考慮湍流模型不確定性量化的噴管伴隨優(yōu)化設(shè)計(jì)

摘要：為提高工程中廣泛采用的基于雷諾平均Navier-Stokes （RANS）模型設(shè)計(jì)優(yōu)化的可靠性和穩(wěn)健性，針對(duì)RANS模型存在的結(jié)構(gòu)不確定性，通過質(zhì)心圖和雷諾應(yīng)力的可實(shí)現(xiàn)性對(duì)其進(jìn)行合理量化，采用自適應(yīng)非均勻擾動(dòng)方法對(duì)湍流各向異性張量的特征值和特征空間施加擾動(dòng)，并對(duì)模型預(yù)測(cè)的不確定區(qū)間進(jìn)行數(shù)值估計(jì)。提出了一種RANS模型不確定性量化框架下的伴隨設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，探索了該方法在拉瓦爾噴管優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，通過6次模擬獲得了不同擾動(dòng)下的優(yōu)化幾何型線，不同型線所圍成的區(qū)域（置信區(qū)間）反映了模型結(jié)構(gòu)不確定性引起的幾何優(yōu)化差異。研究結(jié)果表明：在不同擾動(dòng)下，優(yōu)化后的噴管總壓損失降低了6.7%～19.2%，實(shí)現(xiàn)了噴管性能的穩(wěn)健提升，獲得的置信區(qū)間降低了對(duì)制造公差的敏感性，從而在一定程度上降低了精度要求和制造成本。研究結(jié)果展示了考慮RANS模型不確定性量化的優(yōu)化設(shè)計(jì)在航空航天工程應(yīng)用中的潛在價(jià)值和指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：不確定性量化；伴隨優(yōu)化設(shè)計(jì)；湍流模型；噴管；制造公差

中圖分類號(hào)：V211.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202503001 文章編號(hào)：0253-987X（2025）03-0001-08

Adjoint Optimization Design of Nozzle Considering Uncertainty "Quantification of Turbulence Model

LI Anna， SUN Zhongguo， HUANG Zhu， XI Guang

（School of Energy and Power Engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

Abstract：In order to improve the reliability and robustness of design optimization based on the Reynolds-averaged Navier-Stokes （RANS） models， which are widely used in engineering， this paper addresses the structural uncertainties present in RANS models. By using centroidal diagrams and the feasibility of Reynolds stresses， these uncertainties are reasonably quantified. An adaptive non-uniform perturbation method is employed to apply disturbances to the eigenvalues and eigenspaces of the turbulence anisotropy tensor， and a numerical estimation of the uncertainty interval predicted by the model is conducted. This paper proposes a method for adjoint design optimization under the uncertainty quantification framework of the RANS model and explores its application in the optimization design of a Laval nozzle. Through six simulations， optimized geometric shapes under different perturbations are obtained， and the areas enclosed by different shapes （confidence intervals） reflect the geometric optimization differences caused by structural uncertainties in the model. The results indicate that after optimization under different perturbations， the total pressure loss of the nozzle is reduced by 6.7% to 19.2%， achieving a robust improvement in nozzle performance. The resulting confidence intervals reduce sensitivity to manufacturing tolerances， thus lowering precision requirements and manufacturing costs to some extent. The findings demonstrate the potential value and guiding role of optimization design considering the uncertainty quantification of the RANS model in aerospace engineering applications.

Keywords：uncertainty quantification; adjoint method design; turbulence model; nozzle; manufacturing tolerance

美國(guó)國(guó)家航空和宇宙航行局（NASA）在《CFD2030愿景》《2040愿景》報(bào)告^［1-2］中指出，計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（CFD）中的不確定性量化（UQ）和考慮不確定性量化的優(yōu)化設(shè)計(jì)是亟需完善的重要課題，是未來的研究重點(diǎn)和挑戰(zhàn)性工作，在航空航天領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用前景。受計(jì)算資源限制，目前計(jì)算湍流的主要數(shù)值方法為雷諾平均方法，雷諾平均Navier-Stokes（RANS）模型在預(yù)測(cè)工程湍流問題中已得到廣泛的應(yīng)用，常用的k-ε和k-ω等湍流模型滿足了絕大多數(shù)的工程需求。然而，基于RANS模型的確定性設(shè)計(jì)，在制造過程中需嚴(yán)格滿足對(duì)加工精度的要求，通常成本較高，否則會(huì)引入加工制造的不確定性，從而降低產(chǎn)品設(shè)計(jì)性能^［3］。此外，由于RANS模型在模化過程中使用一系列假設(shè)而引入了不確定性，限制了模擬結(jié)果的可靠性^［4］。因此，如果RANS模型的不確定性能夠被有效地量化，那么一方面數(shù)值預(yù)測(cè)的可靠性將會(huì)提升，另一方面基于不確定性量化的氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的區(qū)間估計(jì)可用于后續(xù)加工制造。

近幾十年，對(duì)于不確定性量化，包括RANS模型的不確定性一直備受關(guān)注^［4-5］。一種常見的量化模型結(jié)構(gòu)不確定性的方式是檢查不同模型系數(shù)所導(dǎo)致的結(jié)果^［6-8］。考慮到湍流的物理意義，另一種有效方式則是借助雷諾應(yīng)力的可實(shí)現(xiàn)性來量化雷諾應(yīng)力張量的不確定性。Banerjee等^［9］提出了一種雷諾應(yīng)力特征值和質(zhì)心坐標(biāo)之間的線性映射方法，將Lumley曲邊三角形^［10］轉(zhuǎn)換到質(zhì)心坐標(biāo)系統(tǒng)下的等邊三角形，即在質(zhì)心圖上可視化湍流各向異性。基于質(zhì)心圖，Emory等^［11-12］探索了一個(gè)包含渦黏性假設(shè)中的潛在不確定性的框架。在這個(gè)框架下，直接將模型的不確定性注入到雷諾應(yīng)力張量中，通過特征分解對(duì)特征值進(jìn)行擾動(dòng)。Iaccarino等^［13］在此基礎(chǔ)上改進(jìn)了特征值擾動(dòng)方法，建立了特征向量擾動(dòng)框架。對(duì)于分離流動(dòng)，該框架在解釋RANS預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或高保真數(shù)據(jù)之間的差異上有了顯著改進(jìn)。Huang等^［14］基于這一框架提出了一種非均勻擾動(dòng)方法，通過執(zhí)行6次特定的模擬來量化RANS模型的不確定性，結(jié)果表明該方法在二維和三維流動(dòng)中均具有良好的收斂性。盡管國(guó)內(nèi)也開展了CFD不確定性量化的若干研究^［15-17］，但目前尚未探究基于質(zhì)心圖的RANS模型不確定性量化方法。

采用RANS模型進(jìn)行幾何模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)，已成為指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)的有效數(shù)值手段。然而，由于RANS模型存在不確定性，通過某種湍流模型優(yōu)化設(shè)計(jì)出的幾何未必滿足實(shí)驗(yàn)要求，尤其對(duì)于復(fù)雜流動(dòng)問題。基于RANS模型的不確定性量化的優(yōu)化設(shè)計(jì)更為可靠，但相關(guān)研究仍然很少^［18-19］。此外，伴隨方法作為一種具有較高精度和效率的優(yōu)化技術(shù)，在飛行器、火箭、翼型、發(fā)動(dòng)機(jī)部件、管道等方面受到了較為廣泛的關(guān)注^［20-23］。因此，在課題組之前的研究^［24］中，提出了一種在RANS模型不確定性量化框架下的伴隨優(yōu)化方法，探索了空氣動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)與制造加工之間的潛在橋梁，并將其應(yīng)用于多種算例中進(jìn)行了檢驗(yàn)。

為了進(jìn)一步探究伴隨設(shè)計(jì)優(yōu)化方法在超音速流動(dòng)中的應(yīng)用，選取拉瓦爾噴管進(jìn)行模擬和優(yōu)化。拉瓦爾噴管作為火箭發(fā)動(dòng)機(jī)和航空發(fā)動(dòng)機(jī)的常用部件，廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。本文基于RANS模型的不確定性量化框架，對(duì)拉瓦爾噴管的內(nèi)部流動(dòng)進(jìn)行數(shù)值預(yù)測(cè)，通過對(duì)各向異性張量的特征值和特征空間進(jìn)行特定擾動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)湍流模型的不確定性量化，提升了RANS預(yù)測(cè)的可靠性；此外，在不確定性量化結(jié)果的基礎(chǔ)上對(duì)噴管進(jìn)行伴隨形狀優(yōu)化，獲得了具有置信區(qū)間的優(yōu)化噴管型線，實(shí)現(xiàn)了噴管性能的穩(wěn)健提升。置信區(qū)間通常顯著大于制造公差區(qū)間，這使得置信區(qū)間對(duì)制造誤差的敏感性有所降低，從而為制造加工過程提供有效可靠的指導(dǎo)。

1 不確定性量化方法

Iaccarino等^［13］基于質(zhì)心圖和雷諾應(yīng)力的可實(shí)現(xiàn)性，提出了特征空間擾動(dòng)框架，該不確定性量化框架在工程上具有很大的應(yīng)用潛力。

基于渦黏性假設(shè)的湍流各向異性張量表示為

aij=uiuj2k－δij3=Rij2k－δij3（1）

式中：ui、uj為i、j方向流速；k為湍動(dòng)能；Rij為雷諾應(yīng)力張量；δij為克羅內(nèi)克符號(hào)。對(duì)湍流各向異性張量進(jìn)行特征分解可得

aij=υinΛnlυjl（2）

式中：υin和υjl是由各向異性張量的特征向量組成的矩陣；Λnl由特征值λk組成的對(duì)角矩陣，并以λ1 ≥ λ2 ≥ λ3的順序排列。

那么，雷諾應(yīng)力張量可以寫為

Rij=2kυinΛnlυjl+δij3（3）

RANS模型在建模過程由于假設(shè)、簡(jiǎn)化引入了大量的不確定性。例如，渦黏性假設(shè)假定模擬的雷諾應(yīng)力與平均應(yīng)變速率共享方向，這在簡(jiǎn)單的剪切流動(dòng)中是正確的，但在復(fù)雜流動(dòng)中受限^［25-26］，此外渦黏性假設(shè)形式下雷諾應(yīng)力各向異性特征值的表示不令人滿意^［27］。因此，將不確定性注入到雷諾應(yīng)力張量的特征空間中，從而使得渦黏性假設(shè)的誤差被納入框架。擾動(dòng)后的雷諾應(yīng)力張量表示為

R*ij=2kυ*inΛ*nlυ*jl+δij3（4）

式中：上標(biāo)*表示擾動(dòng)變量。其中特征值的擾動(dòng)代表雷諾應(yīng)力橢球形狀的變化，特征向量的擾動(dòng)代表雷諾應(yīng)力橢球方向的變化。

通過質(zhì)心圖對(duì)雷諾應(yīng)力張量執(zhí)行可實(shí)現(xiàn)性約束，任何可實(shí)現(xiàn)的湍流狀態(tài)都應(yīng)位于質(zhì)心圖上及其內(nèi)部。如圖1所示，質(zhì)心圖的3個(gè)頂點(diǎn)C1、C2、C3分別表示湍流不同的物理極限狀態(tài)，坐標(biāo)分別為（xC1，yC2）、（xC2，yC2）、（xC3，yC3）。各向異性張量特征值和坐標(biāo)（x， y）之間存在線性映射，質(zhì)心圖中任意一點(diǎn)的空間坐標(biāo)可以表示為

x=（λ1－λ2）xC1+2（λ2－λ3）xC2+（3λ3+1）xC3

y=（λ1－λ2）yC1+2（λ2－λ3）yC2+（3λ3+1）yC3（5）

在質(zhì)心圖上，將任意一點(diǎn)朝著某一頂點(diǎn)方向進(jìn)行擾動(dòng)，擾動(dòng)距離為ΔB（均勻擾動(dòng)），根據(jù)線性映射關(guān)系計(jì)算得到擾動(dòng)后的特征值，進(jìn)而可求出擾動(dòng)后的各向異性張量和雷諾應(yīng)力張量。非均勻擾動(dòng)方法^［14］則是先計(jì)算任意點(diǎn)到三邊的垂距，選取最短距離作為擾動(dòng)量向某一頂點(diǎn)方向擾動(dòng)。

特征向量的擾動(dòng)由湍流產(chǎn)生機(jī)制即生成項(xiàng)指導(dǎo)，它以消耗平均流動(dòng)能使湍動(dòng)能增加，為了限制這種能量傳遞，通過對(duì)第一和第三特征向量進(jìn)行置換以尋求生成項(xiàng)的極值。在由應(yīng)變速率張量的特征向量定義的坐標(biāo)系中，標(biāo)準(zhǔn)化的雷諾應(yīng)力特征向量由下式^［11］給出

υ=100 010 001; υmin=001 010 100（6）

式中：擾動(dòng)前的雷諾應(yīng)力橢球方向與第一特征向量υ方向一致；υmin是擾動(dòng)后的特征向量，此時(shí)的雷諾應(yīng)力橢球與第三特征向量方向垂直。

本文采用非均勻擾動(dòng)方法，通過6次特定模擬得到不同擾動(dòng)下的結(jié)果。對(duì)于二維流動(dòng)，各向異性張量的特征值為［a， 0， －a］且a ≥ 0，非均勻擾動(dòng)下的湍動(dòng)能生成項(xiàng)^［24］總結(jié)如下

－a*ij*Sij=a*ij*aij（k/νt）=

（k/νt）2a2（1－r）+ra，1C

2a2（1+r）－ra，1C-min

2a2（1－r）+ra/2，2C

2a2（1+r）－ra/2，2C-min

2a2（1－r），3C

2a2（1+r），3C-min（7）

式中：Sij表示應(yīng)變速率張量；νt表示渦黏度；r表示擾動(dòng)距離；1C、2C、3C代表朝C1、C2、C3方向進(jìn)行特征值擾動(dòng)，1C-min、2C-min、3C-min代表同時(shí)對(duì)特征值和特征向量進(jìn)行擾動(dòng)。

2 流場(chǎng)模擬

2.1 噴管模型及計(jì)算網(wǎng)格

對(duì)于平面噴管，當(dāng)背壓較高時(shí)，噴管內(nèi)部會(huì)發(fā)生流動(dòng)分離，且在一定壓比范圍內(nèi)分離是不對(duì)稱的^［28］，而RANS模型通常無(wú)法準(zhǔn)確模擬流動(dòng)分離。因此，有必要對(duì)噴管內(nèi)部流動(dòng)進(jìn)行不確定性量化研究，以提高湍流模型對(duì)噴管內(nèi)部流動(dòng)預(yù)測(cè)的可靠性。

本文采用的是Verma和Manisankar^［29］在實(shí)驗(yàn)中使用的平面噴管結(jié)構(gòu)，主要由收縮段和擴(kuò)張段兩部分組成，如圖2所示。其中，噴管喉部高度Th=28mm，噴管出口面積Ac與喉部面積At之比固定為1.79，擴(kuò)張段的擴(kuò)張半角θ=5.7°。流場(chǎng)計(jì)算采用二維結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，在噴管壁面附近進(jìn)行網(wǎng)格加密，且滿足壁面無(wú)量綱距離y+小于1，經(jīng)網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證，所選網(wǎng)格總數(shù)為398700，計(jì)算域和網(wǎng)格細(xì)節(jié)如圖3所示。

2.2 湍流模型及邊界條件

基于ANSYS Fluent平臺(tái)，采用SST k-ω湍流模型進(jìn)行數(shù)值模擬。該模型對(duì)于模擬邊界層流動(dòng)和分離流動(dòng)具有良好的適用性。噴管進(jìn)出口均采用壓力邊界條件，壁面采用絕熱無(wú)滑移邊界條件。環(huán)境壓力和溫度分別為100kPa和300K，入口滯止壓力設(shè)為290kPa，模擬壓比2.9工況下的噴管流場(chǎng)^［30］，這里的壓比指滯止壓力與環(huán)境壓力的比值。

2.3 流場(chǎng)結(jié)果分析

圖4和圖5分別給出了壓比為2.9工況下噴管上、下壁面的壓力pw與滯止壓力po之比沿軸向x的分布。該工況模擬的是低于設(shè)計(jì)高度的情況，噴管的排氣壓力低于環(huán)境壓力，噴管處于過膨脹區(qū)，在過膨脹期間，由于環(huán)境壓力較高，流動(dòng)分離發(fā)生在噴管內(nèi)部。將數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)［29］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行定量比較可見，SST k-ω湍流模型在這一工況下對(duì)流動(dòng)分離的預(yù)測(cè)不是很理想，上壁面的壓力分布與實(shí)驗(yàn)相比有較大差異，分離發(fā)生的預(yù)測(cè)位置較實(shí)驗(yàn)位置提前。在不確定性量化框架下，SST k-ω模型預(yù)測(cè)出的壓力分布的不確定區(qū)間覆蓋了大部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如圖4、圖5中灰色區(qū)域所示。這一區(qū)間估計(jì)是量化湍流模型結(jié)構(gòu)不確定性的體現(xiàn)，給出了湍流模型數(shù)值預(yù)測(cè)的潛在范圍，提高了數(shù)值結(jié)果的可靠性。

圖6顯示了數(shù)值計(jì)算的噴管馬赫數(shù)云圖與實(shí)驗(yàn)紋影圖的對(duì)比。從中可以看出，SST k-ω湍流模型計(jì)算的流動(dòng)分離位置比實(shí)驗(yàn)更靠上游，氣流在上壁面過早地發(fā)生分離，并且分離后的氣流向下彎曲、失去對(duì)稱性，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生偏差。基于不確定性量化框架，在1C-min擾動(dòng)下，流動(dòng)分離發(fā)生的位置比實(shí)驗(yàn)更加提前，偏離實(shí)驗(yàn)結(jié)果；而在1C擾動(dòng)下，流場(chǎng)分布整體上與實(shí)驗(yàn)一致，分離后的氣流近似對(duì)稱，流動(dòng)分離位置向下游移動(dòng)，比實(shí)驗(yàn)略靠后一些；在其他擾動(dòng)下計(jì)算出的分離位置均在這一范圍內(nèi)，其中在3C-min擾動(dòng)下獲得的流場(chǎng)與實(shí)驗(yàn)最為接近。通過對(duì)湍流各向異性應(yīng)力張量的特定擾動(dòng)，獲得了具有一定差異的不同流場(chǎng)結(jié)果，該差異是湍流模型結(jié)構(gòu)的不確定性引起的，通過不確定性量化提高了SST k-ω湍流模型對(duì)復(fù)雜流動(dòng)預(yù)測(cè)的可靠性。

3 伴隨優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 伴隨方法

伴隨方法通過求解伴隨方程，得到觀察量對(duì)輸入變量的導(dǎo)數(shù)，輸入變量可以是幾何、邊界條件、源項(xiàng)等，因此可以用來指導(dǎo)計(jì)算域內(nèi)任意幾何特征的設(shè)計(jì)修改，從而實(shí)現(xiàn)形狀優(yōu)化。

ANSYS Fluent平臺(tái)內(nèi)置的伴隨求解器^［31］提供了一個(gè)基于梯度的優(yōu)化器，可以自動(dòng)創(chuàng)建一系列的設(shè)計(jì)迭代，采用基于多項(xiàng)式的變形方法來控制幾何和網(wǎng)格的變形，具體優(yōu)化流程如圖7所示。此外，由用戶定義函數(shù)（UDF）將不確定性量化程序載入到Fluent中，分別對(duì)動(dòng)量方程、湍動(dòng)能方程和耗散率方程添加源項(xiàng)，通過擾動(dòng)湍流各向異性張量的特征值和特征向量，實(shí)現(xiàn)對(duì)湍流模型的不確定性量化，求解并獲得了不同擾動(dòng)下的流場(chǎng)。在不確定性量化的基礎(chǔ)上對(duì)噴管進(jìn)行伴隨形狀優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)噴管性能的穩(wěn)健提升。

3.2 優(yōu)化目標(biāo)及設(shè)計(jì)結(jié)果

采用ANSYS Fluent伴隨求解器對(duì)噴管進(jìn)行形狀優(yōu)化，并設(shè)置y方向?qū)ΨQ約束，優(yōu)化目標(biāo)為降低噴管的總壓損失。在流場(chǎng)求解中，考慮SST k-ω湍流模型計(jì)算的基礎(chǔ)流場(chǎng)，以及在不確定性量化框架下施加6種特定擾動(dòng)后的流場(chǎng)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行伴隨設(shè)計(jì)迭代。基于不確定性量化的氣動(dòng)設(shè)計(jì)提供了優(yōu)化幾何型線的不確定區(qū)間，稱之為置信區(qū)間。

圖8顯示了基于不確定性量化的優(yōu)化噴管型線及其置信區(qū)間。紅線為原始幾何圖形，不同擾動(dòng)下的優(yōu)化型線形成了一個(gè)灰色的置信區(qū)間。在UQ框架下，噴管總壓損失的計(jì)算范圍從77468.1Pa到94139.1Pa，無(wú)擾動(dòng)情況下的值為88567.4Pa；優(yōu)化后，噴管的總壓損失下降至72305.1～81610.6Pa，各擾動(dòng)下的降幅范圍為6.7%～19.2%，基于不確定性量化得到的優(yōu)化噴管均實(shí)現(xiàn)了不同程度的性能改進(jìn)。由圖8可見，盡管不同擾動(dòng)下的優(yōu)化型線很接近但并未重疊，形成了一個(gè)具有一定厚度并實(shí)現(xiàn)性能改進(jìn)的置信區(qū)間，該區(qū)間的最大厚度約為1.2mm；與確定性設(shè)計(jì)相比，該區(qū)間顯然降低了對(duì)制造誤差的敏感性，從而在一定程度上降低了精度要求和制造成本。

圖9展示了壓比為2.9工況下優(yōu)化后噴管的馬赫數(shù)分布云圖。雖然目標(biāo)為降低噴管總壓損失，但從圖中可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過伴隨優(yōu)化，不同擾動(dòng)下獲得的優(yōu)化后噴管內(nèi)的流動(dòng)分離基本對(duì)稱，分離位置在擴(kuò)張段略有差異。流動(dòng)的不對(duì)稱會(huì)導(dǎo)致不良的側(cè)向力，顯然優(yōu)化后的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)更加符合期望，一方面降低了噴管的總壓損失，同時(shí)減弱了流動(dòng)的不對(duì)稱性，改善了噴管性能。因此，基于雷諾應(yīng)力可實(shí)現(xiàn)性的湍流模型不確定性量化框架下的伴隨優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了噴管性能的穩(wěn)健提升。

4 結(jié) 論

（1）基于渦黏性假設(shè)的RANS模型準(zhǔn)確預(yù)測(cè)復(fù)雜的分離流動(dòng)有較大難度，合理量化湍流模型的不確定性來提高模擬結(jié)果的可靠性是十分必要的。

（2）在基于質(zhì)心圖和雷諾應(yīng)力可實(shí)現(xiàn)性的不確定性量化框架下，采用非均勻擾動(dòng)方法有效量化了SST k-ω模型結(jié)構(gòu)的不確定性，獲得的壓力區(qū)間估計(jì)能夠很好地覆蓋實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

（3）在不同擾動(dòng)下，優(yōu)化后噴管的總壓損失降低了6.7%～19.2%，各噴管型線均實(shí)現(xiàn)了良好的性能改進(jìn)，獲得了穩(wěn)健的優(yōu)化設(shè)計(jì)區(qū)間。

（4）不同擾動(dòng)下的優(yōu)化型線所形成的置信區(qū)間，一定程度上降低了對(duì)制造公差的敏感性，同時(shí)驗(yàn)證了基于RANS模型不確定性量化框架下的伴隨優(yōu)化方法的有效性。

參考文獻(xiàn)：

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（編輯 杜秀杰）