高考分段數列試題的解法探究與變式教學

摘要：分段數列的求解問題是高考熱點，也是難點，本文中以兩道高考真題為例談談這類問題的解法探究與變式教學.

關鍵詞：分段數列；高考真題；解法探究

高考試題是命題專家們深度思考、團隊協作后命制出來的，不僅能夠考查學生的思維品質和關鍵能力，而且能夠引導中學教學.數列高考題中，分段數列自2021年新高考Ⅰ卷考查后就開始成為了一個考查熱點，之后各地的模擬題也出現了不少相關試題.本文中以兩道高考真題為例談談這類問題的解法探究與變式教學.

1 試題呈現與評析

題1（2021年新高考Ⅰ卷第17題）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an+1，n為奇數，

an+2，n為偶數.

（1）記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數列{bn}的通項公式；

（2）求{an}的前20項和.

評析：本題第（1）問已經構造出新的研究數列，并通過b1，b2的求解引導學生認識該新的研究數列是如何生成的，學生只要根據判斷一個數列是等差（比）數列的方法求解就可以了；本題的第（2）問只需要求前20項的和，項數是比較少的，學生一個一個項求解也是可以的.因此整體而言，該題的難度比較低.

題2（2023年新課標Ⅱ卷第18題）已知{an}為等差數列，bn=an－6，n為奇數，

2an，n為偶數.記Sn，Tn分別為數列{an}，{bn}的前n項和，S4=32，T3=16.

（1）求{an}的通項公式；

（2）證明：當ngt;5時，Tngt;Sn.

評析：本題第（1）問明確求等差數列的通項公式，學生只要能夠求解出基本量a1和公差d就可以求得通項公式，整體并不困難.第（2）問要求學生比較Sn與Tn的大小，首先需要學生求出Tn，這就有一定的難度了.學生能不能分n為偶數和奇數兩種不同情況求解，能不能搞清楚項數就非常關鍵.

2 試題解法探究與變式教學

2.1 題1的解法探究

解析：（1）由題意，得a2=a1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+1=5.

所以b1=a2=2，b2=a4=5.

由題意，可知bn+1－bn=a2n+2－a2n=a2n+2－a2n+1+a2n+1－a2n=3，所以數列{bn}是以b1=2為首項，3為公差的等差數列，故bn=2+3（n－1）=3n－1.

（2）法一：把奇數項的數列通項也求出來.

由（1）可得a2n=3n－1，n∈N*，則

a2n－1=a2n－2+2=3（n－1）－1+2=3n－2，n≥2.

當n=1時，a1=1也適合上式.

所以a2n－1=3n－2，n∈N*.

所以數列{an}的奇數項和偶數項分別為等差數列，則{an}的前20項和為

a1+a2+……+a20=（a1+a3+……+a19）+（a2+a4+……+a20）=10+10×92×3+10×2+10×92×3=300.

法二：利用奇數項與相鄰偶數項（后一項）的關系進行轉化.

因為當n為奇數時，an+1=an+1，即an=an+1－1，所以有a1+a3+……+a19=（a2－1+a4－1+……+a20－1）=（a2+a4+……+a20）－10.

所以，{an}的前20項和為

a1+a2+……+a20=2（a2+a4+……+a20）－10=2（b1+b2+……+b10）－10=2×（2+3×10－1）×102－10=300.

顯然法二用了第一問的結果，求解更為自然順暢.該題解答到此就可以結束了，但是很明顯若只是到此結束，那么該題的教學價值并沒有體現出來.學生的思維層次還是停留在比較低的水平，因此有必要增加新的變式進而挖掘這道題的教學價值.

2.2 題1的變式教學

教學中補充變式探究增加以下兩問：

（3）求{an}的前31項和；

（4）求{an}的前n項和Sn.

設計意圖：通過問題（3）引導學生思考所求的項數為奇數時的情況與項數為偶數的情況不同，學生在解決問題（4）時自然會分奇偶項進行討論.

以下給出師生共同討論得到的不同解法：

（Ⅰ）第（3）問的解法

法一：同（2）把奇數項的數列通項也求出來，詳細過程略.

法二：同（2）利用奇數項與相鄰偶數項（后一項）的關系進行轉化，詳細過程略.

法三：利用奇數項與相鄰偶數項（前一項）的關系進行轉化（為避免求最后一項，可以往前找關系）.

解：因為當n為偶數時，an+1=an+2，所以

a1+a3+……+a31=a1+（a2+2）+……+（a30+2）=a1+（a2+a4+……+a30）+2×15.

所以{an}的前31項和為

a1+a2+……+a31=（a1+a3+……+a31）+（a2+a4+……+a30）=a1+2（a2+a4+……+a30）+2×15=a1+2（b1+b2+……+b15）+2×15=1+2×（b1+b15）×152+30=721.

有了以上求解經驗，學生在求解第（4）問時就有方向，基本上都能夠分n為偶數和奇數兩種情況求解，只要把每種情況中的數列項數弄清楚就沒有問題了.

（Ⅱ）第（4）問的解法

法一：把奇數項的數列通項也求出來.

解：由（1）知a2n=3n－1，n∈N*，則a2n－1=a2n－2+2=3（n－1）－1+2=3n－2，n≥2.

當n=1時，a1=1也適合上式.

所以a2n－1=3n－2，n∈N*.

①當n為偶數時，{an}的前n項和為

Sn=a1+a2+……+an=（a1+a3+……+an－1）+（a2+a4+……+an）=n2a1+n2n2－12×3+n2a2+n2n2－12×3=3n24.

②當n（ngt;1）為奇數時，{an}的前n項和為

Sn=a1+a2+……+an

=（a1+a3+……+an）+（a2+a4+……+an－1）

=n+12a1+n+12n+12－12×3+n－12a2+n－12n－12－12×3

=3n2+14.

當n=1時，也適合Sn=3n2+14.

綜上，Sn=3n2+14，n為奇數，

3n24，n為偶數.

法二：利用奇數項與相鄰偶數項（后一項）的關系進行轉化.

解：當n為奇數時，an+1=an+1，即an=an+1－1.

①當n為偶數時，

a1+a3+……+an－1=（a2－1+a4－1+……+an－1）=（a2+a4+……+an）－n2.

所以{an}的前n項和為Sn=a1+a2+……+an=2（a2+a4+……+an）－n2=2（b1+b2+……+bn2）－n2=2×n2（b1+bn2）2－n2=3n24.

②當n為奇數且n≥3時，{an}的前n項和為

Sn=a1+a2+……+an=（a1+a3+……+an）+（a2+a4+……+an－1）=n+12n+12－12×3+n+12a1+n－12n－12－12×3+n－12a2=3n2+14.

當n=1時，也適合Sn=3n2+14.

下略.

法三：利用奇數項與相鄰偶數項（前一項）的關系進行轉化（為避免求最后一項，可以往前找關系）.

解：①當n為偶數時，同法二得Sn=3n24.

②當n為奇數且n≥3時，an=an-1+2，則

a3+a5+……+an=（a2+2）+（a4+2）+……+（an－1+2）=（a2+a4+……+an－1）+2×n－12.

故{an}的前n項和Sn=a1+（a3+a5+……+an）+（a2+a4……+an－1）=1+2（a2+a4+……+an－1）+2×n－12=n+2（b1+b2+……+bn－12）=n+2×n－12（b1+bn－12）2=n+n－122+3×n－12－1=3n2+14.

當n=1時，也適合Sn=3n2+14.

法四：利用Sn=Sn－1+an（n≥2，n∈N*）.

解：當n為奇數時，an+1=an+1，即an=an+1－1.

①當n為偶數時，同法二得Sn=3n24.

②當n為奇數且n≥3時，（n－1）為偶數，所以{an}的前n項和Sn=Sn－1+an=3（n－1）24+an+1－1=3（n－1）24+bn+12－1=3（n－1）24+3×n+12－1－1=3n2+14.

當n=1時，S1=a1=1=3×12+14.

顯然滿足上式.下略.

以上通過2021年新高考Ⅰ卷第17題即題1進行變式教學并得出不同的解題策略后，學生在處理2023年新課標Ⅱ卷第18題即題2的時候就比較從容了，在此不再贅述.

3 試題教學的反思

高考試題是重要的解題教學材料，但如果只是就題講題，那么實際上并沒有真正挖掘出試題的教學價值.綜合研究此類高考試題并進行變式教學，深入挖掘該類問題的教學價值，有助于真正引發學生的深入思考和學習，有利于提高學生的深度學習體驗，提升學生的核心素養.