一道雙曲線離心率問題的多視角探究

摘 要：文章從2024年全國九省聯考第8題入手，從七個不同的視角來探究雙曲線離心率的不同解法，并反思解題過程.引導學生理解離心率問題的數學本質，進而培養學生的創新思維，發展學生在解題中的靈活應變能力，使學生面對較復雜的離心率問題時，能有規可循，靈活變通.

關鍵詞：雙曲線;離心率;解法探究

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0021-04

離心率是解析幾何中的重要知識，涉及的知識面廣，切入的角度多樣，靈活多變，這類問題常考常新.近年高考及質檢試題頻頻出現求解離心率的值或取值范圍問題，難度較大且對計算能力要求較高，學生解決該類問題，存在較大困難[1].下面從2024年全國九省聯考第8題入手，通過觀察、分析、比較、聯想等，探究問題的數學本質，尋覓解題的切入點與突破口.

1 試題呈現

2 多解探究

視角1 利用焦半徑公式求解離心率.

解法1 如圖1，設A（-x0，y0），B（x0，y0），根據雙曲線焦半徑公式可知，

所以4c2=4a2+16a2+8a2.

即c2=7a2.

故選D.

點評 利用雙曲線焦半徑公式、題目中已知條件、點在雙曲線上建立方程組化簡求解.

視角2 利用焦點三角形的面積求解

解法2 如圖1，|F1B|=2|F1A|，

BF1-BF2=2a，

解得F1A=2a.

即BF1=4a，BF2=2a.

所以∠AF2B=60°，∠F1BF2=120°.

故選D.

點評 利用雙曲線定義求出線段長度，結合定義法及數量積求解角度，根據焦點三角形面積公式建立方程求解離心率.

視角3 利用中線向量公式.

解法3 如圖2，因為O為AB中點也是F1F2中點，

所以四邊形AF2BF1為平行四邊形.

所以|F1B|=|F2A|=2|F1A|.

又|F2A-F1A|=2a，

所以|F1A|=2a，|F2A|=4a.

所以∠AF2B=60°.

所以4c2=4a2+16a2+8a2.

所以c2=7a2.

故選D.

點評 利用雙曲線定義求出線段長度，結合定義法及數量積求解角度，利用中線向量公式建立方程求解離心率.

視角4 利用中線長公式.

解法4 由OF1=OF2，OA=OB，得四邊形AF1BF2為平行四邊形.

則AF1=BF2，BF1=AF2.

又BF1-BF2=2a，BF1=2BF2，

則BF2=2a，BF1=4a.

=|F2O|2-|OA|2（極化恒等式），

所以4a2=c2-|OA|2.

所以|OA|2=c2-4a2.

又由中線長公式，得

4|OB|2+|F1F2|2=2（|BF1|2+|BF2|2）.

所以4（c2-4a2）+4c2=2（16a2+4a2）=40a2.

所以2c2-4a2=10a2.

所以c2=7a2.

所以e2=7.

解得e=7.

故選D.

點評 利用雙曲線定義求出線段長度，結合極化恒等式求數量積，最后利用中線長公式建立方程求解離心率.

視角5 利用雙曲線的定義+余弦定理.

解法5 如圖3，因為O為AB中點也是F1F2中點，所以AF2BF1為平行四邊形.

所以|F1B|=|F2A|=2|F1A|.

又|F2A-F1A|=2a，

所以F1A=2a，F2A=4a.

=-2a·4acos∠F1AF2

=-8a2cos∠F1AF2

=4a2.

=AF21+AF22-2AF1·AF2·cos∠F1AF2

=28a2.

即4c2=28a2.

故選D.

點評 利用雙曲線定義求出線段長度，結合定義法及數量積求解角度，在三角形中直接由余弦定理建立方程求解離心率.

解法6 如圖4，設|F1A|=t，則|F1B|=2t.

由雙曲線定義，得

|F1B|-|F2B|=|F1B|-|F2A|=2t-t=2a.

所以t=2a.

在△ABF2中，由余弦定理，得

|AB|2=|F2A|2+|F2B|2-2|F2A|·|F2B|·cos∠AF2B.

設∠BOF2=α，則∠BOF1=π-α.

在△BOF1中，由余弦定理，得

在△BOF2中，由余弦定理，得

兩式相加，得

20a2=2c2+ba2.

故選D.

點評 利用雙曲線定義求出線段長度，結合定

視角6 雙曲線定義+余弦定理+直角三角形.

解法7 由于對稱性，四邊形AF1BF2為平行四邊形，2F1A=F1B.

因為F2A-AF1=2a，設F1A=x，則

F2A=2a+x=F1B=2x.

所以x=2a.

所以△ABF1為直角三角形.

故選D.

點評 利用雙曲線定義求出線段長度，結合定義法及數量積求解角度，通過數量關系的轉化得到△ABF1為直角三角形，求得焦距長度，再直接求離心率即可.

視角7 余弦定理+極化恒等式.

故選D.

點評 利用極化恒等式和定義法對數量積算兩次，再結合余弦定理建立方程求解離心率.

3 結束語

離心率是圓錐曲線中的一個重要概念，是對圓錐曲線形狀特征的一個重要的量化描述.雙曲線離心率問題的求解一直是熱點問題，也是歷年高考和競賽中比較常見的一類問題.雙曲線的離心率問題，往往對學生數學運算和邏輯推理的要求較高，對大多數學生來說是一個很大的挑戰，也是形成數學能力的一個分化點與機遇.學生必須具備直觀想象素養、邏輯推理素養和數學運算素養，通過多視角剖析，對試題深入觀察、比較、聯想、分析等，進而找到簡潔的解法和通法[2].雙曲線離心率涉及解析幾何、平面幾何、代數等多個知識點，綜合性強，方法靈活.解決此類問題時，應先從圖形出發，分析圖形特征，適時構造直角三角形并借助勾股定理、三角形的中位線性質定理、特殊三角形的性質、銳角三角函數、正（余）弦定理、雙曲線的定義等知識靈活處理，從而抓住問題的本質，降低運算量.

參考文獻：

［1］徐春生.例析雙曲線的離心率問題[J].中學生數理化，2022（11）：17-18.

[2] 王勇，張華麗.在新情境中探究雙曲線的離心率[J].數理天地，2023（07）：21-23.