探究圓錐曲線中的“雙定同構”問題

摘 要：借助圓錐曲線中的相關知識，通過“雙定同構”問題的導引，利用新教材與新高考的根源，對這兩個不同層面加以深入分析，歸納總結此類問題的規律與策略，引領并指導數學教學與復習備考．

關鍵詞：圓錐曲線；雙定同構；橢圓；雙曲線；拋物線

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2025）04-0049-03

歷年高考真題都是我們數學教學與學習過程中的一個典型范例，也是教材的深入與體現.而作為歷年高考中的重點與難點之一的圓錐曲線及其綜合應用問題，更是研究的一個重點.結合新教材與新高考的“雙定同構”問題合理變式，舉一反三，靈活教學與學習，成為研究教材和高考的一個基本方向[1].

1 “雙定同構”問題導引

通過學習解析幾何的相關知識，我們作如下思考：

問題1 平面上到定點（一定）的距離等于定長（二定）的點的軌跡是圓．反過來說，對于圓C上任一點P，是否存在定點T，使得|PT|是定值．眾所周知，答案是肯定的，定點T一定是圓C的圓心，|PT|為圓C的半徑，如何論證呢？

問題2 平面上到兩定點（一定）的距離之和等于常數（二定）（大于兩定點的距離）的點的軌跡是橢圓．反過來說，對于橢圓C上任一點P，是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值．若存在，求出兩定點A，B的位置（坐標）及該定值；若不存在，請說明理由．你也許會回答A，B一定是橢圓C的兩個焦點，|PA|+|PB|一定是橢圓C的長軸長．是的，但怎么推理呢？

問題解讀

事實上，問題1，2分別是由圓與橢圓的定義建構出來的“雙定同構”問題，這樣的“雙定”問題是圓錐曲線中十分重要的內容.

“雙定同構”問題不僅是基礎知識的升華，還是綜合問題的體現，是應用意識和創新意識的真實寫照，是數學核心素養的載體．

（1）求C的方程；

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．

這就是典型的“雙定同構”問題．下面以教材典題為例，進行圓錐曲線中的“雙定同構”問題的探究．

因此我們可以建構下面的“雙定同構”試題：

歸納總結 從原題及建構試題的解析過程可得出圓錐曲線中“雙定同構”探索問題的解答步驟如下：（1）假設存在雙定元素S，T滿足條件；（2）列出關于S，T的關系式；（3）根據恒成立條件列出關于S，T的方程組；（4）求解方程組．若方程組有解，則存在雙定元素S，T滿足條件；若方程組無解，則不存在雙定元素S，T滿足條件．

2 由教材典題建構“雙定同構”試題

高考試題根植教材，源于教材，高于教材，下面以“雙定同構”的命題形式，將教材中的部分典題轉化成“高考試題”．

按“雙定同構”的命題形式，結合雙曲線的幾何性質，可以命制下列試題：

（1）求雙曲線C的方程；

3 由高考題改編為“雙定同構”試題

很多關于定點、定值與定直線的高考試題都可以改編成“雙定同構”試題．

（1）求l的斜率；

答案 存在斜率k=-1 的定直線l，使得直線AP 與直線AQ 的斜率之和為常數0．

（1）求橢圓C的方程；

（2）對于C上的任意一點M，在x軸上是否存在定點D，以及是否存在與y軸平行的定直線l，使得點M到定點D的距離與點M到定直線l的距離之比為常數λ ．若存在，求出定點D的坐標、定直線l的方程和此時的常數λ ；若不存在，請說明理由[2]．

變式2 已知拋物線C：y2=2pxpgt;0的焦點為F，過點F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點．A，B在y軸上的射影分別為O1，O2，梯形O1ABO2繞y軸旋轉一周所得的圓臺的側面積為12π ．

（1）求拋物線C的方程；

（2）是否存在過定點T的直線m與C交于M，N兩點，且M，N在與x軸垂直的定直線n上的射影為D，E，使得TD⊥TE．若存在，求出定點T的坐標與定直線n的方程；若不存在，請說明理由．

答案 （1）y2=2x．

（2）不存在定點T 與定直線n 滿足題中的條件．

4 結束語

依托圓錐曲線及其綜合應用問題的“雙定同構”，立足新教材，深入新高考，全面提升對數學“四基”與“四能”的深入理解，全面提升數學關鍵能力，優化數學思維品質，形成良好的解題習慣與解題能力，以不變應萬變，才是真正體現素養的根本.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2017．

[2] 龔瑜，韓文美.“動”“靜”結合，定點永存：賞析2023年高考數學全國乙卷理科第20題[J].中學生數理化（高二數學），2023（11）：30-33.