一道高考數列題的解法探究

摘要：求解數列的通項公式和前n項和公式，是數列內容考查的重點.求數列通項公式的方法主要有累加法、累乘法、構造法、待定系數法和數學歸納法等.求數列前n項和的方法主要有公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法等.文章通過探究一道高考題，給出了該題求解數列通項公式與前n項和公式的四種解法.

關鍵詞：數列；通項公式；前n項和公式；解法探究

數列大題是高考必考的題型，主要涉及數列的通項公式、前n項和以及證明數列不等式等.下面以一道高考題為例，對求解數列的通項公式以及前n項和進行多角度探究.

1 高考試題呈現

（2020年高考全國Ⅲ卷理科數學第17題）設數列{an}滿足a1=3，an+1=3an－4n.

（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；

（2）求數列{2nan}的前n項和Sn.

分析：該題的第（1）問是求數列的通項公式，第（2）問是求數列的前n項和，這些都是數列的核心問題.對于第（1）問，解法主要有數學歸納法、構造法、待定系數法等.第（2）問的解法主要有錯位相減法、裂項相消法、構造常數列和導數法等.學生要熟悉這些常用的方法，在考場上要會根據題干條件進行分析，選擇容易想到且適合自己的方法來解題.

2 解法探究

2.1 第（1）問的探究

由已知得，a2=3a1－4=5，a3=3a2－8=15－8=7.

由{an}的前三項可猜想{an}是以3為首項，2為公差的等差數列，即an=2n+1.

證法1：數學歸納法.

當n=1時，a1=3成立.

假設n=k（k∈N）時，ak=2k+1成立.

由遞推關系式，得ak+1=3ak－4k=3（2k+1）－4k=2k+3=2（k+1）+1，即當n=k+1時，an=2n+1也成立.

綜上，對n∈N*，都有an=2n+1.

點評：首先通過遞推式求出數列{an}的部分項從而歸納得出數列{an}的通項公式，再根據數學歸納法進行證明[1]，是求解該類問題的通性通法，對于此題也是最優解.數學歸納法在新高考中雖不作要求，但如果熟悉數學歸納法，則可以求解更多的數列問題，希望廣大師生引起重視.

證法2：構造法.

由a1=3，a2=5，得a2－a1=2.

由an+1=3an－4n，可得

an=3an－1－4（n－1）（n≥2），

兩式相減可得an+1－an=3（an－an－1）－4.

令bn=an+1－an，且b1=2，則bn=3bn－1－4.

變形，得bn－2=3（bn－1－2），又b1－2=0，所以bn－2=0，即an+1－an=2（n≥2）.

又a2－a1=2，因此{an}是首項為3，公差為2的等差數列，所以an=2n+1.

點評：根據遞推式an+1=3an－4n，代換得an=3an－1－4（n－1）（n≥2），兩式相減得an+1－an=3（an－an－1）－4.設bn=an+1－an，從而簡化遞推式，再由構造法求出bn，從而得出數列{an}的通項公式.

證法3：累加法.

由an+1=3an－4n，得an+13n+1－an3n=－4n3n+1，即

a232－a131=－4×132，a333－a232=－8×133，……an3n－an－13n－1=－4（n－1）×13n（n≥2）.

以上（n-1）個式子等號兩邊分別相加，得an3n－a131=－41×132+2×133+……+（n－1）×13n.

所以an3n=（2n+1）·13n，得an=2n+1（n≥2）.

當n=1時，也符合an=2n+1.

綜上所述，an=2n+1.

點評：由an+1=3an－4n化簡可得an+13n+1－an3n=－4n3n+1，再根據累加法即可求出數列{an}的通項公式.

證法4：待定系數法.

由于an+1=3an－4n，因此可設an+1+λ（n+1）+μ=3（an+λn+μ），其中λ，μ為常數.

整理得an+1=3an+2λn+2μ－λ，則2λ=－4，2μ－λ=0，解得λ=－2，μ=－1.

所以an+1－2（n+1）－1=3（an－2n－1）=……=3n（a1－2×1－1）.

又a1－3=0，所以{an－2n－1}是各項均為0的常數列.故an－2n－1=0，即an=2n+1.

點評：根據待定系數法將遞推式變形成an+1+λ（n+1）+μ=3（an+λn+μ），求出λ，μ，從而可迭代得數列{an}的通項公式.證法4與證法2的本質是一樣的，但證法4利用迭代的寫法，過程更簡潔，思路更清晰.特別要注意的是，因為a1－3=0，所以由an+1－（2n+3）=3［an－（2n+1）］不能得到{an－（2n+1）}是等比數列，這是很多考生忽略其首項為0而引起的錯誤.對于首項為0的數列問題，迭代法是非常好的處理方法.

2.2 第（2）問的探究

由（1）可知，an·2n=（2n+1）·2n.

解法1：錯位相減法.

Sn=3×2+5×22+7×23+……+（2n－1）·2n－1+（2n+1）·2n，①

2Sn=3×22+5×23+7×24+……+（2n－1）·2n+（2n+1）·2n+1，②

由①－②，得

－Sn=6+2（22+23+……+2n）－（2n+1）·2n+1

=6+2×22（1－2n－1）1－2－（2n+1）2n+1

=（1－2n）·2n+1－2.

故Sn=（2n－1）·2n+1+2.

點評：由于數列的通項公式是差比復合型，因此可利用錯位相減法來求其前n項和，該法也是此類題型的通性通法.

解法2：裂項相消法.

令2nan=（2n+1）2n=（2n－1）2n+1－（2n－3）2n=bn+1－bn，其中bn=（2n-3）2n.

所以Sn=2a1+22a2+23a3+……+2nan=（b2－b1）+（b3－b2）+（b4－b3）+……+（bn+1－bn）=bn+1－b1=（2n－1）2n+1+2.

點評：根據通項公式的結構，先將數列通項進行裂項，然后用裂項相消法求出前n項和，這種方法過程簡單，是本題的最優解法.

解法3：構造常數列[2].

當n≥2時，Sn=Sn－1+（2n+1）·2n，設Sn+（pn+q）·2n=Sn－1+［p（n－1）+q］·2n－1，即Sn=Sn－1+－pn－q－p2·2n，則－p2=2，

－q－p2=1，解得p=－4，q=2.

所以Sn+（－4n+2）·2n=Sn－1+［－4（n－1）+2］·2n－1，則數列{Sn+（－4n+2）·2n}為常數列.而S1+（－4+2）·2=2，所以Sn+（－4n+2）·2n=2.

故Sn=2+（2n－1）·2n+1.

點評：由n≥2時，Sn=Sn－1+（2n+1）·2n，構造得到數列{Sn+（－4n+2）·2n}為常數列，從而求出Sn.構造常數列也是求數列的通項公式和前n項和的好方法，其思想就是利用常數控制變數，從而達到以靜制動的效果[3].

解法4：導數法.

因為2nan=（2n+1）2n=2n·2n+2n=4n·2n－1+2n，令bn=n·2n－1，f（x）=x+x2+x3+……+xn=x（1－xn）1－x（x≠0，1），則f′（x）=1+2x+3x2+……+nxn－1=x（1－xn）1－x′=1+nxn+1－（n+1）xn（1－x）2，所以b1+b2+……+bn=1+2·2+3·22+……+n·2n－1=f′（2）=1+n·2n+1－（n+1）2n，從而

Sn=4f′（2）+2+22+23+……+2n

=41+n·2n+1－（n+1）2n+2（1－2n）1－2

=（2n－1）2n+1+2.

點評：將通項公式分解成2nan=（2n+1）2n=2n·2n+2n=4n·2n－1+2n，利用分組求和法分別求出數列{2n}，{n·2n－1}的前n項和即可，其中數列{n·2n－1}的前n項和借助于函數f（x）=x+x2+x3+……+xn=x（1－xn）1－x（x≠0，1）的導數，通過賦值的方式求出，思路新穎獨特，很好地簡化了運算.

數列的通項公式與前n項和問題，一直都是數列試題考查的重點.平時要善于總結求解數列通項公式與前n項和的方法，即要根據不同的題型總結出合適的解題方法，這樣在考場上才能從容應對，提高解題效率.

參考文獻：

[1]何穎.數學歸納法在數列求通項問題中的價值與局限——以2020年高考數學全國Ⅲ卷理科17題、2022年高考全國新高考Ⅰ卷17題為例[J].數理天地（高中版），2023（7）：4749.

[2]李鴻昌，徐章韜.深度挖掘教材——數列求和之構造常數列[J].中學數學月刊，2014（10）：5355.

[3]徐章韜，李鴻昌.在深度解讀教材中增長見識[J].中學數學研究，2014（11）：1113.