一類非線性約束下單自由度碰撞系統的動力學特性

關鍵詞：非線性約束；分岔；多參數協同；吸引子共存

0 引言

由于加工水平的影響，在機械設備中都會存在間隙及約束，在使用過程中設備內部相互作用導致碰撞振動，對機械設備的正常使用造成損害，這種現象的持續發生會影響使用壽命。因此，研究含間隙與約束的非線性動力學行為具有重要應用價值。國內外有大量學者對碰振系統進行了各種研究。羅冠煒等［1］研究了兩自由度含間隙振動系統的對稱周期碰撞運動，分析了不動點的穩定性與局部分岔，通過數值仿真揭示了系統的全局分岔過程，包括叉式、倍化與奇異性分岔。吳少培等［2］研究了一種基于“接觸-分離”兩狀態的含間隙運動副動力學模型，給出了運動副接觸與分離的條件，得到了系統Poincaré映射的線性化矩陣，發現了柔性桿件振幅跳躍時會出現兩種穩態響應，引發鞍結分岔，在通向混沌的過程中系統出現叉式和倍化分岔，倍化分岔序列因擦邊分岔的出現而中斷，最終通過Feigenbaum倍周期序列達到混沌狀態。朱喜鋒等［3-4］研究了彈性和剛性約束的含間隙碰撞振動系統在低頻中的動力學特性，揭示了隨著激振頻率的降低，p/1運動中碰撞次數p因擦邊分岔而不斷增加，當碰撞次數足夠大時，系統轉變為顫碰運動，描述了1/1周期運動到顫碰運動的轉變規律。何波等［5］240-246設計了一種拉伸式準零剛度隔振器，采用正負剛度并聯原理對低頻隔振進行處理，確定了使系統在平衡位置實現準零剛度的參數條件，研究了系統在簡諧力作用下的幅頻響應和多穩態區域。李國芳等［6-10］通過計算機數值仿真對碰撞振動系統的動力學特性、系統的穩定性、多吸引子共存，混沌控制等問題進行了研究。DAI等［11］105234對比了線性約束與準零剛度非線性約束的沖擊振子的振動傳遞和功率流特性，通過應用諧波平衡近似和數值積分方法，獲得了系統在諧波激勵下的穩態響應。這一研究為了解線性和非線性約束對振動傳遞中剛度和阻尼特性的影響提供了有益的參考，提出了幾類新型非線性約束，為本文研究提供了參考約束模型。

目前，大多數國內外學者對于同時含有非線性項、非線性約束以及間隙的碰撞振動系統的顫碰運動和轉遷規律的研究較少?？紤]非線性項及非線性約束使得該研究更加貼合實際情況，本文通過建立單自由度含非線性項以及非線性約束的動力學模型，通過Poincaré映射方法以及胞映射法，分析了該碰撞振動系統各周期運動的轉遷規律，吸引子共存現象以及間隙對周期共存區的影響。

1 力學模型

首先，建立了一類單自由度含單側非線性約束振動系統的力學模型，如圖1所示；其次，分析其運動過程，建立該系統的運動微分方程，最后利用數值仿真討論單自由度含單側非線性約束振動系統的動力學行為。

質量為M的物塊通過非線性彈簧和非線性阻尼連接固定在墻面上，非線性彈簧的線性與非線性系數分別為K1、K2，非線性阻尼的線性與非線性系數分別為C1、C2。物塊受到簡諧激振力Psin（ΩT+τ），僅沿水平方向做直線運動。當激振小時屬于簡單線性振子，激振力較大時，物塊位移等于B時，物塊M1與非線性約束開始發生碰撞。

與線性約束相比，該非線性約束多一對剛度為Kv的橫向彈簧，且剛度系數為Kh的彈簧與阻尼系數為Ch的阻尼器耦合，可忽略它們的質量，并連接在一起，如圖2所示。文獻［5］240-246、文獻［11］105234中將這種非線性約束用于隔振器中，與線性約束進行了對比。文獻［5］240-246中關于該約束得到的結論如下：該非線性約束比線性約束起始隔振頻率降低50%左右，實現低頻隔振，隔振性能更優。文獻［11］105234關于該約束得到的結論如下：該非線性約束便于在峰值頻率附近調節力傳遞率和振動功率的水平。彈性碰撞使簡單的系統變成了具有復雜動力學行為的碰撞沖擊運動。橫向彈簧未變形長度為l0，剛度系數為Kv。當B點處于平衡位置時，彈簧進行壓縮后其長度變為l。當物塊位移大于間隙δ時，橫向約束開始變形。

結果表明，側向彈簧對的使用增加了1個線性項和1個非線性項，因此非線性約束可能具有所謂的準零剛度（Quasi-zerostiffness）特性。

2 周期運動的參數域及擦邊分岔相互轉遷

系統的動力學特性由多個參數決定，其中頻率ω、間隙δ這兩個參數最為關鍵。基于多參數協同仿真法，選定激振頻率ω和間隙δ為分岔參數，得到系統在（ω，δ）協同變化下的雙參數域圖以及三維分岔圖如圖3所示。

以ω∈[0，3]，δ∈[0，1.5]為取樣范圍，通過數值計算的方法計算出（ω，δ）平面的雙參分岔圖，如圖3（a）所示。其中不同的p/n運動用不同的顏色表示，黑色區域為混沌區域，用Chaos標識，未識別的運動用灰色表示。在圖3（a）的左下角區域，即低頻、小間隙工況下存在p/1周期運動組成的帶狀區域，直觀地表現出p/1周期運動隨著參數的改變轉遷為（p+1）/p周期運動。由圖3（a）可知，當ωgt;1的中高頻區主要存在0/1、1/1、2/2、1/2等周期運動，而在低頻區主要以p/1周期運動為主，且p/1單周期多碰撞周期運動的碰撞次數p隨著頻率的遞減而增加。圖3（b）是三維分岔圖。由圖3（b）可以直觀地看出，激振頻率ω和間隙δ對物塊沖擊速度的影響。隨著激振頻率ω的減小，系統在間隙較小時呈現出豐富動力學特性。因此，有必要研究小間隙工況對動力學特性的影響，故在第4節研究了間隙的改變對周期共存區的影響。

圖4（a）是以激振頻率ω為橫坐標，物塊碰撞前速度x?1-為縱坐標得到的單參數碰撞面分岔圖，圖4（b）是系統選定固定相位面作為Poincaré映射截面所得到的周期面分岔圖，其中間隙選擇δ=0.05。由圖4（a）可以觀察到，當ω=0.9480時，物塊碰撞的1/1周期運動發生擦邊分岔，碰撞次數p加1變為2/1周期運動［圖5（a）］。圖5的所有運動相圖中紅色虛線代表間隙δ，用來觀察是否發生擦邊分岔，當發生擦邊分岔時，在運動相圖中體現為最內側運動相圖軌跡與紅色虛線相切，反之則表示發生的不是擦邊運動。當ω減小至ω=0.6690、2/1周期運動時再次發生擦邊運動進入3/1周期運動，運動相圖如圖5（b）所示。隨著ω減小至0.5685時，3/1周期運動會經歷倍化分岔進入6/2亞諧運動，圖5（c）為ω=0.5430時的6/2亞諧運動的運動相圖，之后6/2亞諧運動發生倍化分岔并經歷一系列復雜運動后進入混沌運動，經過短暫混沌運動后隨即退出。當ω減小至0.4350時進入8/2亞諧運動。隨著ω的繼續減小8/2亞諧運動在ω=0.4270時發生逆倍化分岔進入4/1周期運動，隨后4/1周期運動發生擦邊分岔，碰撞次數p加1進入5/1周期運動，圖5（e）為4/1周期運動發生擦邊分岔時的運動相圖，圖5（f）為ω=0.3260時5/1周期運動的運動相圖，最終進入顫碰。因此，隨著ω的減小，p/1運動通過擦邊、倍化、逆倍化最終進入顫碰運動。轉遷規律如下，其中GBif為擦邊分岔，p?/1為顫碰運動：

3 相鄰基本周期多態共存區及吸引域

利用控制變量法以激振頻率ω為單一變量作為分岔圖參數，進行增減速求解。圖6中紅色實線代表激振頻率ω增大時的分岔圖，藍色實線代表激振頻率ω減小時的分岔圖。圖6（a）、圖6（b）分別為增減速分岔圖，從圖6（c）、圖6（d）增減速對比圖中可以清晰地看出增減速分岔圖的分岔點的位置不同，以及增減速之間其他動力學特性的區別。激振頻率ω減小時發生擦邊分岔，倍化分岔，逆倍化分岔，最終成為（p+1）/n周期運動。頻率ω增大時，發生鞍結分岔，由（p+1）/n周期運動轉遷為p/n周期運動。頻率ω變化導致相鄰周期運動不可逆，在相鄰的p/n運動和（p+1）/n運動之間會產生遲滯區域，因此對遲滯區域的研究極其具有意義。選取部分頻率區間作為研究對象得到該碰撞系統局部周期運動共存區的分岔圖，如圖7（a）～圖7（c），分別表示1/1周期運動與2/1周期運動的共存區域，2/1周期運動與3/1周期運動的共存區域，4/1周期運動與5/1周期運動的共存區域，從中可以發現，在每一個遲滯區內存在多吸引子共存的現象。以4/1周期運動與5/1周期運動的共存區域為研究對象，共存區在ω∈（0.3580，0.3655）的頻率區間內。當ω=0.3580時，5/1周期運動發生鞍結分岔轉遷為4/1周期運動；當ω減小至ω=0.3580時，4/1周期運動發生擦邊分岔轉遷為5/1周期運動。給定不同的初始狀態，系統在這兩種運動之間轉遷，但是不可逆。為了進一步研究，圖8（a）給出了ω=0.6830時2/1和3/1周期運動共存吸引子相圖，圖8（b）為ω=0.3630時得到的4/1和5/1周期運動共存吸引子相圖，兩張運動相圖表明系統處于周期共存區，即使給定了相同分岔參數ω，由于初始運動狀態不同，系統所呈現的周期運動也不相同。

為進一步研究周期共存區內不同吸引域的分布，結合胞映射思想，選取初態域Ω=｛（x1，x?1）|-2lt;x1lt;1，-2lt;x?1lt;2｝并將其劃為400×400個狀態胞，對相平面進行映射，可得共存區在映射過后的吸引域圖。圖8所示為初態域下4/1周期運動與5/1周期運動吸引子共存的演化過程，藍色代表4/1周期運動，紅色代表5/1周期運動。圖9（a）～圖9（f）表示系統的激振頻率ω分別為0.3590、0.3600、0.3610、0.3620、0.3625、0.3635時，4/1與5/1周期運動的吸引域分布圖。當ω=0.3590時，紅色面積明顯大于藍色面積，5/1周期運動的穩定性大于4/1周期運動的穩定性；當ω=0.3620時，兩種顏色的區域面積近似相等，說明兩種周期運動穩定性相同；當ω=0.3635時，藍色區域面積明顯大于紅色區域面積，則說明4/1周期運動更加穩定。因此，在該初態域內隨著ω的增大，4/1周期運動的分布區域會逐漸增大，即4/1周期運動的穩定性在此激振頻率的初態域范圍內會逐漸增大。

4 間隙對周期共存影響

其他參數保持不變，改變參數δ，得到不同的碰撞面分岔圖。圖10（a）～圖10（c）中參數δ分別為0.05、0.10、0.15。選定ω∈（0.3，0.7）作為研究區間，得到該機械振動系統在不同δ下的分岔圖，發現隨著間隙δ的增大，系統的動力學特性會發生變化，分岔圖中的周期共存區會提前出現。先以2/1周期運動與3/1周期運動共存區為研究對象，其中當δ=0.05時共存區范圍為ω∈（0.9480，0.9915），當δ=0.10時共存區范圍為ω∈（0.9290，0.9685），當δ=0.15時共存區范圍為ω∈（0.9120，0.9465）。當δ增大時，即在δ=0.10和δ=0.15時出現了3/1周期運動和4/1周期運動共存區，范圍分別為ω∈（0.4070，0.4125）和ω∈（0.3930，0.4000）。再以4/1周期運動與5/1周期運動共存為研究對象，當δ=0.05時共存區范圍為ω∈（0.3580，0.3655），當δ=0.10時共存區范圍為ω∈（0.3502，0.3575），當δ=0.15時共存區范圍為ω∈（0.3450，0.3505）。綜上可知，改變間隙δ，其他參數不變，會使得部分頻率區間內的系統的力學特性趨于簡單，多態共存區的頻率范圍會提前出現，且范圍變小。

5 結論

建立了一類單自由度含單側非線性約束機械碰撞振動系統模型，研究其不同運動的轉遷，得到如下結論：

1）選定其他基準參數，隨著ω的減小，周期運動的轉遷主要通過擦邊分岔，隨著ω的增大，周期運動的轉遷主要通過鞍結分岔，并且其過渡區會出現復雜的周期運動。

2）擦邊分岔和鞍結分岔的發生位置不同，導致出現一個遲滯域，并且轉遷不可逆，會出現多態吸引子共存。且隨著ω的增大，p/1周期運動比（p+1）/1周期運動更加穩定。

3）改變間隙δ，隨著間隙增大，多態共存區的頻率范圍會提前出現，且范圍變小，部分運動由復雜變簡單。