簡(jiǎn)便運(yùn)算錯(cuò)誤歸因及對(duì)策探析

［摘" 要］ 研究者對(duì)學(xué)生的乘法簡(jiǎn)便運(yùn)算錯(cuò)誤歸因進(jìn)行分析，抓住乘法分配律的本質(zhì)特征進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生鞏固乘法分配律，促進(jìn)學(xué)生形成知識(shí)體系。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；簡(jiǎn)便運(yùn)算；知識(shí)體系；對(duì)策探析

運(yùn)算是數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)的一種基本思維形式。運(yùn)算能力主要包括能夠根據(jù)運(yùn)算律、運(yùn)算法則和運(yùn)算程序熟練進(jìn)行四則運(yùn)算。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，簡(jiǎn)便運(yùn)算的教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力不可或缺的一部分，不僅可以滲透化繁為簡(jiǎn)的思想，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的發(fā)展。

一、簡(jiǎn)便運(yùn)算的錯(cuò)誤成因及現(xiàn)狀

在簡(jiǎn)便運(yùn)算中，對(duì)運(yùn)算定律本質(zhì)的理解是學(xué)生靈活進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的關(guān)鍵。對(duì)學(xué)生來說，最難掌握的運(yùn)算定律是乘法分配律，學(xué)生在運(yùn)用時(shí)常常出現(xiàn)錯(cuò)誤，容易與乘法結(jié)合律混淆。究其原因主要是乘法分配律的模型與其他運(yùn)算定律的模型不同，學(xué)生難以理解，尤其是學(xué)生學(xué)習(xí)了小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘除法后遇到的簡(jiǎn)便運(yùn)算類型繁多。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握簡(jiǎn)便運(yùn)算的技巧和方法。

現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)編教材第二學(xué)段運(yùn)算定律內(nèi)容包括加法交換律和結(jié)合律、乘法交換律和結(jié)合律以及乘法分配律，要求學(xué)生能用字母表示運(yùn)算律，并理解算理和掌握算法，培養(yǎng)代數(shù)思維；第三學(xué)段運(yùn)算教學(xué)的主要內(nèi)容包括簡(jiǎn)單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和混合運(yùn)算，重點(diǎn)是讓學(xué)生感悟運(yùn)算的一致性。因此，在第三學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)了小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算后，教師要對(duì)學(xué)生的乘法分配律運(yùn)用能力進(jìn)行檢測(cè)和錯(cuò)誤歸因，并通過結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)“乘法分配律再認(rèn)識(shí)”的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生深入理解乘法分配律的本質(zhì)特征，鞏固乘法分配律的應(yīng)用，牢固架構(gòu)乘法分配律的模型，促進(jìn)學(xué)生形成知識(shí)體系，提升學(xué)生的運(yùn)算能力和高階思維能力。

二、簡(jiǎn)便運(yùn)算的有效策略

簡(jiǎn)便運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要地位，它不僅能提高學(xué)生的計(jì)算速度和準(zhǔn)確性，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們的思維能力和創(chuàng)新精神。

1. 檢測(cè)練習(xí)，鋪墊精準(zhǔn)施教

當(dāng)學(xué)生學(xué)完第二學(xué)段的探索運(yùn)算定律之后，教師要在第三學(xué)段的小數(shù)乘除法四則運(yùn)算中繼續(xù)探索運(yùn)算定律對(duì)于小數(shù)是否適用。教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在簡(jiǎn)便運(yùn)算中乘法分配律的應(yīng)用錯(cuò)誤較多。因此，在教學(xué)整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到小數(shù)后，教師要利用習(xí)題進(jìn)行檢測(cè)，幫助學(xué)生尋找產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因及對(duì)策。

師：同學(xué)們，小數(shù)乘除法的學(xué)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，下面挑戰(zhàn)“計(jì)算小能手”的時(shí)刻到了。現(xiàn)在老師給出12個(gè)題目，請(qǐng)你們快速進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。

①472×78＋528×78；②（1.25－0.125）×8；③1.25×2.5×32；④7.6×102；⑤65×101－65；⑥9.8－9.8×0.7；⑦10.6×5.09－0.6×5.09；⑧44×250；⑨6.8×3.8＋38×0.32；⑩36.5×9.9＋3.65；？輥？輯？訛7.2×0.4+2.4×4.8；？輥？輰？訛98×7.2+14.4。

運(yùn)算結(jié)束后，通過數(shù)據(jù)的收集和統(tǒng)計(jì)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤較多的地方集中在變式練習(xí)。部分學(xué)生直接運(yùn)用四則運(yùn)算，雖然結(jié)果正確，但是方法不簡(jiǎn)便。為了收集更多的第一手資料，以便進(jìn)一步了解學(xué)生的運(yùn)算錯(cuò)誤原因，筆者對(duì)本校其他班級(jí)進(jìn)行了抽樣比對(duì)，并對(duì)所抽測(cè)班級(jí)的學(xué)生進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運(yùn)算時(shí)遇到的困難很多，正確率見表1。

（1）學(xué)生對(duì)乘法分配律的基本模型掌握不牢固，容易在分與合的過程中出錯(cuò)，比如出現(xiàn)（1.25－0.125）×8=1.25-0.125×8或1.25×8-0.125的錯(cuò)誤。

（2）學(xué)生對(duì)乘法分配律和乘法結(jié)合律出現(xiàn)混用，比如出現(xiàn)1.25×2.5×32=1.25×8+2.5×4，7.6×102=7.6×100×2，44×250=40×250×4或者40+4×250等錯(cuò)誤。

（3）在變式練習(xí)中運(yùn)用乘法分配律時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。部分簡(jiǎn)便運(yùn)算的題目在不改變運(yùn)算結(jié)果的情況下，需要學(xué)生創(chuàng)造條件找到適合乘法分配律的模型進(jìn)行運(yùn)算，但是有的學(xué)生無法創(chuàng)設(shè)出與運(yùn)算結(jié)果一致的乘法分配律模型。比如出現(xiàn)44×250=40+4×250，36.5×9.9＋3.65=3.65×（9.9＋0.1）；7.2×0.4+2.4×4.8=7.2×（2.4-0.4）×4.8；98×7.2+14.4=98×7.2+（14.4÷2）等錯(cuò)誤。

精準(zhǔn)定位學(xué)情是教師進(jìn)行教學(xué)思考與實(shí)踐的前提，通過檢測(cè)，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行歸因，能為下一步的精準(zhǔn)施教做好鋪墊。

2. 課堂實(shí)施，探究解決方法

筆者通過檢測(cè)摸清了學(xué)生在簡(jiǎn)便運(yùn)算過程中的錯(cuò)誤類型，找到了乘法分配律應(yīng)用錯(cuò)誤的根本原因，即學(xué)生對(duì)本質(zhì)模型理解不到位，無法創(chuàng)造符合乘法分配律模型的簡(jiǎn)便運(yùn)算方法。因此，筆者通過三個(gè)教學(xué)活動(dòng)串聯(lián)本節(jié)課，幫助學(xué)生加深對(duì)乘法分配律模型的本質(zhì)理解。

活動(dòng)一：快速完成解答（限時(shí)4分鐘）。

①筆算：14×12。

②簡(jiǎn)算：3.5×9+3.5。

③如圖1所示，求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。

④如圖2所示，求組合圖形的面積。

⑤媽媽到超市買了4千克的蘋果，每千克7.5元，又買了同樣價(jià)格的梨子8千克，媽媽一共花了多少錢？

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，模型是數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想本質(zhì)之一。因此，理解乘法分配律模型有助于學(xué)生理解乘法分配律概念的本質(zhì)，為靈活簡(jiǎn)便運(yùn)算打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教學(xué)伊始，在學(xué)生快速完成解答后，教師應(yīng)激活學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生在挑戰(zhàn)練習(xí)的過程中逐漸形成乘法分配律的模型意識(shí)，進(jìn)而掌握乘法分配律的定義和字母公式，凸顯乘法分配律的本質(zhì)特征。

活動(dòng)二：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)熟悉的教材內(nèi)容進(jìn)行梳理，尋找教材中乘法分配律的模型，在歸納與提煉的過程中系統(tǒng)認(rèn)知乘法分配律，并形成乘法分配律的結(jié)構(gòu)化知識(shí)鏈（具體見表2）。

通過梳理教材可知，乘法分配律的模型分布較廣，涵蓋小學(xué)的各個(gè)年級(jí)。教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)熟悉的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化和抽象概括，且重視梳理與提煉，以實(shí)現(xiàn)對(duì)乘法分配律的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。在知識(shí)模塊上，教師要從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從低年級(jí)到高年級(jí)，一步一步地引導(dǎo)學(xué)生梳理其中的乘法分配律模型a（b±c）=ab±ac或（a±b）c=ac±bc，讓學(xué)生整體感知整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)在乘法分配律中的運(yùn)用，真正理解乘法分配律以及如何簡(jiǎn)便計(jì)算整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算。教師要引導(dǎo)學(xué)生將已經(jīng)學(xué)過的與即將學(xué)習(xí)的乘法分配律內(nèi)容整合在一起，構(gòu)建一個(gè)完整的知識(shí)體系。在這一過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)乘法分配律的本質(zhì)特征，培養(yǎng)學(xué)生乘法分配律的模型意識(shí)。

活動(dòng)三：不用計(jì)算，哪些題目可以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算？

①21×9＋19×9；②4.2×7.5+7.5×5.8；③3/5×2+2/5×2；④9.8－9.8×0.7；⑤（1.25－0.125）×8；⑥0.65×102；⑦98×7.2+14.4；⑧1.25×2.5×32；⑨44×250。

首先，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)據(jù)，讓學(xué)生直觀尋找算式中含有乘法分配律的模型a（b±c）=ab±ac或（a±b）c=ac±bc，即含有兩級(jí)運(yùn)算的乘法是否有一個(gè)因數(shù)是相同的，另外兩個(gè)因數(shù)是否可以湊整進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。比如：21×9＋19×9，4.2×7.5+7.5×5.8，3/5×2+2/5×2，（1.25－0.125）×8。

其次，讓學(xué)生觀察符號(hào)。觀察符號(hào)和觀察數(shù)據(jù)同等重要，能讓學(xué)生懂得必須明確乘法分配律的本質(zhì)特征才能真正進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。乘法分配律的模型包含著兩級(jí)運(yùn)算符號(hào)形式，教師要引導(dǎo)學(xué)生尋找乘法分配律的模型，判斷題目是否具有乘法分配律的模型。

再次，讓學(xué)生創(chuàng)造條件。當(dāng)算式中無法直接看出乘法分配律模型時(shí)，學(xué)生可以在不改變運(yùn)算結(jié)果的情況下，創(chuàng)造符合乘法分配律的模型進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。比如，9.8－9.8×0.7中有相同的因數(shù)，但是缺少一個(gè)相減的因數(shù)，此時(shí)可創(chuàng)造條件9.8×1－9.8×0.7，使其符合乘法分配律模型。這樣的創(chuàng)造需要學(xué)生以模型為基礎(chǔ)，充分思考符合要求的條件進(jìn)行創(chuàng)造，并借助乘法分配律對(duì)運(yùn)算過程進(jìn)行重組和化簡(jiǎn)，得到不同的算法，提升自身的思維品質(zhì)。

活動(dòng)中，學(xué)生對(duì)于0.65×102、98×7.2+14.4、1.25×2.5×32、44×250這四個(gè)題目都能通過創(chuàng)造條件，重組與乘法分配律模型一致的簡(jiǎn)便運(yùn)算。但是在1.25×2.5×32這一題中，學(xué)生還是會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)創(chuàng)造錯(cuò)誤的條件，如1.25×8+2.5×4，這說明其沒有掌握乘法分配律的本質(zhì)，將乘法分配律與乘法結(jié)合律混淆。因此，突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是教師要讓學(xué)生理解運(yùn)算律的本質(zhì)，在仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)時(shí)注意觀察符號(hào)，樹立乘法分配律的模型意識(shí)。

最后，讓學(xué)生優(yōu)化簡(jiǎn)算。在44×250中，學(xué)生能夠創(chuàng)造條件進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，如4×11×250和（40+4）×250=40×250+4×250，兩種形式一個(gè)是運(yùn)用乘法結(jié)合律簡(jiǎn)算，另一個(gè)是運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算，通過多種對(duì)比，從中找到最優(yōu)的簡(jiǎn)便運(yùn)算方法。

活動(dòng)三中層層深入的問題設(shè)計(jì)，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察數(shù)據(jù)—觀察符號(hào)—?jiǎng)?chuàng)造條件—優(yōu)化簡(jiǎn)算的運(yùn)算策略中逐一體驗(yàn)乘法分配律模型”的過程，提升運(yùn)算能力，發(fā)展高階思維。

3. 回顧反思，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

（1）在活動(dòng)中抓本質(zhì)——識(shí)模

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在掌握知識(shí)的過程中形成和發(fā)展，是其原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新知識(shí)相互作用的結(jié)果。教師要引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中建立乘法分配律的模型，通過激活學(xué)生原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)乘法分配律概念本質(zhì)的理解，形成乘法分配律的知識(shí)鏈，體會(huì)乘法分配律應(yīng)用的靈活性。在強(qiáng)化乘法分配律原型認(rèn)識(shí)的變式練習(xí)中，教師要通過生生互學(xué)、思辨討論，讓學(xué)生形成一定的方法和策略，從而使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)達(dá)到新的高度與深度。

（2）在梳理中重結(jié)構(gòu)——固模

在單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師可能會(huì)較多地立足一個(gè)單元的設(shè)計(jì)，較少?gòu)目v橫交錯(cuò)的教材中思考。學(xué)生對(duì)于乘法分配律并不陌生，雖然到四年級(jí)才正式學(xué)習(xí)，到五、六年級(jí)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，但學(xué)生腦海中存在的都是點(diǎn)狀的認(rèn)知。本節(jié)課的活動(dòng)二是梳理教材中的乘法分配律模型，關(guān)聯(lián)了整個(gè)小學(xué)的階段，甚至包括初中階段的猜想，從不同的角度給了學(xué)生不一樣的思路。教師要從不同的視角巧妙設(shè)計(jì)乘法分配律的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生將乘法分配律連點(diǎn)成線，加深對(duì)乘法分配律的再認(rèn)識(shí)，促進(jìn)對(duì)乘法分配律知識(shí)體系的架構(gòu)和固模。

（3）在思辨中成系統(tǒng)——用模

課堂要以學(xué)為中心進(jìn)行變革，變的不僅有教師的教學(xué)方式，還有學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。比如在活動(dòng)三中，教師不僅引導(dǎo)學(xué)生去觀察數(shù)據(jù)、觀察符號(hào)、結(jié)構(gòu)性創(chuàng)造條件，掌握乘法分配律的應(yīng)用，還引導(dǎo)學(xué)生對(duì)乘法分配律進(jìn)行深入探究，并體會(huì)方法的多樣性，強(qiáng)化對(duì)乘法分配律的建模和用模。

三、結(jié)語

乘法分配律的應(yīng)用是運(yùn)算定律教學(xué)中學(xué)生容易出現(xiàn)“反復(fù)性錯(cuò)誤”的內(nèi)容。教師要引導(dǎo)學(xué)生建立乘法分配律的基本模型，加深學(xué)生對(duì)乘法分配律概念本質(zhì)的理解，并以乘法分配律的本質(zhì)模型為關(guān)鍵點(diǎn)，讓學(xué)生在經(jīng)歷梳理教材、變式練習(xí)中加深對(duì)概念本質(zhì)的理解，形成對(duì)概念的基本認(rèn)知。教師要引導(dǎo)學(xué)生在歸納與提煉的過程中實(shí)現(xiàn)概念的結(jié)構(gòu)化，形成乘法分配律的知識(shí)鏈；讓學(xué)生在梳理解題思路中獲得簡(jiǎn)便運(yùn)算的方法與策略，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，促進(jìn)學(xué)生形成知識(shí)體系。