基于非參數(shù)貝葉斯方法的結(jié)構(gòu)損傷識別研究

摘要： 聚類分析是數(shù)據(jù)處理中常用的無監(jiān)督方法，而聚類分析參數(shù)較難精準(zhǔn)確定，限制了該方法在結(jié)構(gòu)損傷識別中的應(yīng)用。為解決該問題，本文提出了一種非參數(shù)貝葉斯聚類方法，結(jié)合結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)開展結(jié)構(gòu)損傷識別和定量分析，拓展了非參數(shù)貝葉斯模型的應(yīng)用范圍。所提方法采用自然激勵技術(shù)處理結(jié)構(gòu)實(shí)測振動數(shù)據(jù)以得到固有頻率，通過非參數(shù)貝葉斯聚類方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類，最終結(jié)合極大似然異方差高斯過程和貝葉斯因子對聚類結(jié)果進(jìn)行損傷定量分析。通過天津永和橋?qū)嶋H工程案例對所提損傷識別方法的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，該方法能夠在不提前設(shè)置聚類參數(shù)的情況下，對結(jié)構(gòu)自振頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行精準(zhǔn)聚類分析，進(jìn)一步對結(jié)構(gòu)不同損傷狀態(tài)進(jìn)行識別。

關(guān)鍵詞： 結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測； 損傷識別； 非參數(shù)貝葉斯； 貝葉斯因子； 模態(tài)參數(shù)

中圖分類號： U443.38； TU446""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）02-0260-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.02.005

收稿日期： 2024?03?02； 修訂日期： 2024?06?06

基金項(xiàng)目："國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51708545）； 中國博士后科學(xué)基金面上項(xiàng)目（2019M652006）

Structural damage identification enabled by the non?parametric Bayesian method

WANG Qi’ang1， WANG Haobo1， ZHOU Mingli2， SUN Fayuan2， NI Yiqing3， WU Ziyan4， DING Anchi1， LI Jianpeng1， LI Wenlei1

（1.State Key Laboratory of Intelligent Construction and Healthy Operation and Maintenance of Deep Underground Engineering， China University of Mining and Technology， Xuzhou 221008， China； 2.Xuzhou Traffic Engineering General Contracting Co.， Ltd.， Xuzhou 221003， China； 3.Department of Civil and Environmental Engineering， The Hong Kong Polytechnic University， Hong Kong， China； 4.School of Mechanics， Civil Engineering and Architecture， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China）

Abstract： Clustering analysis is a commonly used unsupervised method in data processing. However， the difficulty in accurately determining clustering parameters limits the application of this method in structural damage identification. To address this issue， a non-parametric Bayesian clustering method is proposed in this study， which combines structural modal parameters for structural damage identification and quantitative analysis， thereby expanding the application range of the non-parametric Bayesian model. First， the natural excitation method is used to extract the natural frequency from the measured vibration data of the structure. Then， the non-parametric Bayesian clustering method is employed to cluster the data. Finally， maximum likelihood heteroscedastic Gaussian process regression and Bayesian factors are combined to quantitatively analyze the clustering results for damage quantitation analysis. The results of the damage identification method are verified by the actual engineering case of Yonghe Bridge in Tianjin. The results show that this method can accurately cluster the natural frequency data and identify the different damage states of the structure without the need to pre-set clustering parameters.

Keywords： structural health monitoring；damage identification；non?parametric Bayesian；Bayesian factor；modal parameter

通過結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)獲取結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)，基于監(jiān)測數(shù)據(jù)開展結(jié)構(gòu)損傷評估，是目前結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一［1?2］。結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)具有數(shù)量多、噪聲大等特點(diǎn)［3?4］，且土木工程結(jié)構(gòu)的工作狀態(tài)一般較為復(fù)雜，較難提前人為對數(shù)據(jù)的分布形式進(jìn)行合理推斷［5?6］。聚類是常用的機(jī)器學(xué)習(xí)無監(jiān)督方法，可將數(shù)據(jù)按照數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存在的特性進(jìn)行分類，適合處理無法提前進(jìn)行標(biāo)注的數(shù)據(jù)模式識別問題，如K?均值聚類［7］、高斯混合模型［8］、支持向量聚類［9］等。聚類方法在結(jié)構(gòu)損傷識別中的應(yīng)用也受到了高度關(guān)注，如ALAMDARI等［10］通過改進(jìn)K?均值聚類方法對某鋼拱橋發(fā)生的裂縫損傷及傳感器故障進(jìn)行識別；ZHOU等［11］使用層次聚類方法識別某自由梁模型的截面損傷，可免于對結(jié)構(gòu)基準(zhǔn)狀態(tài)的設(shè)定；CURY等［12］使用多種聚類方法開展了預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁橋試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，并評估其結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)；VESPIER等［13］運(yùn)用聚類方法對交通事件和結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，識別出正常和異常模式，從而實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)的監(jiān)測和評估。

然而，聚類方法也存在一定局限性，特別是在參數(shù)設(shè)置方面。不同參數(shù)設(shè)置會對聚類效果產(chǎn)生較大影響［14］，因此針對不同數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)需要采用不同的算法。

非參數(shù)貝葉斯方法可較好地解決聚類模型中的參數(shù)設(shè)置問題，該方法可將觀察到的數(shù)據(jù)作為條件，獲得可以解釋這組數(shù)據(jù)的最佳模型。非參數(shù)貝葉斯方法并不依賴特定的參數(shù)形式，較適用于數(shù)據(jù)量較大且具體分類情況未知的聚類問題，如數(shù)據(jù)處理與分類［15］、機(jī)械故障診斷［16?17］、樣本對比、結(jié)構(gòu)損傷評估等問題。DA SILVA等［18］將基于Dirichlet過程的非參數(shù)貝葉斯模型用于醫(yī)學(xué)圖像分類，驗(yàn)證了該模型的適用性。WOOD等［19］通過使用Dirichlet過程混合模型，提出了一種非參數(shù)貝葉斯方法來進(jìn)行尖峰分類。XIAO等［20］針對地震數(shù)據(jù)和煤礦災(zāi)害數(shù)據(jù)更新過程中存在的建模和估計(jì)問題，提出了非參數(shù)貝葉斯方法來處理復(fù)雜性和不確定性問題，無需預(yù)定義參數(shù)分布，可適應(yīng)數(shù)據(jù)不同特征。LEE等［21］提出了一種非參數(shù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法，克服了傳統(tǒng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的限制，能夠更準(zhǔn)確地預(yù)測系統(tǒng)運(yùn)行的可靠性。在樣本對比中，PEREIRA等［22］提出了一種基于貝葉斯非參數(shù)框架的成對樣本檢驗(yàn)方法，避免了傳統(tǒng)方法對數(shù)據(jù)分布的嚴(yán)格假設(shè)。在結(jié)構(gòu)損傷評估領(lǐng)域，JIANG等［23］利用非參數(shù)貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)，通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)和模型預(yù)測值的差異，得到評估系統(tǒng)辨識準(zhǔn)確性的貝葉斯因子評價指標(biāo)，并以此開展損傷概率評估。而LINDLEY等［24］提出了一種從概率角度自動識別聲發(fā)射事件的聚類方法，引入了Dirichlet過程的非參數(shù)貝葉斯方法，提供了更敏感的損傷識別方法。

基于此，本文采用一種非參數(shù)貝葉斯模型聚類方法，對結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析。該方法可以實(shí)現(xiàn)在不規(guī)定聚類參數(shù)的情況下，對結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行自動聚類分析。本文采用天津永和橋的實(shí)際監(jiān)測數(shù)據(jù)，使用自然激勵技術(shù)（natural excitation technique，NExT）方法處理實(shí)測加速度數(shù)據(jù)，獲得其固有頻率，利用非參數(shù)貝葉斯方法對其進(jìn)行聚類分析，并結(jié)合極大似然異方差高斯過程（most likely heteroscedastic Gaussian process，MLHGP）和貝葉斯因子的結(jié)構(gòu)損傷定量分析，實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)損傷的精準(zhǔn)識別。

1 非參數(shù)貝葉斯方法損傷識別理論框架

1.1 非參數(shù)貝葉斯混合模型

傳統(tǒng)貝葉斯方法用于高維度聚類問題中需要事先對聚類的個數(shù)進(jìn)行指定，而現(xiàn)實(shí)中的高維度聚類問題往往缺少聚類個數(shù)的準(zhǔn)確信息，可通過采用基于無限維度高斯混合模型的非參數(shù)貝葉斯模型進(jìn)行聚類分析的方法來解決該問題。

無限維度高斯混合模型的基本形式［25］為：

（1）

式中，，，其中N表示多元正態(tài)分布，和分別為均值和方差；為混合模型中不同高斯分布所占的比例權(quán)重，且滿足條件，，即權(quán)重向量非負(fù)，加權(quán)為1。

FERGUSON［26］驗(yàn)證了Dirichlet過程的后驗(yàn)仍是Dirichlet過程，可降低工程應(yīng)用推理復(fù)雜度。Dirichlet過程的定義為在可測空間上存在隨機(jī)概率分布，正實(shí)數(shù)為超參數(shù)，該概率分布滿足以下條件：對于可測空間進(jìn)行任意有限分割得到的，，均符合［G（A1），…，G（Ak）］～Dir［αG0（A1），…，αG0（Ak）］，其中Dir為Dirichlet分布，那么概率分布服從基分布和超參數(shù)的Dirichlet過程（DP），記作。以Dirichlet過程為先驗(yàn)分布的無限維度高斯混合模型為；；；=?，其中，yi為高斯混合模型，和為兩個不同分布的均值向量，和為兩個不同分布的協(xié)方差矩陣，為自由度，為尺度矩陣，為威沙特分布。

1.2 基于非參數(shù)貝葉斯混合模型的損傷識別步驟

首先建設(shè)一個多項(xiàng)式分布集合，組成集合的每一個表示該數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于分類的概率，，其中，表示分類個數(shù)，同時滿足。結(jié)構(gòu)的每個狀態(tài)都由一個對應(yīng)的高斯分布來定義，其均值為，方差為。對于每一個點(diǎn)，可以得到，其中，Mult為多項(xiàng)式分布。該方法需確定模型的參數(shù)，包括分類個數(shù)、混合比例以及聚類參數(shù)。可以使用一個總的參數(shù)向量來表示，即=｛K，，，…，，｝，而。可采用期望最大化方法確定參數(shù)，借助貝葉斯信息準(zhǔn)則或Akaike信息準(zhǔn)則對進(jìn)行確定。

分層有限高斯混合模型可在貝葉斯基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，可對參數(shù)（即所有分類的參數(shù)）給出更穩(wěn)定的估計(jì)，并允許使用Dirichlet過程先驗(yàn)對K進(jìn)行概率選擇。

首先，在聚類參數(shù)和上設(shè)置先驗(yàn)值。為便于推理，先驗(yàn)設(shè)置為與高斯分布共軛。高斯分布是似然分布，在均值上的先驗(yàn)是多元高斯分布，而在協(xié)方差上的先驗(yàn)是逆威沙特分布。先驗(yàn)分布超參數(shù)為、、和，通常將它們組合在一個先驗(yàn)分布聚類參數(shù)上：

（2）

式中，為先驗(yàn)分布超參數(shù)聯(lián)合分布；為逆威沙特分布。

為了對混合比例和聚類參數(shù)進(jìn)行貝葉斯推斷，必須設(shè)定另一個先驗(yàn)。可以選擇多項(xiàng)式分布的先驗(yàn)共軛，這個多項(xiàng)式分布是由超參數(shù)控制的Dirichlet分布。可以取的極限，形成無限高斯混合模型，其形式為，， ， ，。該建模方式的優(yōu)點(diǎn)在于只需要指定超參數(shù)，而不需要調(diào)整閾值或進(jìn)行校準(zhǔn)。通過后驗(yàn)預(yù)測分布給出每個參數(shù)的后驗(yàn)分布，點(diǎn)給出了其余觀測數(shù)據(jù)的可能性，可以對新數(shù)據(jù)進(jìn)行評估。這里采用折疊吉布斯采樣解決方案。

對于高斯基函數(shù)的情況，吉布斯采樣程序如下：數(shù)據(jù)最初被分配到隨機(jī)的聚類中，然后在每次迭代中選擇一個數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行評估，如果是已分配聚類的，則重新進(jìn)行評估。這個點(diǎn)將從它當(dāng)前的聚類賦值中刪除，并更新該聚類的參數(shù)。如果該數(shù)據(jù)點(diǎn)是分配給該聚類的唯一點(diǎn)，則銷毀該點(diǎn)，并更新聚類的總數(shù)。對于每個分類，，即數(shù)據(jù)點(diǎn)從聚類中提取的先驗(yàn)可能性被評估。先驗(yàn)是Dirichlet過程先驗(yàn)，對于現(xiàn)有的聚類先驗(yàn)信息為：

（3）

式中，n為數(shù)據(jù)點(diǎn)總數(shù)。

可以看出，先驗(yàn)似然是由超參數(shù)和當(dāng)前分配給該聚類的點(diǎn)數(shù)決定的。超參數(shù)鼓勵聚類增長，增大將更有可能出現(xiàn)更多的聚類。當(dāng)觀測到個數(shù)據(jù)點(diǎn)時，共軛更新計(jì)算如下式所示：

（4）

更新計(jì)算后可得：

（5）

（6）

（7）

式中，為樣本均值周圍的方和矩陣，。

對于每個現(xiàn)有聚類，即，通過計(jì)算先驗(yàn)和似然來解釋新聚類的產(chǎn)生。這些可能性被邊際可能性縮放，便可以求得點(diǎn)的聚類賦值的多項(xiàng)分布，從這個分布中采樣一個聚類賦值，采樣點(diǎn)被分配給這個聚類，該聚類是一個現(xiàn)有的聚類或是一個新的聚類。如果這個點(diǎn)被添加到現(xiàn)有的聚類中，那么該聚類的參數(shù)將根據(jù)式（4）進(jìn)行更新。如果該點(diǎn)被分配給一個新的聚類，該聚類將通過先驗(yàn)初始化，并根據(jù)式（4）將該點(diǎn)添加到其中。聚類總數(shù)也被更新，。

1.3 基于極大似然異方差高斯過程和貝葉斯因子的結(jié)構(gòu)損傷定量分析

可以通過對數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性回歸求解貝葉斯因子，如果回歸曲線形式及其均值與健康數(shù)據(jù)下的回歸曲線形式和均值相近，即可認(rèn)為數(shù)據(jù)處于健康狀態(tài)［27］。通過高斯過程可有效解決非線性回歸問題，回歸建模為，其中，為目標(biāo)量，為自變量，為誤差。但實(shí)際工程中由于環(huán)境改變或傳感器自身影響，監(jiān)測數(shù)據(jù)的離散程度和噪聲較大［28］。采用一般的高斯過程對噪聲變化較大的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸處理會出現(xiàn)較大偏差，本研究采用極大似然異方差高斯過程（MLHGP）［29］處理方差存在較大變化的數(shù)據(jù)，如下式所示：

（8）

式中，gi表示噪聲水平；q為樣本容量；j表示樣本點(diǎn)數(shù)量。

為量化結(jié)構(gòu)損傷程度，引入貝葉斯因子作為判定結(jié)構(gòu)損傷程度的標(biāo)準(zhǔn)。貝葉斯因子是貝葉斯檢驗(yàn)假設(shè)指標(biāo)［30］，衡量了數(shù)據(jù)對于支持或反對某個假設(shè)的程度。貝葉斯因子的具體構(gòu)造方法為：首先對實(shí)際數(shù)據(jù)和回歸數(shù)據(jù)之間的殘差進(jìn)行計(jì)算，并將得到的結(jié)果認(rèn)定為服從高斯分布的隨機(jī)變量，然后對其進(jìn)行貝葉斯假設(shè)檢驗(yàn)，對于零假設(shè)，殘差的均值在0附近，即數(shù)據(jù)與健康數(shù)據(jù)基本無差異，則可認(rèn)定結(jié)構(gòu)為健康狀態(tài)；對于備擇假設(shè)，殘差均值不為0，則可認(rèn)定結(jié)構(gòu)為有損狀態(tài)。貝葉斯因子定義為兩個假設(shè)的后驗(yàn)概率似然比：

（9）

式中，D表示證據(jù)因子。

通過計(jì)算貝葉斯因子的值，可以對結(jié)構(gòu)的損傷程度進(jìn)行定量分析，如參考Jeffreys的假設(shè)檢驗(yàn)準(zhǔn)則，可將損傷標(biāo)準(zhǔn)定義為：貝葉斯因子的值在1～3區(qū)間對應(yīng)“有微小損傷”；3～10區(qū)間對應(yīng)“有實(shí)質(zhì)性損傷”；10～100區(qū)間對應(yīng)“有較為嚴(yán)重的損傷”；gt;100對應(yīng)“完全損壞”。

2 非參數(shù)貝葉斯混合模型應(yīng)用研究

2.1 天津永和橋結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)

天津永和橋是中國大陸第一座斜拉橋（見圖1），由于車輛荷載遠(yuǎn)大于設(shè)計(jì)預(yù)期，永和橋跨中主梁底部在2006年出現(xiàn)了最大寬度達(dá)2 cm的裂縫，且斜拉索出現(xiàn)了嚴(yán)重腐蝕。橋梁于2008年12月至2009年5月期間進(jìn)行了一次維修，在此次維修前，為橋梁設(shè)計(jì)了以加速度傳感器為主要組成部分的SHM系統(tǒng)。SHM系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)系統(tǒng)完整記錄了天津永和橋從健康狀態(tài)到損傷狀態(tài)期間的振動數(shù)據(jù)（2008年1月至7月），作為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測損傷識別Benchmark基準(zhǔn)模型。

在永和橋橋面板上安裝了14個單軸加速度計(jì)，加速度方向均為豎直向下（見圖2中z方向）；在天津側(cè)橋塔頂部安裝一個雙軸加速度計(jì)，記錄水平面縱橋向和橫橋向兩個方向的加速度響應(yīng)（見圖2中x、y方向）。此外，系統(tǒng)還包括風(fēng)速儀、溫度傳感器、車道上的動態(tài)稱重系統(tǒng)，以及關(guān)鍵位置的應(yīng)變與溫度光纖光柵傳感器。

2008年8月，橋梁被發(fā)現(xiàn)存在損傷，其損傷程度可以確認(rèn)是隨著時間的推移逐漸發(fā)展的，而SHM系統(tǒng)記錄了2008年1月至7月橋梁的加速度數(shù)據(jù)。天津永和橋結(jié)構(gòu)主要存在兩處損傷，第一處損傷位于主梁的閉合段處，閉合段開裂嚴(yán)重，鋼筋發(fā)生裸露；第二處損傷位于橋墩處，橋梁限位裝置發(fā)生偏移，且發(fā)生鋼筋拉斷損傷。兩處損傷位置均處于圖2中的1、2號加速度傳感器附近。

2.2 天津永和橋固有頻率提取

固有頻率是反映橋梁損傷的較為精確的模態(tài)參數(shù)，在橋梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷時會出現(xiàn)較為明顯的變化，因此常被用于結(jié)構(gòu)損傷識別中。目前對于固有頻率的求解方法主要有快速傅里葉變換方法、自然激勵技術(shù)（NExT）方法等。本文選取的分析數(shù)據(jù)均為環(huán)境激勵下的振動響應(yīng)，可視為高斯白噪聲。對于不同環(huán)境參數(shù)，比如溫度會對模態(tài)參數(shù)產(chǎn)生影響，本文主要選用的數(shù)據(jù)為每一天同一時間段的數(shù)據(jù)，以盡量消除溫度的影響，提高損傷識別可靠性。基于此，本文選擇NExT方法對橋梁固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行求解。通過NExT方法得到固有頻率數(shù)據(jù)需要較為平穩(wěn)的加速度數(shù)據(jù)，而橋梁運(yùn)行過程中的加速度數(shù)據(jù)在車輛運(yùn)行較多的時間段內(nèi)往往存在較大擾動，因此選取的分析數(shù)據(jù)基本取自當(dāng)日凌晨或午夜。

采用NExT方法對2008年1月1日（后文所有日期均為2008年時間）0時永和橋加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后得到1～7階固有頻率，依次為0.3601、0.5524、0.9491、1.0315、1.0895、1.2573、1.4923 Hz。

2.3 基于非參數(shù)貝葉斯混合模型與SHM實(shí)測數(shù)據(jù)的損傷識別

天津永和橋的準(zhǔn)確先驗(yàn)信息為1月17日橋梁處于健康狀態(tài)，在7月31日例行檢查時，橋梁已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)存在實(shí)質(zhì)性損傷。本研究將非參數(shù)貝葉斯模型應(yīng)用于固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析，通過聚類分析結(jié)果判斷橋梁在損傷程度逐漸發(fā)展過程中存在的不同狀態(tài)，從而驗(yàn)證算法的有效性。

圖3為對1、3和7階固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行非參數(shù)貝葉斯聚類分析的結(jié)果。將聚類結(jié)果按出現(xiàn)時間順序依次命名為聚類1、聚類2、聚類3、聚類4，并分別標(biāo)記為綠色圓形、紅色矩形、紫色叉形、藍(lán)色十字形。

圖3（a）為1階固有頻率數(shù)據(jù)的聚類結(jié)果，在1月1日和1月17日，數(shù)據(jù)均被歸為聚類1。在2月3日出現(xiàn)聚類2，但仍有部分聚類1的結(jié)果存在。在4月9日出現(xiàn)少量聚類3。5月31日之后，聚類結(jié)果全部為聚類3，最終在6月16日出現(xiàn)了聚類4。

圖3（b）為3階固有頻率的聚類結(jié)果，前期聚類1、聚類2出現(xiàn)的規(guī)律與圖3（a）類似。在圖3（a）和（b）中，6月16日固有頻率的數(shù)據(jù)特征、變化形式與此前不同，非參數(shù)貝葉斯聚類方法可以對這種數(shù)據(jù)變化進(jìn)行精準(zhǔn)識別。

圖3（c）為7階固有頻率的聚類結(jié)果。在4月9日和5月5日的聚類結(jié)果中，圖3（c）中該段時間聚類3含量相較于圖3（b）中更少，但比圖3（a）中更多。而在其他時間段，7階固有頻率數(shù)據(jù)的聚類結(jié)果與3階固有頻率數(shù)據(jù)的聚類結(jié)果基本相同。

根據(jù)以上固有頻率聚類結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，非參數(shù)貝葉斯模型將不同階固有頻率數(shù)據(jù)都分為了4類。2月3日、4月9日、6月7日的聚類分析結(jié)果表明，該時間段同時存在兩類聚類結(jié)果，表明結(jié)構(gòu)處于損傷狀態(tài)變化階段。圖3（d）為3組固有頻率數(shù)據(jù)的三維展示結(jié)果，不同顏色代表7階固有頻率數(shù)據(jù)的不同聚類結(jié)果。由圖可知，3組固有頻率數(shù)據(jù)之間存在著正相關(guān)關(guān)系，其中，聚類1和聚類4的分布較為獨(dú)立，而聚類2和聚類3的分布相對集中，非參數(shù)貝葉斯模型對這兩種形式的數(shù)據(jù)均可以精確聚類。

對不同階固有頻率數(shù)據(jù)之間的具體相關(guān)性分析通過圖4進(jìn)行展示，圖4為3階和7階固有頻率之間的相互關(guān)系，為了體現(xiàn)相互關(guān)系，將所有的數(shù)據(jù)均進(jìn)行歸一化處理。

通過圖4發(fā)現(xiàn)，在結(jié)構(gòu)逐漸發(fā)生破壞的過程中，不同固有頻率整體都呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢。而在圖4（a）的3階固有頻率自相關(guān)關(guān)系中，1月1日和1月17日健康狀態(tài)下的數(shù)據(jù)與后面時間段的分界非常明顯，類似現(xiàn)象也出現(xiàn)在了圖4（d）中的7階固有頻率自相關(guān)關(guān)系中。而對于2月3日至6月7日時間段的固有頻率數(shù)據(jù)，由圖4（a）可以發(fā)現(xiàn)，在1階固有頻率中，聚類2整體固有頻率數(shù)值明顯比聚類3整體固有頻率數(shù)值大，而在圖4（d）的7階固有頻率中，聚類2和聚類3的整體固有頻率數(shù)值基本沒有差異，該段時間內(nèi)固有頻率最小值甚至出現(xiàn)在聚類2中。這種現(xiàn)象說明，非參數(shù)貝葉斯模型并不是單純通過數(shù)值的大小對數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類，而是結(jié)合了數(shù)據(jù)的變化形式。

對于不同階固有頻率數(shù)據(jù)的聚類結(jié)果差異的定量分析由圖5和6進(jìn)行展示。圖5中，1階與3階固有頻率聚類結(jié)果整體差異率為8.12%。1階固有頻率數(shù)據(jù)聚類結(jié)果主要在2月3日、4月9日、5月5日和5月18日與其余兩階固有頻率數(shù)據(jù)聚類結(jié)果存在差異。1階聚類結(jié)果在2月3日出現(xiàn)部分誤判，同時，結(jié)構(gòu)在4月9日至5月18日期間處于結(jié)構(gòu)狀態(tài)改變時期，因此出現(xiàn)了聚類2和聚類3同時存在的現(xiàn)象。不同階固有頻率數(shù)據(jù)聚類結(jié)果總體差異較小，整體相同率最低也可達(dá)91.78%，說明通過非參數(shù)貝葉斯方法對不同階固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析得到的結(jié)果較穩(wěn)定。

在圖6中采用7階固有頻率數(shù)據(jù)聚類結(jié)果進(jìn)行損傷定量分析。由圖6可知，按時間順序，結(jié)合結(jié)構(gòu)損傷發(fā)展情況，可以將聚類1、聚類2、聚類3、聚類4分別定義為四種狀態(tài)水平。根據(jù)天津永和橋已知信息，聚類1為健康狀態(tài)、聚類4為有實(shí)質(zhì)性損傷狀態(tài)，聚類2與聚類3為中間損傷過渡狀態(tài)。

3 基于貝葉斯因子的損傷定量分析

為驗(yàn)證通過非參數(shù)貝葉斯聚類分析對固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行處理所得聚類結(jié)果的精確性，可以通過貝葉斯因子對結(jié)構(gòu)損傷狀況進(jìn)行定量分析，首先采用基于非參數(shù)貝葉斯模型的MLHGP模型對已知為健康狀態(tài)的1月1日和1月17日固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，將所得回歸模型設(shè)定為零假設(shè)條件H0。然后對需要進(jìn)行檢驗(yàn)時期的固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，其回歸模型越接近健康狀態(tài)下回歸模型，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)越趨向于健康狀態(tài)；其回歸模型越偏離健康狀態(tài)下回歸模型，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)越趨向于損傷狀態(tài)［31］。求得各階貝葉斯因子結(jié)果如圖7所示，得到2月3日、6月7日、7月31日的1階、3階、7階固有頻率數(shù)據(jù)回歸模型貝葉斯因子，貝葉斯因子越大，證明其回歸模型與健康狀態(tài)下回歸模型的偏離度越高。

圖7中，1階固有頻率數(shù)據(jù)所得貝葉斯因子隨著結(jié)構(gòu)損傷的發(fā)展而呈現(xiàn)上升趨勢，但其數(shù)值低于3，判定為微小損傷狀態(tài)。3階、7階固有頻率數(shù)據(jù)所得貝葉斯因子隨著結(jié)構(gòu)損傷的發(fā)展也呈現(xiàn)上升趨勢，在6月7日之前，其數(shù)值均小于3，判定為微小損傷狀態(tài)，7月31日貝葉斯因子數(shù)值在3～10區(qū)間，判定此時橋梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)實(shí)質(zhì)性損傷。對于不同階固有頻率數(shù)據(jù)的貝葉斯因子結(jié)果，在2月3日和6月7日，對于結(jié)構(gòu)損傷狀態(tài)的判定是統(tǒng)一的，均認(rèn)為結(jié)構(gòu)處于微小損傷狀態(tài)，在7月31日，1階固有頻率數(shù)據(jù)所得貝葉斯因子并沒有反映出結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)性損傷問題，這是由于高階固有頻率對損傷敏感度更高，在出現(xiàn)損傷時對高階固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行分析所得結(jié)果也更精準(zhǔn)，在頻率聚類分析中也出現(xiàn)類似規(guī)律。

對于損傷位置的確定，可結(jié)合MLHGP回歸模型和橋梁不同部位固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行分析得到貝葉斯因子，從而進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)橋梁損傷定位分析。首先需要對橋梁整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行子區(qū)域劃分。可結(jié)合監(jiān)測傳感器的安裝位置、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將橋梁整體結(jié)構(gòu)劃分為6個子區(qū)域，具體如圖8所示，每個子區(qū)域均包含部分加速度傳感器。

已知7月31日時橋梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)實(shí)質(zhì)性破壞，因此采用該時段數(shù)據(jù)開展損傷定位。對每個子區(qū)域的加速度數(shù)據(jù)采用NExT方法解析得到該節(jié)點(diǎn)處的固有頻率數(shù)據(jù)，并對1月1日健康狀態(tài)下的固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行求取；然后對所得健康狀態(tài)下的固有頻率數(shù)據(jù)采用MLHGP方法進(jìn)行回歸分析，將所得回歸模型設(shè)定為零假設(shè)條件；最終得到不同子區(qū)域貝葉斯因子結(jié)果如圖9所示。

由圖9可知，子區(qū)域1貝葉斯因子為19.1，遠(yuǎn)高于其他子區(qū)域的貝葉斯因子。說明在6個子區(qū)域中，橋梁系統(tǒng)最有可能發(fā)生損傷的位置在子區(qū)域1處。實(shí)測橋梁損傷也出現(xiàn)在子區(qū)域1處，在1號、2號傳感器附近，其閉合段開裂嚴(yán)重、橋墩破壞且鋼筋拉斷，驗(yàn)證了基于貝葉斯因子的損傷定位分析的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)" 論

本文提出了一種基于非參數(shù)貝葉斯聚類模型結(jié)合模態(tài)參數(shù)的結(jié)構(gòu)損傷識別方法。以天津永和橋結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)實(shí)測數(shù)據(jù)為研究背景，提取其1階、3階、7階固有頻率，利用固有頻率數(shù)據(jù)聚類結(jié)果，結(jié)合貝葉斯因子損傷指標(biāo)對損傷程度進(jìn)行量化。基于損傷識別及量化結(jié)果，得到如下結(jié)論：

（1）通過非參數(shù)貝葉斯模型進(jìn)行聚類分析后，可以明確數(shù)據(jù)形式是否發(fā)生變化，即使數(shù)據(jù)數(shù)值差異不大，由于變化規(guī)律不同，非參數(shù)貝葉斯模型也可以對其進(jìn)行精確聚類分析。

（2）對不同階固有頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析時，非參數(shù)貝葉斯模型的聚類結(jié)果基本一致，符合結(jié)構(gòu)損傷發(fā)展規(guī)律；通過聚類結(jié)果定量分析發(fā)現(xiàn)，不同固有頻率數(shù)據(jù)聚類結(jié)果總體差異小，說明聚類結(jié)果穩(wěn)定且精準(zhǔn)。通過固有頻率數(shù)據(jù)自相關(guān)關(guān)系圖也可以發(fā)現(xiàn)，在結(jié)構(gòu)損傷程度變化過程中，3種不同固有頻率數(shù)據(jù)均可反映結(jié)構(gòu)損傷情況。

（3）通過結(jié)合基于非參數(shù)貝葉斯方法的MLHGP和貝葉斯因子對橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷定量分析，結(jié)果與通過非參數(shù)貝葉斯模型對固有頻率數(shù)據(jù)聚類分析的結(jié)果一致，證明通過非參數(shù)貝葉斯模型結(jié)合結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)可實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)損傷的精確識別。

參考文獻(xiàn)：

［1］"""" 白凡， 楊娜， 劉威， 等. 環(huán)境激勵下定州開元寺塔結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估研究［J］. 建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報， 2022， 43（1）： 105?115.

BAI Fan， YANG Na， LIU Wei， et al. Study on condition assessment of Dingzhou Kaiyuan Pagoda under ambient vibration［J］. Journal of Building Structures， 2022， 43（1）： 105?115.

［2］"""" 殷杰， 張宇峰， 彭家意. 基于監(jiān)測數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)場構(gòu)建的橋梁結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估方法研究［J］. 現(xiàn)代交通技術(shù)， 2017， 14（2）： 36?38.

YIN Jie， ZHANG Yufeng， PENG Jiayi. Method research of bridge structure condition assessment based on establishing the standard field from monitoring data［J］. Modern Transportation Technology， 2017， 14（2）： 36?38.

［3］"""" 奚培森. 基于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的橋址風(fēng)場特性統(tǒng)計(jì)分析與概率建模［D］. 杭州： 浙江大學(xué)， 2018.

XI Peisen. Statistical analysis and probability modeling of wind field characteristics of bridge site based on structural health monitoring［D］. Hangzhou： Zhejiang University， 2018.

［4］"""" 魏召蘭， 蒲黔輝， 朱占元， 等. 基于監(jiān)測數(shù)據(jù)橋梁結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估實(shí)用方法研究［J］. 工業(yè)建筑， 2014， 44（8）： 156?161.

WEI Zhaolan， PU Qianhui， ZHU Zhanyuan， et al. Research on practical method of bridge structure condition evaluation based on monitoring data［J］. Industrial Construction， 2014， 44（8）： 156?161.

［5］"""" 郭鵬飛. 土木工程結(jié)構(gòu)健康診斷中的統(tǒng)計(jì)識別方法綜述［J］. 居業(yè)， 2018， 10（4）： 105?106.

GUO Pengfei. Summary of statistical identification methods in health diagnosis of civil engineering structures［J］. Create Living， 2018， 10（4）： 105?106.

［6］"""" 侯晉祥. 基于大數(shù)據(jù)分析的橋梁結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)評估［D］. 重慶： 重慶大學(xué)， 2018.

HOU Jinxiang. Health assessment of bridge structure based on big data analysis［D］. Chongqing： Chongqing University， 2018.

［7］"""" LEI K J， TAN Y H， YANG X， et al. A K?means clustering based blind multiband spectrum sensing algorithm for cognitive radio［J］. Journal of Central South University， 2018， 25（10）： 2451?2461.

［8］"""" GOGEBAKAN M. A novel approach for Gaussian mixture model clustering based on soft computing method［J］. IEEE Access， 2021， 9： 159987?160003.

［9］"""" ABBASIMEHR H， BAGHERY F S. A novel time series clustering method with fine?tuned support vector regression for customer behavior analysis［J］. Expert Systems with Applications， 2022， 204： 117584.

［10］""" ALAMDARI M M， RAKOTOARIVELO T， KHOA N L D. A spectral?based clustering for structural health monitoring of the Sydney Harbour Bridge［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2017， 87： 384?400.

［11］""" ZHOU Y L， MAIA N M M， SAMPAIO R P C， et al. Structural damage detection using transmissibility together with hierarchical clustering analysis and similarity measure［J］. Structural Health Monitoring， 2017， 16（6）： 711?731.

［12］""" CURY A， CREMONA C， DUMOULIN J. Long-term monitoring of a PSC box girder bridge： operational modal analysis， data normalization and structural modification assessment［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2012， 33： 13?37.

［13］""" VESPIER U， KNOBBE A， VANSCHOREN J， et al. Traffic events modeling for structural health monitoring［M］// CAMA J， BRADLEY E， HOLLMéN J. Advances in Intelligent Data Analysis X. Berlin， Heidelberg： Springer Berlin Heidelberg， 2011： 376?387.

［14］""" MüELLER P， QUINTANA F A， PAGE G. Nonparametric Bayesian inference in applications［J］. Statistical Methods amp; Applications， 2018， 27（2）： 175?206.

［15］""" GUO J Q， WILSON A G， NORDMAN D J. Bayesian nonparametric models for community detection［J］. Technometrics， 2013， 55（4）： 390?402.

［16］""" 何巖. 統(tǒng)計(jì)稀疏學(xué)習(xí)中的貝葉斯非參數(shù)建模方法及應(yīng)用研究［D］. 杭州： 浙江大學(xué)， 2012.

HE Yan. Research on Bayesian nonparametric modeling method and its application in statistical sparse learning［D］. Hangzhou： Zhejiang University， 2012.

［17］""" 申志澤. 變工況設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測及非參數(shù)貝葉斯診斷方法研究［D］. 北京： 中國石油大學(xué)（北京）， 2017.

SHEN Zhize. Research on condition monitoring and nonparametric Bayesian diagnosis method of off?design equipment［D］. Beijing： China University of Petroleum （Beijing）， 2017.

［18］""" DA SILVA A R F. A dirichlet process mixture model for brain MRI tissue classification［J］. Medical Image Analysis， 2007， 11（2）： 169?182.

［19］""" WOOD F， BLACK M J. A nonparametric Bayesian alternative to spike sorting［J］. Journal of Neuroscience Methods， 2008， 173（1）： 1?12.

［20］""" XIAO S， KOTTAS A， SANSó B， et al. Nonparametric Bayesian modeling and estimation for renewal processes［J］. Technometrics， 2021， 63（1）： 100?115.

［21］""" LEE D J， PAN R. A nonparametric Bayesian network approach to assessing system reliability at early design stages［J］. Reliability Engineering amp; System Safety， 2018， 171： 57?66.

［22］""" PEREIRA L A， TAYLOR?RODRíGUEZ D， GUTIéRREZ L. A Bayesian nonparametric testing procedure for paired samples［J］. Biometrics， 2020， 76（4）： 1133?1146.

［23］""" JIANG X M， MAHADEVAN S. Bayesian probabilistic inference for nonparametric damage detection of structures［J］. Journal of Engineering Mechanics， 2008， 134（10）： 820?831.

［24］""" LINDLEY C A， JONES M R， ROGERS T J， et al. A probabilistic approach for acoustic emission based monitoring techniques： with application to structural health monitoring［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2024， 208： 110958.

［25］""" RASMUSSEN C E. The infinite Gaussian mixture model［C］∥Advances in Neural Information Processing Systems. MIT Press， 2000： 554?559.

［26］""" FERGUSON T. A Bayesian analysis of some nonparametric problems［J］. Annals of Statistics， 2018， 1： 209?230.

［27］""" 舒珊. 基于貝葉斯動態(tài)線性模型的橋梁結(jié)構(gòu)損傷識別方法研究［D］. 石家莊： 石家莊鐵道大學(xué)， 2021.

SHU Shan. Research on damage identification method of bridge structure based on Bayesian dynamic linear model［D］. Shijiazhuang： Shijiazhuang Tiedao University， 2021.

［28］""" 彭偉， 王俊博， 金耀. 基于荷載試驗(yàn)和監(jiān)測系統(tǒng)的某大跨度懸索橋結(jié)構(gòu)狀態(tài)評估［J］. 公路交通科技（應(yīng)用技術(shù)版）， 2020， 16（3）： 207?210.

PENG Wei， WANG Junbo， JIN Yao. Structural state evaluation of a long?span suspension bridge based on load test and monitoring system［J］. Highway Traffic Technology （Applied Technology Edition）， 2020， 16（3）： 207?210.

［29］""" ZHANG Q H， NI Y Q. Improved most likely heteroscedastic Gaussian process regression via Bayesian residual moment estimator［J］. IEEE Transactions on Signal Processing， 2020， 68： 3450?3460.

［30］""" 王晨霞. 定量研究中的復(fù)制性研究與貝葉斯因子分析法： 以中國農(nóng)村教育收益率研究為例［D］. 哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學(xué)， 2021.

WANG Chenxia. Reproducibility research and Bayesian factor analysis in quantitative research： a case study of rural education rate of return in China［D］. Harbin： Harbin Institute of Technology， 2021.

［31］""" 尚志鵬. 橋梁動力響應(yīng)的貝葉斯動態(tài)預(yù)測與監(jiān)控［D］. 蘭州： 蘭州大學(xué)， 2021.

SHANG Zhipeng. Bayesian dynamic prediction and monitoring of bridge dynamic response［D］. Lanzhou： Lanzhou University， 2021.

通信作者："王其昂（1986―），男，博士，副教授。E?mail：qawang@cumt.edu.cn