簡諧運動的對稱思想在有關彈簧問題中的妙用

【摘要】簡諧運動是人教版新版物理選擇性必修一的內容，新高考改革前，它在各省的高考中要求不高，甚至在江蘇08方案中作為選考內容，很多學校不選、不考，而即便作為高考內容呈現時，題目難度一般也較低，考察類型相對單一.但新高考中對簡諧運動的要求變高，更多的力學題中出現了簡諧運動的身影，而這種題目的出現往往令學生甚至部分教師都無從下手，可以預見，新高考中類似的考法會越來越多，類似的題目也會更加多樣，筆者通過對近幾年出現的相關問題研究，發現借助簡諧運動的對稱思想，可以更高效地處理相關問題，更快地抓住題眼，精準破題，也希望這些方法的示例能為學生提供一個新的方向.

【關鍵詞】簡諧運動；新高考；對稱

1 水平方向的彈簧振子

以最基本的彈簧振子問題來研究，如圖1，振子質量m，彈簧勁度系數k，水平面光滑，O點（原長處）為平衡位置，A、B兩點為最大位移處，M、N兩點關于O點對稱，不難證明F=－kx，即該振動為簡諧運動，那么這里存在著以下對稱關系.

（1）位置對稱：M、N關于O點對稱，A、B關于O點對稱，有M、N兩點的位移等值反向、A、B兩點的位移等值反向；

（2）回復力對稱：M、N兩點回復力等值反向，A、B兩點回復力等值反向，且最大；

（3）加速度對稱：M、N兩點加速度等值反向，A、B兩點加速度等值反向，且最大；

（4）速度對稱：M、N點速度大小相等、A、B兩點速度相等且都為0；

（5）時間對稱：O到A和O到B的時間相等，O到M和O到N時間相等.

例1 如圖2，一彈簧振子在光滑水平桿上做簡諧運動，已知O為平衡位置，a、b為關于O的兩個對稱位置，則振子在經過a、b兩點時（ "）

（A）所受彈簧彈力一定相同.

（B）相對平衡位置的位移一定相同.

（C）速度一定相同.

（D）彈簧的彈性勢能一定相同.

解析 本題答案為（D）、可直接套用簡諧運動的對稱結論，關于O點對稱的a、b兩點位移等值反向，回復力等值反向，彈性勢能相等，速度大小相等，方向可能相同.

2 豎直方向的彈簧振子

若彈簧振子在豎直方向，如圖3，振子質量為m，彈簧勁度系數為k，C點為原長，O為平衡位置，A、B兩點為最大位移處，M、N兩點關于O點對稱，那么這里將同樣存在相應的對稱關系.

例2 如圖4所示，輕彈簧下端固定在水平地面上，彈簧位于豎直方向，另一端靜止于點B，在點B正上方點A處，有一質量為m的物塊，物塊從靜止開始自由下落，物塊落在彈簧上，壓縮彈簧，到達點C時，物塊的速度為零，如果彈簧的形變始終未超過彈性限度，不計空氣阻力，下列判斷正確的是（ "）

（A）物塊在點B時動能最大.

（B）從點A經點B到點C，再由點C經點B到點A的全過程中，物塊的加速度的最大值大于g.

（C）從點A經點B到點C，再由點C經點B到點A的全過程中，物塊做簡諧運動.

（D）如果將物塊從點B由靜止釋放，物塊仍能到達點C.

解析 本題答案為（B），物塊從A到B為自由落體運動，從B點到C點的運動可以理解為彈簧振子簡諧運動的一部分，（C）選項錯誤；對B、C段研究，找到兩個特殊位置，如圖4（b），平衡位置O點，B點關于O的對稱點B′，則O點速度最大，動能最大，（A）錯誤；由對稱思想知，B點和B′點的加速度等值反向，速度相同，C點位于B點的下方，因此有aCgt;aB′=aB=g，（B）正確；而如果從B點釋放，則只能運動到B'點，可知（D）錯誤.本題中通過作圖，找到簡諧運動中關鍵點，借助于對稱思想，可以很快分析出（A）（B）（D）三個選項.

3 水平方向的阻尼振動

仍以水平面上的彈簧振子來研究，如圖5（a），這里地面有摩擦，但動摩擦因素為μ，O為原長位置，那么振子在往返一段時間后會停在某一位置，且振動過程中的平衡位置在變化，把振子放到左側某位置A點釋放，從A點到運動到B點，這里O1點為該過程的平衡位置，且kxOO1=μmg，A、B兩點關于O1點對稱，情境一中的相應結論同樣適用.若能從B點返回至A1點，如圖5（b），則O2點為B到A1點過程的平衡位置，且kxOO2=μmg、OO1=OO2，同時，B點和A1點關于O2點對稱，情境一中的相應結論同樣適用.

例3 （2018·江蘇·高考真題）如圖6所示，輕質彈簧一端固定，另一端連接一小物塊，O點為彈簧在原長時物塊的位置．物塊由A點靜止釋放，沿粗糙程度相同的水平面向右運動，最遠到達B點．在從A到B的過程中，物塊（ "）

（A）加速度逐漸減小.

（B）經過O點時的速度最大.

（C）所受彈簧彈力始終做正功.

（D）所受彈簧彈力做的功等于克服摩擦力做的功.

解析 本題答案為（D），A到B運動過程中，平衡位置為O′點，在O的左側，該過程可看作簡諧運動的一部分，則A、B兩點關于O′點對稱，且xOO′=fk，則A到B加速度先減后增，且A、B兩點的加速度等值反向，故（A）錯；速度最大在平衡位置O′點，（B）錯誤；彈簧先做正功后做負功，（C）錯誤；（D）選項可由動能定理或能量守恒定律求得，是正確的.

4 結語

本文分別針對彈簧振子相關的三種情景，結合具體問題進行了討論，可以發現，借助于簡諧運動的對稱思想，很多與彈簧相關的問題都可以較快地找到切入點，從而使得解題思路更清晰，正確率更高.通過這種方法的練習，能夠有效加深學生對簡諧運動相關知識的理解.