二面角的概念與二面角的平面角教學

本節課選自上海教育出版社《普通高中教科書數學必修第三冊》第10章第4節“平面與平面的位置關系”的第2課時——“二面角”，該課時內容分為二面角的平面角、平面與平面垂直兩部分，本節課只學習二面角的平面角.

二面角是刻畫兩個相交平面位置關系的概念和一種度量方式，雖然新課程標準并未對二面角的概念提出明確要求，但其教學一方面是為了知識體系的完整性，另一方面也為學生進一步發展空間想象能力與邏輯推理能力提供了機會.教學重點應放在二面角的平面角的構造上，著重于對位置關系的認識，著眼于讓學生領會類比的數學思想，發展直觀想象、邏輯推理和數學抽象素養.

1 教學目標分析

（1）通過類比平面中的角與三維空間中平面與平面所成的角，認識二面角中的面、棱以及二面角的記法，能夠從生活實例中抽象出二面角的幾何模型，感悟類比的數學思想，提升數學抽象、直觀想象素養.

（2）經歷“構造什么”“如何構造”“為什么這么構造”的探究過程，會構造二面角的平面角，能在二面角中作出平面角，體會類比、降維轉化思想在知識建構與問題解決中發揮的作用，培養嚴謹的理性思維和善于思考的科學精神.

（3）通過折紙活動，解決“為什么平面角的邊與二面角的棱垂直？”這一問題，在交流與合作的過程中，探索、理解二面角的平面角構造的合理性，培養數學表達能力與合作精神，促進創新思維的發展.

2 教學策略分析

本節課是“二面角”的第一課時，屬概念課.本節課遵循“情境與問題—分析與歸納—本質特征的抽象、定義—關鍵詞辨析—簡單應用—聯系與綜合”的概念形成方式，創設基于情境與問題導向的啟發式、探究式課堂，滲透數學抽象、直觀想象、邏輯推理等素養，以達到把握數學本質、啟發思考的效果.

教學策略1以問題驅動課堂，培養理性思維

本節課創設了符合學生認知規律的問題情境，由多個由淺入深、循序漸進的問題貫穿，以“如何定義二面角？”“如何度量二面角？”“如何構造角？”“為什么這樣構造？”為主線，引導學生經歷發現問題、分析問題、解決問題的過程，深入挖掘、探究二面角的平面角構造的“情”與“理”，培養發現事物本質、關系和規律的科學精神與有理有據闡明觀點的理性思維.

教學策略2以交流構建靈動課堂，激發學習興趣

以學生為課堂主體，圍繞如何度量二面角這一主題，啟發學生提出自己的想法，鼓勵其他同學進行說明和補充，形成開放、高效的課堂氛圍.“為什么這么構造？”開放性的問題能夠提升學生作出多種解釋的發散性思維，激發學生的學習興趣和動力，推動師生之間、生生之間的互動和交流向縱深發展.

教學策略3以技術輔助教學，降低想象難度

除了用投影臺、門等實物進行演示，還利用GeoGebra軟件生動地展現二面角的動態結構與大小變化，為學生理解二面角提供直觀的示例，幫助學生在感性認識的基礎上進行理性思考，循序漸進地掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，形成空間觀念，提高空間想象能力.

教學策略4以情境豐富課堂，實現德育價值

創設首尾呼應的太陽能發電這一情境，培養學生的民族自豪感與愛國主義情懷，增強學生的公民意識和社會責任感；通過講述歐幾里得在《幾何原本》中對平面的傾角的定義，滲透數學文化；以蛋白質折疊的二面角模型與北斗衛星的軌道面與赤道面夾角對比，極微觀和極宏觀的科學情境，調動學生的學習熱情，使學生獲得“數學來自于宇宙、數學是宇宙的語言”的體驗.

掃碼看視頻片段3 教學過程重要片段

3.1 情境與問題

播放紀錄片《輝煌中國》中介紹青海共和光伏電站的視頻片段，展示上海龍陽路地鐵站光伏發電項目的照片.

問題1用數學的眼光來看，展示的圖中蘊含哪些幾何元素間的位置關系？

問題2當光伏板轉動時，光伏板與水平面所在的兩個相交平面間的哪個量在變化？

教學說明：借助太陽能發電的情境，啟發學生從實際情境中抽象出數學問題，體現研究二面角的必要性與意義，引出主題.

3.2 分析與探究

3.2.1 二面角的概念

直線上的一點可以將直線分為兩部分，每部分稱為射線.類似地，在空間中，平面上的一條直線也將平面分為兩部分，每部分稱為半平面.在平面內，兩條直線相交會形成四個角.在空間中，兩個平面相交也會形成四個二面角.

問題3類比角的概念，你能給出空間中二面角的定義嗎？（類比結果見表1.）

3.2.2 二面角的度量

問題4在我們身邊有哪些二面角的形象？

教學說明：啟發學生用數學的眼光觀察世界，通過在生活中尋找二面角，感受二面角的幾何形象，深化對概念的認知.

展示蛋白質肽鏈的β折疊與北斗導航衛星的軌道示意圖.

教學說明：引出二面角的度量問題，突出二面角度量的重要性.極微觀和極宏觀的科學情境，形成強烈對比，調動學生的求知熱情.

用教室的門演示：隨著兩個半平面位置關系的變化，二面角是有大有小的.

問題5如何度量二面角的大小？

生：用一個平面內的角來刻畫二面角的大小.

教學說明：以簡馭繁，滲透將立體問題轉化為平面問題的降維轉化思想，為接下來的探究活動作鋪墊.

問題6怎樣構造角來刻畫二面角的大小？

追問1：為什么將角的頂點取在棱上？

生：（1）直線與平面所成角的頂點為兩個幾何對象的公共點.類似地，用一個平面內的角來度量二面角，角的頂點也應為兩個面的公共點，即二面角的棱上的點.（2）頂點取在棱上時，兩條邊就可以取在二面角的兩個面內，體現兩個面的相對位置.

教學說明：通過類比直線與平面所成的角，建立新舊知識的聯系.

追問2：當二面角αlβ給定時，∠AOB的大小與點O在棱上的取法有關嗎？

教學說明：通過等角定理證明所構造的角的大小與頂點在棱上的位置無關，強調二面角的構造的任意性與確定性.

追問3：為什么角的兩邊要與二面角的棱垂直？不垂直可以嗎？

活動1將半透明紙折成二面角，在二面角內畫出不同的角，驗證你的想法，并交流討論.（畫法如圖1.）

生1：符合直觀.當兩個半平面重合、完全展開成一個完整平面時，邊與棱垂直的角分別是0和π，與我們對二面角大小的直觀認識符合.掃碼看圖2動畫

生2：唯一確定.當頂點O確定時，在兩個面內只能作唯一一條垂直于棱的射線，此時角唯一確定.

Geogebra軟件演示（如圖2）：

教學說明：問題6及一系列追問將角的構造問題進行拆解，一步步啟發學生思考每個環節的原理.活動1旨在讓學生在實踐中體驗二面角的平面角的建構過程，在交流討論中互相啟發，發現事物的本質關系，從而培養發現和提出、分析解決問題的能力，鍛煉有理有據、邏輯連貫地闡明觀點與透過現象看本質的理性思維，樹立善于思考的科學精神.

3.3 閱讀與辨析

歐幾里得編著的《幾何原本》第XI卷中定義：從兩個相交平面的交線上同一點，分別在兩平面內各作交線的垂線，這兩條垂線所夾的銳角叫做這兩個平面的傾角（也可叫交角）[1].

教學說明：通過了解歐幾里得在《幾何原本》中對相交平面的傾角的定義，感受厚重的數學歷史和輝煌的數學文明.本節課所學的知識依賴于一代代大師付出的艱苦卓絕的努力，鼓勵學生直面未知、勇敢探索，喚起學生的科學奉獻精神.

活動2閱讀課本第37頁二面角的平面角的定義，并在學習單上補全定義中的關鍵詞.

教學說明：閱讀是重要的課堂活動，可以幫助學生加深對概念的理解，并通過對定義的辨析，落實、鞏固二面角的平面角的相關知識，培養嚴謹的思維習慣.

二面角的平面角應滿足：（1）角的頂點在棱上任取；（2）角的兩邊分別在二面角的兩個面內；（3）角的兩邊都垂直于二面角的棱；（4）二面角的取值范圍是［0，π］.

當二面角確定時，其平面角就唯一確定，反之亦然.

3.4 練習與實踐

活動3在正方體ABCDA1B1C1D1中，作出以下二面角的一個平面角，并求它的度數：

（1）A1ADB；（2）ADD1B；（3）A1DBA.

思考：二面角A1DBC的平面角是哪個角？大小是多少？

在（1）中，二面角的大小等于π2時，其平面角是π2，此時，我們稱這個二面角為直二面角.當兩個平面相交所成的二面角是直二面角時，我們就說這兩個平面相互垂直.

教學說明：正方體是一個直觀的模型，以此為載體幫助學生掌握二面角的表示方法，學會構造簡單的二面角的平面角并求解大小，使學生更直觀地認識和理解空間對象的位置關系，培養“空間感”和洞察力.同時，引出下節課的主題——平面與平面垂直.

3.5 聯系與綜合

活動4在學校北邊的天臺上，布置了若干巨大的太陽能光伏板（如圖3），它的支架可以帶動光伏板轉動，使光伏板正對太陽光發電，為校園提供了清潔電能，使綠色低碳科技變得觸手可及.

老師發現，秋分這天正午，上海的太陽高度角是59°，請結合圖4求出此時光伏板與水平面所成的二面角的大小.（太陽高度角指太陽光線與水平面所成角.）

教學說明：從身邊的實例出發，經歷從實際情境到幾何模型的構建，體會數學的應用價值，感受“用數學的眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界”.題目情境與課堂引入相呼應，使本節課更具整體性.

3.6 小結與作業

3.6.1 課堂小結

本節課從三個方面總結如下：

研究問題：（1）什么是二面角；（2）如何度量二面角.

研究過程：（1）類比平面內的角，得到二面角的概念；（2）將二面角的度量問題轉化為構造平面內的角的問題；（3）在折紙活動中感受二面角的平面角構造的合理性，經歷從直觀感知、操作確認到簡單推理論證的過程.

思想方法：（1）聯系新舊知識的類比思想；（2）將空間問題轉化為平面問題的降維轉化思想.

教學說明：從研究問題、研究過程、思想方法等方面梳理本節課內容，幫助學生歸納總結，實現知識的內化.掃碼看補充題

3.6.2 課后作業

（Ⅰ）基礎練習

教材第40頁第6～8題及補充題.

補充題：埃及是歐氏幾何的誕生之地，歐幾里得在此編撰的著作《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎.同樣聞名于世的，還有埃及的金字塔，早在《幾何原本》誕生前的2 300年，金字塔就已建造而成，它的出現展現了古埃及人的才能與智慧.

胡夫金字塔是最古老、最宏偉的金字塔之一.它是由一個正方形底面、四個全等的等腰三角形側面構成的幾何體.其底部邊長為230 m，側壁三角形的腰（側棱）長214 m（計算結果保留兩位小數）.

（1）求胡夫金字塔的側壁與地面所成的二面角大小；（50.42°）

（2）若一只羚羊在金字塔側壁，沿著與底邊成60°角的直線向上攀行了100 m，此時羚羊所在海拔高度上升了多少m？（66.74 m）

評價建議：（1）正確完成教材第40頁的第6～8題，并能畫出金字塔的直觀圖，可評價為合格；（2）正確完成教材第40頁的第6～8題和補充題的第一問，可評價為良好；（3）能夠全部正確完成，可評價為優秀.

（Ⅱ）拓展探究（選做）

本節課我們用半平面內垂直于棱的兩條射線構造了二面角的平面角，由等角定理知平面角的大小與頂點的取法無關.某同學受到啟發，提出了另一種構造平面角的方法：作一個垂直于棱的平面，它與二面角的兩個半平面相交的射線所構成的角.用這種方法構造的角，與我們今天所學的平面角是一致的.（1）證明該方法構造的平面角的大小與所作平面的位置無關；

（2）如果所作的平面與棱成30°角，所截得的角的大小是否依然與平面位置無關？請說明理由.

評價建議：（1）能用等角定理證明第一問，并在第二問中回答出所截得的角與平面位置有關，可評價為合格；（2）能用等角定理證明第一問，在第二問中能舉出兩個不同位置的截面，使截得的角大小不同，可評價為良好；掃碼看課程視頻（3）能用等角定理證明第一問，并能通過幾何軟件、模型等演示出當平面圍繞二面角的棱旋轉時所截得的角的變化，可評價為優秀.

參考文獻：

[1]歐幾里得.幾何原本[M].蘭紀正，朱恩寬，譯.江蘇：譯林出版社，2014：477.