PL/L在G/L中是可補的. 因此， 對于G/L的任意一個極大子群M/L， M是G的極大子群. 任取H/L（M/L）G/L是M/L的一個G/L-邊界因子， （H∩M）/L（M/L）G/L是M/L的一個G/L-跡， 因為H/L（M/L）G/LH/MG和（H∩M）/L（M/L）G/L（H∩M）/MG， 所以H/MG， （H∩M）/MG分別是M的一個G-邊界因子和G-跡. 從而根據定義1和定義2可知， G/L滿足條件1）和2）. 對群的階G用歸納法可知， G/L滿足結論.

② 取定G的一個極小正規子群L， 如果L是可解群， 則根據①的結論， G是可解群. 如果L是非可解群， 則L=S×…×S， 這里S是非交換單群. 因為P在G中是可補的， 所以L的Sylow 2-子群在L中是可補的， 從而S的Sylow 2-子群在S中也是可補的. 根據文獻［10］中推論5.3或推論5.6可知， SPSL（2，q）， q是梅森素數.

由上述證明過程可知， 2∈π（L）. 任選L的Sylow 2-子群Q， 則由Frattini論斷可知， G=LNG（Q）=LM， 這里G的極大子群M使得NG（Q）≤M. 因此， M

G=1， L∩Mlt;M， NL（Q）≤L∩MM. 根據假設條件， M的跡L∩M是超可解的， 則NL（Q）是超可解的. 設R是S的一個Sylow 2

-子群， 由L和Q的構造可知， NS（R）≤NL（Q）， NS（R）是超可解的， PSL（2，q）=q（q2-1）2. 假設16（q

2-1）， 因為3是最小的梅森素數， 所以8（q2-1）， 進而4（q2-1）2， R=4. 由文獻［11］中定理8.27知， NS（R）A4不是超可解的， 矛盾. 證畢.

結合定理1、 文獻［10］中推論5.6和Hall^［12］關于可解群的結果， 可得如下推論.

推論1 設P是G的一個Sylow 2-子群， 則G是可解群當且僅當G滿足下列條件：

1） 每個極大子群具有一個超可解的跡；

2） P在G中是可補的；

3） PSL（2，q）不是G的截斷， q是梅森素數且16（q2-1）.

定理2 設P是G的一個Sylow p-子群， p=3（或5）， 則G是可解群當且僅當G滿足下列條件：

1） 每個極大子群有一個超可解的跡；

2） P在G中是可補的.

證明： 類似定理1的證明過程， 這里只討論充分性證明過程中G是非單群的情形. 根據定義1和定義3， G有唯一的極小正規子群L使得G/L為可解群， L=S×…×S， S為非交換的單群.

當p=5時， SPSL（2，5）A5； 當p=3時， SPSL（2，8）. 根據A5和PSL（2，8）的結構， 對它們的一個Sylow 2-子群R， 分別可得NS（R）A4和NS（R）23∶7都是非超可解的， 矛盾. 因此， L是可解群， 從而G是可解群. 證畢.

定理3 G是可解群當且僅當G的每個極大子群都有一個超可解的跡， 且跡有交換的Sylow 2-子群.

證明： 必要性. 由G的可解性可知， 對G的每個極大子群， 其僅有交換的邊界主因子. 因此其僅有交換的跡， 且跡的Sylow 2-子群是交換的.

充分性. 用極小階反例法， 即G是滿足定理條件但結論不成立且階為最小的群.

1） G是非單群. 類似定理1證明過程中①可知， G是可解群， 這與G是極小階反例矛盾.

2） G存在唯一的極小正規子群L， 使得G/L是可解的且L是非可解的. 由1）， 可任意選取G的一個極小正規子群L， 考慮商群G/L. 對G/L的任意一個極大子群M/L， M是G的極大子群. 任取H/L（M/L）G/L是M/L一個G/L-邊界因子， （H∩M）/L（M/L）G/L是M/L的一個G/L-跡， T/L（M/L）G/L是（H∩M）/L（M/L）G/L的Sylow 2-子群. 類似定理1中情形2）的證明過程②可知， G/L滿足定理條件. 因此由G的極小性可知， G/L為可解群且L是非可解的.

3） 由2）可知， G有唯一的極小正規子群L和LΦ（G）（可解群系是飽和群系）， 2∈π（L）. 任選L的Sylow 2-子群Q， G=LNG（Q）=LM（Frattini論斷）， 這里G的極大子群M使得NG（Q）≤M. 從而MG=1， L∩Mlt;M， L∩MM. 由極小正規子群的構造可知， L=S×…×S， 這里S是非交換單群.

根據假設條件， M的跡L∩M是超可解的， 則L∩M也是2-冪零的. 因為NL（Q）≤L∩M， 所以NL（Q）是2-冪零的， Q也是L∩M的一個Sylow 2-子群. 再根據假設條件， L∩M的Sylow 2-子群是交換的， 進而Q是交換的. 因此NL（Q）=CL（Q）， 從而根據Burnside定理可知， L是2-冪零的， L也是可解的， 與2）矛盾. 因此結論成立. 證畢.

參考文獻

［1］徐明曜. 有限群導引： 上冊［M］.北京： 科學出版社， 2007： 1-304. （XU M Y. Introduction to Finite Groups： Part 1［M］.Beijing： Science Press， 2007： 1-304.）

［2］徐明曜， 黃建華， 李慧陵， 等. 有限群導引： 下冊［M］.北京： 科學出版社， 1999： 1-409. （XU M Y， HUANG J H， LI H L， et al. Introduction to Finite Groups： Part 2［M］.Beijing： Science Press， 1999： 1-409.）

［3］GUO W B. The Theory of Classes of Groups［M］.Beijing： Science Press， 2000： 1-258.

［4］GUO W， SKIBA A N， TANG X. On Boundary Factors and Traces of Subgroupsof Finite Groups［J］.Communications in Mathematics and Statistics， 2014， 2（3/4）： 349-361.

［5］WU Z F， GUO W B， LI B J. On an Open Problem of Guo-Skiba［J］.Frontiers of Mathematics in China， 2016， 11（6）： 1603-1612.

［6］ZHANG J， GAO Z， MIAO L. Some Notes on the Second Maximal Subgroups of Finite Groups［J］.Siberian Mathematical Journal， 2021， 62（1）： 178-181.

［7］何金旅， 吳金蓮， 張佳. 關于可解群的三個充分必要條件［J］.青海師范大學學報（自然科學版）， 2021（4）： 17-20. （HE J L， WU J L， ZHANG J. Three Sufficient and Necessary Conditions on Solvable Groups［J］.Journal of Qinghai Normal University （Natural Science）， 2021（4）： 17-20.）

［8］DONG S， MIAO L， ZHANG J， et al. On Maximal Subgroups of Nonsolvable Groups［J］.Siberian Mathematical Journal， 2022， 63（3）： 476-484.

［9］ROBINSON D J S. A Course in the Theory of Groups［M］.New York： Springer， 1982： 1-481.

［10］ARAD Z， FISMAN E. On Finite Factorizable Groups［J］.Journal of Algebra， 1984， 86（2）： 522-548.

［11］胡佩特 B. 有限群論： 第一分冊［M］.姜豪， 俞曙霞， 譯. 福州： 福建人民出版社， 1992： 1-498.（HUPPERT B. Finite Group Theory： Volume 1［M］.Translated by JIANG H， YU S X. Fuzhou： Fujian People’s Publishing House， 1992： 1-498.）

［12］HALL P. A Characteristic Property of Soluble Groups［J］.Journal of the London Mathematical Society， 1937， s1-12（3）： 198-200.

（責任編輯： 趙立芹）