基于GeoGebra的開普勒方程動態可視化教學研究

摘" 要：空間目標軌道與環境課程教學是拓寬空軍預警學院反導預警技術保障專業學員知識視野、提升學員專業素養的重要途徑。該課程教學涉及航天軌道動力學的一些難點知識，傳統教學方式過于抽象，不利于學員理解掌握。曾有學者引入Mathematica等仿真軟件輔助教學，但課件制作難度大，表現力不夠理想。為此，針對開普勒方程這一教學難點，提出采用GeoGebra進行輔助教學的方法。研究發現，GeoGebra具有制作簡單、操作便捷、動態演示等諸多優點，可直觀形象地展示難點知識；同時，對比使用GeoGebra前后的教學效果，使用GeoGebra可顯著提高學員對開普勒方程的理解和掌握能力。

關鍵詞：空間目標軌道與環境；開普勒方程；GeoGebra；動態演示課件

文章編號：1671-489X（2025）02-00-04

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2025.02.0

0" 引言

空間目標軌道與環境課程是空軍預警學院反導預警技術保障專業的選修課程，這門課程的學習對培養學員科學素養具有重要意義。該課程主要講授時間與坐標系統、軌道運動原理、軌道攝動原理、軌道機動原理、軌道預報與確定、衛星星座等內容，對學員的數學基礎和空間想象力要求較高。目前，采用動態可視化的方法研究、分析復雜的軌道力學問題，幫助學員深刻理解教學內容的重難點成為主流趨勢。

張漢清等[1]引入Mathematica進行航天器軌道理論可視化教學，構建立體且直觀的CAI課件，成功激發學生的學習興趣；楊洪偉等[2]探討如何運用MATLAB進行軌道力學教學，充分鍛煉學生的實踐能力；王衛杰等[3]研究基于STK的航天器軌道動力學仿真教學方法，有效提升學生的空間邏輯思維能力。Mathematica和MATLAB兩款軟件在數值計算和符號演算方面表現出色且操作簡便易行，但若要展示動態演示效果，則需要編寫額外的程

序[4-5]。雖然STK在動態演示方面表現出色，但由于其使用過程較為復雜，需要經過二次開發才能充分發揮其潛能[6]。因此，這無疑對教師開發動態可視化的多媒體課件提出更高的要求。

GeoGebra是一款非常出色的教學仿真軟件，它操作簡單，無須具備編程經驗即可制作動態演示和交互性卓越的教學多媒體課件[7]。因此，在教學中針對開普勒方程這一難點問題引入GeoGebra并制作相應的教學課件，通過對比使用該軟件前后的教學效果，可以發現使用GeoGebra后，學員能夠更加直觀地理解和掌握開普勒方程的原理與計算方法，并且通過交互式操作，能夠更加深入地探索這一難點問題。該經驗對于在空間目標軌道與環境課程和其他數理課程的教學中全面推廣應用GeoGebra

具有重要的借鑒意義。

1" GeoGebra軟件簡介

GeoGebra是由亞特蘭大大學數學系教授Markus

Hohenwarter設計的一款開源數學教學軟件，它的名稱由“Geometry”（幾何）和“Algebra”（代數）兩個詞匯組合而成，通常被縮寫為GGB。該軟件是一個跨平臺的動態數學軟件，包含幾何、代數、表格、圖形、統計和微積分等，適用于教學和學習。由于其強大的功能和開源特性，GeoGebra已經在全球范圍內受到廣大師生的青睞。GeoGebra的工作界面如圖1所示，從左至右可以清晰地劃分成若干個區域[8]，以下為各區域的簡要說明。

1）代數區：該區域包括指令輸入欄和工具欄，供用戶輸入指令和進行相應的操作，不同功能模塊對應不同的工具欄，如在二維繪圖區功能模塊的工具欄上可以進行畫圖和編輯等操作。

2）CAS運算區：用戶可以在該區域進行復雜的數學計算和代數運算，CAS是Computer Algebra System（計算機代數系統）的縮寫。

3）二維繪圖區：用戶可以在該區域創建和編輯二維圖形，如點、線、圓等圖形元素。

4）三維繪圖區：用于繪制和編輯三維圖形。

5）表格區：用戶可以在該區域創建和管理數據表。

6）概率運算器：用于進行概率統計和計算。

2" 開普勒方程

開普勒方程是航天軌道動力學中二體問題的基本方程之一，具有重要的地位，它給出了衛星運動位置與時間的關系，基本原理如下。

如圖2所示，建立軌道平面坐標系，其原點為地球質心，X軸指向近地點方向，Y軸在軌道平面內與X軸垂直；引入輔助變量偏近點角E。經推導可得[9]：

E（t）-esinE（t）=M（t）" " " "（1）

式（1）即為開普勒方程。t為當前時間；M（t）=

n（t-τ）為平近點角，τ是衛星最近一次經過近地點的時間；n=（μ/a3）1/2為平均角速度，μ為地球引力常數。

開普勒方程通過偏近點角E將時間t與衛星的真近點角f聯系到一起。為了得到t時刻衛星的位置，必須先知道衛星最近一次過近地點的時間τ和軌道的偏心率e，再利用軌道半長軸a來計算平均角速度n，進而計算平近點角M（t），再根據開普勒方程計算偏近點角E（t），最后求得真近點角f。

開普勒方程是軌道運動原理中的一大難點。在傳統的教學過程中，教師先給出如圖2所示的衛星運動靜態示意圖，然后推導相應計算公式。然而，這種方法存在兩個缺陷：1）平近點角M無法在圖2中利用開普勒方程所確定的精確幾何關系呈現出來；2）無法動態演示角度E、M和f按照開普勒方程的關系變化。這給學員深刻理解開普勒方程的物理意義帶來困難。為解決上述問題，運用GeoGebra開發開普勒方程動態演示課件。

3" GeoGebra動態演示課件制作與應用

使用GeoGebra制作開普勒方程教學課件的詳細步驟如表1所示，可以按照表格中的信息，輕松地以GeoGebra指令或交互式操作的形式實現每一步。對于更具體的操作細節，建議查閱參考文獻[8]。

開普勒方程GeoGebra動態演示課件效果圖如圖3所示，E、M和f三個角度均嚴格按照開普勒方程進行繪制。其中，“衛星”被設定為動點，當點擊左下角的運行按鈕時，將動態演示三個角度和衛星位置矢量r隨時間的變化情況。有關該課件的詳細信息可參考文獻[10]。

由表1的GeoGebra動態演示課件制作過程可見，每一步操作都簡單明了，并且可以通過交互方式快速實現。與Mathematica、MATLAB和STK等軟件相比，這種方式不僅可以極大地節省制作時間，還能更準確、直觀地呈現教學知識點。通過課件的動態演示和關鍵公式的物理含義解釋，學員更容易地理解難點內容，在此基礎上再去理解公式的詳細推導過程會變得水到渠成。

在2023年春季學期的反導預警技術保障專業兩個期班的教學過程中，筆者采用GeoGebra動態演示課件開展開普勒方程知識點授課試點，課后問卷調查和期末結業考試發現，相比以往未采用該課件教學的期班而言，采用該課件的期班在知識點掌握程度和考核得分情況方面均有明顯提升。

4" 結束語

本文探討GeoGebra在空間目標軌道與環境課程中的教學應用，結合開普勒方程這一核心知識點，詳細闡述制作課件及其實踐操作的步驟。教學應用結果表明，GeoGebra的運用能夠以直觀、生動的方式展示課程中的重點和難點，同時有效激發學員的學習興趣和探索精神，進而提高教學質量，增強教學效果。在接下來的工作中，將進一步推廣Geo-

Gebra在空間目標軌道與環境課程其他知識點教學中的應用，為優化該課程的教學效果作出貢獻。

5" 參考文獻

[1] 張漢清，周芳.基于Mathematica的航天器軌道理論可視化教學[J].大學教育，2019（5）：107-109.

[2] 楊洪偉，李爽.軌道力學問題導向式教學培養軌道設計能力的實踐[J].力學與實踐，2021，43（2）：268-272.

[3] 王衛杰，張雅聲，任元，等.基于STK的航天器軌道動力學仿真教學方法研究[J].實驗技術與管理，2020，37（5）：181-185.

[4] 于巾荔，叢亞軒，李嘉懿，等.基于Mathematica的天體運動模擬[J].大學物理，2024，43（3）：67-73，78.

[5] 高有濤，張漢清.航天器軌道動力學實踐教程[M].北京：北京理工大學出版社，2022：31-37.

[6] 刁華飛，張雅聲，程文華.掌握與精通STK（專業篇）[M].北京：北京航空航天大學出版社，2021.

[7] SOLVANG L， HAGLUND J .How can GeoGebra support physics education in upper-secondary school： a review[J].Physics Education，2021，56（5）：055011（13pp）.

[8] International GeoGebra Institute. GeoGebra經典版使用手冊[EB/OL].[2024-05-09].https：//geogebra.github.io/docs/manual/en/.

[9] 劉林.衛星軌道力學算法[M].南京：南京大學出版社，2019：17-18.

[10] 黃曉斌.開普勒方程GeoGebra動態演示課件[EB/OL].（2023-04-10）（2023-09-15）.https：//pan.baidu.com/s/1XZNna8IQ4oHY-9MKrGF_-w？pwd=1111.