一道三角最值題的探究

摘要：三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，立足函數(shù)本質(zhì)，融合其他眾多的相關(guān)數(shù)學知識，成為各類試題中命題的一個重要場景.借助一道三角函數(shù)最值題的剖析，從多個數(shù)學思維視角入手，合理一題多解，巧妙追根溯源實現(xiàn)試題鏈接，開拓數(shù)學思維進行變式拓展.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；最值；不等式；函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；幾何

涉及三角函數(shù)代數(shù)式的綜合應(yīng)用問題，基于三角函數(shù)模塊知識，如三角函數(shù)的定義、三角恒等變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，進一步深化函數(shù)與方程的基本概念與基本性質(zhì)，成為高考數(shù)學中“在知識點交匯處命題”的一個重要陣地.特別是涉及三角函數(shù)代數(shù)式的最值（或取值范圍）的求解等問題，立足三角函數(shù)，交匯并融合函數(shù)與方程、平面幾何、不等式、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等其他相關(guān)知識，命題形式新穎，設(shè)置形式變化多端，成為新高考數(shù)學試卷命題中的一個重要題型，備受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

問題（2025屆廣東省廣州市花都區(qū)高三年級10月調(diào)研考試數(shù)學試卷·14）已知函數(shù)f（x）=2cos x－sin 2x，則f（x）的最大值為.

此題以單倍角與二倍角的三角函數(shù)關(guān)系式來創(chuàng)設(shè)三角函數(shù)場景，利用正弦與余弦之間的關(guān)系來設(shè)置，進而通過確定對應(yīng)三角函數(shù)的最大值來設(shè)置問題.條件簡單明了，求解常規(guī)易懂.

合理挖掘題設(shè)條件中的三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，以及一些常見的解題技巧與方法，利用一些相關(guān)的數(shù)學思維加以切入，如不等式思維、函數(shù)與方程思維、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維、平面幾何思維等，選用與之相關(guān)的技巧與策略來分析與求解，或合理數(shù)學運算，或巧妙邏輯推理，或科學數(shù)學建模等，實現(xiàn)問題的分析與解決.

2 問題破解

2.1 不等式思維

解法1：基本不等式+三角函數(shù)有界性法.

f（x）=2cos x－sin 2x=2cos x（1－sin x）=23×3cos x（1－sin x）≤23×3cos x+1－sin x22=23×2≤23×2+122=332，當且僅當3cos x=1－sin x，且cosx+π6=1，即x=2kπ－π6，k∈Z，亦即sin x=－12，cos x=32時，等號成立.

所以函數(shù)f（x）的最大值為332.

解法2：均值不等式法1.

f（x）=2cos x－sin 2x

=2cos x（1－sin x）

≤2cos 2x（1－sin x）2

=2（1－sin 2x）（1－sin x）2

=2（1+sin x）（1－sin x）（1－sin x）（1－sin x）

=23（3+3sin x）（1－sin x）（1－sin x）（1－sin x）

≤233+3sin x+1－sin x+1－sin x+1－sin x44

=332，

當且僅當cos x≥0，且3+3sin x=1－sin x，即sin x=－12，cos x=32時，等號成立.

所以函數(shù)f（x）的最大值為332.

2.2 函數(shù)思維

解法3：導(dǎo)數(shù)法.

易知f（x）的周期為2π，不妨令x∈-π6，11π6.求導(dǎo)得

f′（x）=－2sin x－2cos 2x=－2sin x－2（1－2sin 2x）=4sin 2x－2sin x－2=2（2sin x+1）5（sin x－1）.由f′（x）=0，解得sin x=－12或sin x=1.

所以當－1≤sin xlt;－12，即x∈7π6，11π6時，

f′（x）gt;0，f（x）單調(diào)遞增；當－12lt;sin x≤1，即

x∈-π6，7π6

時，f′（x）lt;0，f（x）單調(diào)遞減.所以當x=

11π6或-π6，亦即sin x=－12，cos x=32時，f（x）取得最大值，最大值為2×32－2×－12×32=332.

所以函數(shù)f（x）的最大值為332.

2.3 幾何思維

解法4：幾何模型法.

f（x）=2cos x－sin 2x=2cos x（1－sin x）.

如圖1所示，在平面直角坐標系中構(gòu)造單位圓O，其中點C（0，1），A（cos x，sin x），B（－cos x，sin x）.

由平面幾何圖形直觀可知，S△ABC=[JB（|]12×2cos x×（1－sin x）=|cos x（1－sin x）|.

結(jié)合平面幾何的性質(zhì)可知，在單位圓的所有內(nèi)接三角形中，正三角形的面積最大，于是可得

S△ABC=[JB（|]cos x（1－sin x）≤334.

所以2|cos x（1-sin x）|≤332，即

f（x）∈[JB（－332，332].

所以，函數(shù)f（x）的最大值為332，當且僅當sin x=－12，cos x=32時，函數(shù)f（x）取得最大值.

3 追根溯源

以上有關(guān)三角函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是基于高考真題及往屆的模擬題，通過合理的改編與變式拓展，巧妙追根溯源，下面鏈接考題.

3.1 高考真題

試題1（2018年高考數(shù)學全國Ⅰ卷理科·16）已知函數(shù)f（x）=2sin x+sin 2x，則f（x）的最小值是.

3.2 模擬試題

試題2已知函數(shù)f（x）=2sin x（1+cos x），則f（x）的最大值是.

試題3（2024屆湖北省六校新高考聯(lián)盟學校高三年級11月聯(lián)考數(shù)學試卷）函數(shù)f（x）=2sinx+π4+cos 2x的最大值為（）.

A.1+2

B.332

C.22

D.3

4 變式拓展

以上有關(guān)三角函數(shù)最值的應(yīng)用問題，抓住問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，結(jié)合解析過程與對應(yīng)方法，從三角函數(shù)關(guān)系式的不同視角層面加以變式應(yīng)用，巧妙拓展創(chuàng)新.

變式1已知函數(shù)f（x）=2cos x－sin 2x，則f（x）的最小值為.

變式2已知函數(shù)f（x）=2cos x－sin 2x，則f（x）的取值范圍為.

5 教學啟示

5.1 落實“通性通法”，開拓“巧技妙法”

解決涉及三角函數(shù)代數(shù)式的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于依托三角函數(shù)知識的本質(zhì)與內(nèi)涵，從三角函數(shù)的定義、公式、圖象、性質(zhì)等入手，充分挖掘題設(shè)條件，合理尋覓問題的切入點，探尋問題的突破口，借助一些相關(guān)知識與基本數(shù)學思維方法來分析與求解.特別是涉及三角函數(shù)代數(shù)式的最值（或取值范圍）問題，有一些常見的解題技巧與思維方式，這也是數(shù)學試題命題的根本，要加以系統(tǒng)理解與掌握.

有關(guān)三角函數(shù)代數(shù)式的最值（或取值范圍）及其綜合應(yīng)用問題，要立足函數(shù)與方程基礎(chǔ)，回歸函數(shù)的基本概念，加以合理深化應(yīng)用與數(shù)學思維拓展，從函數(shù)與方程、不等式、幾何等其他思維層面來發(fā)散與綜合.這是解決此類涉及三角函數(shù)關(guān)系式的最值（或取值范圍）問題的“巧技妙法”，也是基于“通性通法”的進一步拓展與提升.

5.2 把握解題本質(zhì)，養(yǎng)成良好品質(zhì)

一些看似簡單的數(shù)學問題如以上問題中涉及三角函數(shù)代數(shù)式的最值（或取值范圍）及其綜合應(yīng)用，是三角函數(shù)模塊基礎(chǔ)知識中最典型的問題之一，對于有效鞏固數(shù)學基礎(chǔ)知識，掌握數(shù)學解題思維方法，合理積累數(shù)學解題經(jīng)驗及形成數(shù)學解題習慣與意識等都是非常有幫助的.

借助實際數(shù)學解題與應(yīng)用，合理歸納總結(jié)與反思，建立正確的數(shù)學解題觀，認真剖析并挖掘題意，從題設(shè)條件與所求結(jié)論等方面加以深入探究，由此對典型數(shù)學問題進行一題多解；基于此，拓展數(shù)學思維，一題多思，并進行多層面的一題多變、多題一解等應(yīng)用，更加全面、深入地培養(yǎng)數(shù)學的思維習慣，提升數(shù)學思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).