非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器的性能分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

摘要：為解決對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器在低強(qiáng)度振動(dòng)激勵(lì)下無法進(jìn)行阱間運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而無法產(chǎn)生較高電壓信號(hào)的問題，設(shè)計(jì)了一種基于非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)模型的壓電能量采集器結(jié)構(gòu)。利用磁偶極子模型、力平衡和基爾霍夫定律建立了采集器的勢能模型以及運(yùn)動(dòng)控制方程，仿真分析了簡諧激勵(lì)力幅值和噪聲強(qiáng)度對(duì)采集器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和發(fā)電性能的影響規(guī)律。得到結(jié)論：非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器中磁鐵的偏移導(dǎo)致了非對(duì)稱勢能阱的產(chǎn)生。非對(duì)稱勢能阱不僅可以拓寬三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器的有效工作頻帶，還可以降低采集器對(duì)環(huán)境振動(dòng)強(qiáng)度的要求，使其在低激勵(lì)幅值下進(jìn)行阱間運(yùn)動(dòng)，改善發(fā)電性能。最后制作樣機(jī)驗(yàn)證了理論仿真結(jié)果的正確性。

關(guān)鍵詞：三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器；非對(duì)稱勢阱；集總參數(shù)模型；噪聲激勵(lì)

中圖分類號(hào)： TN712+.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： ADOI：10.3969/j.issn.1007-791X.2025.01.0040

引言

近些年，人們逐漸看重低品位能源的能量回收，例如將環(huán)境中的太陽能、機(jī)械能和熱能等轉(zhuǎn)換為所需的電能等，而利用轉(zhuǎn)換的電能給無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的低功耗傳感器節(jié)點(diǎn)供電已經(jīng)逐漸被應(yīng)用到實(shí)際中。壓電能量采集器正是一種可以采集環(huán)境中的振動(dòng)能量并轉(zhuǎn)換成電能的機(jī)電耦合器件[1-2]。

壓電能量采集器目前主要面臨兩個(gè)問題：有效工作頻帶較窄和所需外界激勵(lì)強(qiáng)度較高[3]。為解決以上問題，多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)被應(yīng)用到能量采集器的設(shè)計(jì)中。通過復(fù)雜的非線性剛度設(shè)計(jì)，可以使采集器在單穩(wěn)態(tài)、雙穩(wěn)態(tài)甚至更多穩(wěn)態(tài)的非線性力學(xué)條件下運(yùn)行，統(tǒng)一稱之為多穩(wěn)態(tài)式[4-5]。除了結(jié)構(gòu)的不斷創(chuàng)新外，研究人員還對(duì)壓電材料的性能[6]及采集器所受的激勵(lì)形式展開了進(jìn)一步研究[7-8]。為探究影響三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器所需外部激勵(lì)的決定性因素，人們對(duì)其勢能函數(shù)展開了研究。例如，Wang等[9-10]討論了幾何非線性和引力效應(yīng)對(duì)三穩(wěn)態(tài)勢能函數(shù)的影響以及提出了一種修正的磁力模型來精確計(jì)算懸臂梁尖端所受的非線性磁力；Zhu等[11]研究了一種利用磁引力作用實(shí)現(xiàn)的三穩(wěn)態(tài)能量采集器的特性，研究結(jié)果表明該類型采集器的勢能阱深度是其所需外部激勵(lì)的決定因素。近幾年對(duì)三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)研究也越來越完善[12-15]，三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)的壓電能量采集器發(fā)電性能與其動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)有直接關(guān)系。

綜上，對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器的勢能存在3個(gè)勢能阱和2個(gè)勢能壘。勢能阱的深度決定了其進(jìn)行阱間運(yùn)動(dòng)所需的外部激勵(lì)。非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)振動(dòng)模型對(duì)應(yīng)的非對(duì)稱勢能阱為采集器在低激勵(lì)幅值下進(jìn)行阱間運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而通過壓電陶瓷產(chǎn)生較高的電壓信號(hào)提供了條件。本文針對(duì)非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器，推導(dǎo)了其勢能曲線公式，并進(jìn)行了數(shù)值仿真；建立了其運(yùn)動(dòng)控制方程，并通過四階龍格-庫塔法求解方程得到采集器位移、電壓的時(shí)間歷程曲線；將非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器（Asymmetric Tri-stable Piezoelectric Energy Harvester， ATPEH）的有效輸出電壓與對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)能量采集器進(jìn)行對(duì)比，直觀解釋了非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)被應(yīng)用在壓電能量采集器設(shè)計(jì)上的優(yōu)勢。研究成果為壓電能量采集器在低強(qiáng)度振動(dòng)激勵(lì)下提高發(fā)電性能提供了理論與實(shí)驗(yàn)參考依據(jù)。

1采集器勢能分析

1.1采集器勢能模型

圖1為壓電能量采集器結(jié)構(gòu)示意圖。壓電陶瓷（Piezoelectric Ceramic Transducer， PZT）粘貼在長為L的懸臂梁（彈性金屬片）的上表面，并串聯(lián)外部負(fù)載電阻R；由懸臂梁和PZT構(gòu)成壓電振子；磁鐵A固定在懸臂梁自由端，可以起到降低采集器共振頻率的作用；磁鐵B和C不對(duì)稱布置在基座支架上，水平間距固定為2dg，與磁鐵A的垂直間距為d，偏心距為a；磁鐵A與磁鐵B、C的磁場方向相反。參數(shù)r表示對(duì)稱結(jié)構(gòu)的磁鐵同時(shí)向上偏移的距離；參數(shù)w（L，t）表示懸臂梁自由端隨時(shí)間變化的撓度；β表示梁自由端偏轉(zhuǎn)角；Δx為梁自由端的垂直位移；w與

Δz之和為梁自由端水平位移。外部振動(dòng)激勵(lì)沿水平方向，系統(tǒng)在z軸方向的受力分析不考慮重力。

調(diào)節(jié)d與dg的數(shù)值大小，使采集器可以進(jìn)行單穩(wěn)態(tài)、雙穩(wěn)態(tài)和三穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)r=0時(shí)，稱為對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器；當(dāng)r≠0時(shí)，稱為非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器。

采集器在懸臂梁自由端處的勢能包括磁力勢能和彈性勢能。彈性勢能由懸臂梁決定，磁力勢能由磁鐵決定。將實(shí)際的磁鐵假設(shè)為磁偶極子，根據(jù)磁偶極子模型，磁鐵B在磁鐵A處產(chǎn)生的勢能可以寫為

式中μ0為真空磁導(dǎo)率；mB為磁鐵B的磁矩；rBA為磁鐵B到磁鐵A的方向向量；丨丨rBA丨丨2為L-2范數(shù)。

因?yàn)棣=asinβ，alt;lt;L，所以省略Δz，此時(shí)z≈w（L，t）。由圖1的幾何關(guān)系可以得到以下磁距向量：

式中：i，j分別為x和z方向的單位矢量；MA、MB、MC，VA、VB、VC為磁鐵的磁化強(qiáng)度和體積。

偏轉(zhuǎn)角β（t）與彈性勢能Ut可以表示為

式中：E為懸臂梁的等效楊氏模量；I為懸臂梁慣性矩。

若只考慮一階共振附近采集器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，在忽略高階模態(tài)的影響下懸臂梁任意一點(diǎn)的位移可以表示為

w（x，t）=ψ（x）ζ（t），"""""""""""（5）

磁鐵B在磁鐵A處產(chǎn)生的磁力勢能為UBA，磁鐵C在磁鐵A處產(chǎn)生的磁力勢能為UCA，磁鐵A處的磁力勢能U可以表示為

U=UBA+UCA，"""""""""""（6）

令u=d+Δx，則UBA與UCA具體表示為

1.2 采集器勢能數(shù)值仿真

為了更好地觀察勢能曲線與采集器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將勢能曲線看作是以w為自變量的函數(shù)。表1為采集器結(jié)構(gòu)尺寸和材料特性參數(shù)。

固定圖1中磁鐵的位置，使磁鐵A與B、C之間保持吸引力或排斥力。圖2（a）為對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)（排斥力）與對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)（吸引力）采集器勢能對(duì)比圖。若采集器從中心位置開始運(yùn)動(dòng)，對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)勢能阱深度ΔU1=3.0 mJ，對(duì)稱雙穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)勢能阱深度ΔU2=3.8 mJ。勢能阱深度的降低意味著采集器進(jìn)行阱間運(yùn)動(dòng)需要的振動(dòng)激勵(lì)強(qiáng)度降低。圖2（b）為當(dāng)d=25 mm、dg=17 mm時(shí)，r分別為0 mm、4 mm、8.5 mm、10 mm的采集器勢能曲線。從曲線中可以看出：隨著基座磁鐵偏移量r的增加，能量采集器最高勢阱和最高勢壘向上移動(dòng)，最低勢阱和最低勢壘向下移動(dòng)。當(dāng)對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)采集器進(jìn)行單穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，ATPEH可以克服勢能壘做雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，改善電壓輸出效果。

決定采集器非對(duì)稱程度的參數(shù)r的數(shù)值時(shí)，主要考慮兩方面因素，一方面為3個(gè)勢能阱的深度和寬度須盡量保持一致，另一方面為要考慮能夠使采集器進(jìn)行阱間運(yùn)動(dòng)的激勵(lì)力幅值區(qū)間，所以本文的偏移距離采用r=4 mm。

2 采集器動(dòng)力學(xué)特性分析

2.1 采集器動(dòng)力學(xué)控制方程

當(dāng)懸臂梁工作在一階彎曲振動(dòng)模態(tài)且外界負(fù)載為純電阻時(shí)，ATPEH等效集中參數(shù)模型如圖3所示。以此模型為研究目標(biāo)，推導(dǎo)采集器動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)控制方程，進(jìn)而利用四階龍格-庫塔法求解。

在圖3中：Meq、Ceq分別為壓電振子的等效質(zhì)量與等效阻尼；R、v為負(fù)載電阻與其兩端電壓；F為系統(tǒng)所受彈力與非線性磁力之和；Fe為與電壓v有關(guān)的恢復(fù)力；Z（t）為基座位移。

根據(jù)力平衡及基爾霍夫定律得到采集器運(yùn)動(dòng)控制方程

從圖4～圖6可得到，當(dāng)A0=0.03時(shí)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)進(jìn)行單穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，時(shí)間位移圖為標(biāo)準(zhǔn)余弦，有效輸出電壓為0.69 V；非對(duì)稱結(jié)構(gòu)進(jìn)行無規(guī)則混沌運(yùn)動(dòng)，有效輸出電壓為1.29V。當(dāng)A0=0.088時(shí)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)仍進(jìn)行單穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，余弦幅值增加，有效輸出電壓為2.50 V；非對(duì)稱結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，輸出位移波形具有周期性，有效輸出電壓為10.51 V。此時(shí)非對(duì)稱結(jié)構(gòu)中阱間響應(yīng)的有效電壓高于對(duì)稱系統(tǒng)的阱內(nèi)響應(yīng)，說明非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)能量采集器可以改善低強(qiáng)度激勵(lì)時(shí)的能量輸出效果。當(dāng)A0=0.147時(shí)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)進(jìn)入大軌道三穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，有效輸出電壓為17.02 V；非對(duì)稱結(jié)構(gòu)則在三個(gè)勢阱間進(jìn)行混沌運(yùn)動(dòng)，有效輸出電壓為15.85 V。

圖7為圖4～6所示工況所對(duì)應(yīng)的位移-勢能區(qū)間。當(dāng)A0=0.03時(shí)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)與非對(duì)稱結(jié)構(gòu)均無法擺脫勢能阱，只能在中心位置附近做阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖7（a）所示；當(dāng)A0=0.088時(shí)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)仍被限制在單個(gè)較深的勢能阱中，非對(duì)稱結(jié)構(gòu)越過左邊勢能壘且沒有困在左邊勢能阱中，開始進(jìn)行阱間運(yùn)動(dòng)，如圖7（b）所示；當(dāng)A0=0.147時(shí)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)與非對(duì)稱結(jié)構(gòu)均獲得了足夠的能量克服勢能壘或擺脫勢能阱，進(jìn)入到大幅阱間運(yùn)動(dòng)，如圖7（c）所示。值得注意的是，當(dāng)A0=0.088時(shí)，非對(duì)稱系統(tǒng)在z軸兩端的勢能存在比較明顯的差距。這一現(xiàn)象的原因?yàn)椋寒?dāng)系統(tǒng)在遠(yuǎn)離起振點(diǎn)（z=0）的過程中，與電壓有關(guān)的機(jī)電耦合力在進(jìn)行負(fù)功，這導(dǎo)致了系統(tǒng)在z軸兩端動(dòng)能為0時(shí)，右邊勢能大于左邊，從而出現(xiàn)勢能差距。隨著激勵(lì)力幅值的增加，采集器會(huì)依次進(jìn)行單穩(wěn)態(tài)、雙穩(wěn)態(tài)和三穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，期間還會(huì)伴隨混沌運(yùn)動(dòng)。因?yàn)榉菍?duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器為非線性系統(tǒng)，在求解其對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)控制方程時(shí)，會(huì)出現(xiàn)非周期的隨機(jī)性解。

2.2.2 噪聲強(qiáng)度對(duì)采集器動(dòng)力學(xué)的影響

式中，D為噪聲強(qiáng)度。

為了更明顯地表明噪聲強(qiáng)度D對(duì)非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器性能的影響，簡諧激勵(lì)力幅值大小選擇0.075。圖8為噪聲強(qiáng)度取不同值時(shí)采集器的相平面圖。從圖中可以看出隨著噪聲強(qiáng)度的增加，采集器依次經(jīng)歷了阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)、三個(gè)勢阱間的躍遷運(yùn)動(dòng)、三穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)和兩個(gè)勢阱間的躍遷運(yùn)動(dòng)的過程，而采集器的輸出電壓與其躍遷的勢阱個(gè)數(shù)成正相關(guān)關(guān)系。

圖9為當(dāng)A1=0.075時(shí)，不同噪聲下采集器位移的時(shí)間歷程圖。當(dāng)D=0時(shí)，采集器在中心平衡位置附近作小幅值阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)有效輸出電壓為2.43 V，如圖9（a）；當(dāng)D=0.006時(shí)，采集器在簡諧激勵(lì)和噪聲的協(xié)作下在三個(gè)勢阱之間發(fā)生躍遷，但躍遷行為與輸入周期信號(hào)并未達(dá)到同步，此時(shí)有效輸出電壓為10.39 V，如圖9（b）；當(dāng)D=0.008時(shí)，采集器位移波形為周期三穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)曲線，此時(shí)有效輸出電壓為22.50 V，如圖9（c）；當(dāng)D=0.014時(shí)，采集器又開始進(jìn)行兩個(gè)勢阱之間的混沌運(yùn)動(dòng)，有效輸出電壓回落至13.49 V，如圖9（d）。綜上得到結(jié)論：隨著噪聲強(qiáng)度的增加，ATPEH的輸出電壓先增加后減小。

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

圖10為三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器性能測試平臺(tái)。簡諧信號(hào)由信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生，經(jīng)功率放大器放大，使激振器產(chǎn)生水平振動(dòng)。PZT的輸出由示波器收集與顯示。

圖11為振動(dòng)激勵(lì)力幅值為0.075 N時(shí)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)與非對(duì)稱結(jié)構(gòu)三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器掃頻有效輸出電壓的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。

由圖11可知，結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)諧振頻率約為6 Hz，且與磁鐵的對(duì)稱與否無關(guān)。非對(duì)稱結(jié)構(gòu)與對(duì)稱結(jié)構(gòu)采集器的有效輸出電壓均隨著頻率的增加出現(xiàn)先增加后減小的現(xiàn)象。當(dāng)頻率范圍處于3～4 Hz時(shí)，非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)壓電能量采集器的有效輸出電壓明顯大于對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)采集器，發(fā)生有效電壓大幅提升時(shí)的頻率相較于對(duì)稱結(jié)構(gòu)提前了約1 Hz。由曲線的提前爬升可以得到非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器相較于對(duì)稱能量采集器具有更寬有效工作頻帶的結(jié)論。

圖12為不同工況下，非對(duì)稱結(jié)構(gòu)與對(duì)稱結(jié)構(gòu)三穩(wěn)態(tài)能量采集器電壓的時(shí)間歷程圖。三種工況所對(duì)應(yīng)的激勵(lì)條件為頻率f=6 Hz，幅值A(chǔ)2分別為0.03 N、0.088 N和0. 147 N。

當(dāng)激勵(lì)力幅值A(chǔ)2=0.03 N時(shí)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)與非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的電壓幅值均較小，對(duì)稱結(jié)構(gòu)電壓圖形較為規(guī)整，有效輸出電壓為0.67 V；非對(duì)稱結(jié)構(gòu)由于混沌運(yùn)動(dòng)，電壓圖形較為雜亂，有效輸出電壓為1.16V，如圖12（a）。當(dāng)激勵(lì)力幅值A(chǔ)2=0.088 N時(shí)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)仍在進(jìn)行阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)，有效輸出電壓為2.60 V；非對(duì)稱結(jié)構(gòu)則開始阱間運(yùn)動(dòng)，有效輸出電壓為8.06 N，幅值出現(xiàn)大幅提升，如圖12（b）。當(dāng)激勵(lì)力幅值A(chǔ)2=0.147 N時(shí)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)與非對(duì)稱結(jié)構(gòu)的電壓圖形均較為規(guī)整，兩者均進(jìn)行三穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，有效輸出電壓分別為15.18 V和18.69 V，如圖12（c）。綜上得到結(jié)論：非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)可以降低采集器對(duì)環(huán)境振動(dòng)強(qiáng)度的要求，使其在低激勵(lì)幅值下進(jìn)行阱間運(yùn)動(dòng)，改善發(fā)電性能。

表2為三種工況下實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論仿真結(jié)果有效電壓對(duì)比表。從表中觀察到兩者相對(duì)誤差較大，其主要原因?yàn)椋耗芰坎杉鳛榉蔷€性系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)控制方程為二次非線性微分方程。在利用四階龍格-庫塔法求解方程時(shí)，會(huì)出現(xiàn)非周期的隨機(jī)性解（混沌）；而實(shí)驗(yàn)情況下，磁鐵在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的慣性以及懸臂梁的材料問題不能夠完全忽略，導(dǎo)致采集器會(huì)進(jìn)行較標(biāo)準(zhǔn)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)。但是二者的有效輸出電壓均相較于各自對(duì)應(yīng)的對(duì)稱結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了大幅提升，各自證明了結(jié)論的正確性。

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了仿真得出的結(jié)論，但為了觀察兩種結(jié)構(gòu)有效輸出電壓隨簡諧激勵(lì)力幅值變化的整體情況及突變節(jié)點(diǎn)，圖13給出了仿真結(jié)果對(duì)比圖。非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)采集器與對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)采集器在頻率均為6 Hz時(shí)，發(fā)生有效輸出電壓大幅提升時(shí)的激勵(lì)力幅值分別為0.075 N和0.09 N，全過程地驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

4 結(jié)論

通過對(duì)非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器勢能和動(dòng)力學(xué)特性的分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

1）非對(duì)稱三穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器不僅可以拓寬有效工作頻帶，還可以在低激勵(lì)幅值下進(jìn)行阱間運(yùn)動(dòng)，提高輸出電壓；

2）基座支架磁鐵的偏移使采集器的勢能阱出現(xiàn)了明顯的不對(duì)稱性，最低勢能壘隨偏移距離的增加而減小，最高勢能壘隨偏移距離的增加而增加，且能夠使采集器在兩個(gè)勢阱之間來回躍遷的激勵(lì)幅值區(qū)間較短；

3）當(dāng)采集器驅(qū)動(dòng)力的形式為簡諧加高斯白噪聲時(shí)，隨著噪聲強(qiáng)度的增加，采集器有效輸出電壓先增加后減少。