數值微分在設備組合彈道精度評估中的應用

摘要：設備組合彈道精度評估是測量設備布站設計和設備組合彈道選優方案制定的重要基礎。設備組合彈道精度評估通常采用基于誤差傳播原理的彈道精度評估算法，求解彈道分量關于測元的雅克比矩陣是該算法的核心。然而，對于復雜的彈道方程很難求得雅克比矩陣的解析式。為了解決復雜彈道方程的雅克比矩陣求解難題，提出基于樣條數值微分的設備組合彈道精度評估算法，通過構造彈道分量數值隊列，進行基于樣條插值的數值微分計算出彈道分量關于測元的雅克比矩陣，計算得到設備組合彈道理論精度。最后，通過與單臺設備定位方程的理論雅克比矩陣和彈道精度進行對比，驗證基于數值微分的設備組合彈道精度評估算法的有效性和實用性。

關鍵詞：彈道精度評估模型；雅克比矩陣；樣條插值；數值微分

中圖分類號：TM571.6 文獻標志碼：A 文章編號：1000-582X（2025）02-001-09

組合測量設備精度分析評估對航天發射具有重要意義。快速準確地完成測量設備精度分析評估，直接影響到設備測量站配置設計、彈道選優策略制定、安全控制裕量確定和入軌精度評估等航天發射指揮決策活動的開展。近年來，隨著中國商業航天、空間站和大型星座建設等任務進入密集實施階段，對測控數據分析的精度提出了更高要求。針對原有彈道精度評估模型中，求取復雜彈道方程的雅克比矩陣困難，采用微商近似計算，精度不夠理想的情況，筆者提出了一種基于樣條插值數值微分的雅克比矩陣求取方法，高效準確地滿足航天發射任務對彈道精度處理分析要求，為設備組合選優方案論證應用和指揮決策智能優化提供技術支持。

目前，在航天發射場設備組合彈道理論精度評估算法的彈道精度分析、評估和修正，以及數值計算應用等領域，國內外研究學者開展了如下研究：1）在精度分析處理總體研究方面，張金槐，劉利生，唐雪梅等[1?3]系統論述了外測設備數據處理的理論、方法和技術，對外彈道測量設備的測量精度影響因素、精度評估和鑒定等方法開展了相應研究；2）在精度誤差模型分析評估方面，常曉華等[4]結合彈道飛行器質點動力學模型，分析了垂線偏差對彈道參數等的影響機理，建立了數學模型，并給出彈道落點偏差計算方法。薛斌等[5]基于誤差源對彈道精度影響權重，提出了一維彈道精度評估方法。雷曉云[6]利用蒙特卡洛法分析研究影響射擊精度的因素，為提高修正精度提供數據分析支持。馮燕來[7]分析了測量設備誤差、地球引力勢能等影響彈道導彈落點預測精度的因素，較準確得到彈道預報的落點偏差。郭軍海[8]就彈道測量誤差模型、彈道模型、測量數據實時和事后融合處理方法，以及組合彈道處理精度評估方法等開展研究；3）在系統誤差與精度修正方面，宮志華[9]研究了非合作目標高精度彈道測量系統誤差，提出4 項修正內容，為雷達組網和數據處理提供了參考。王子鑒[10]提出一種等權歸一化最小二乘法的彈道誤差系數辨識方法，用于全程彈道落點偏差折合精度評估，獲得了更高的辨識精度和更好的多源觀測信息擬合結果。王若晗等[11]在對光電經緯儀誤差分析的基礎上，對測量數據進行分段最小二乘和3 次樣條平滑處理，減小隨機誤差對彈道解算結果的影響，提高彈道處理精度。Ji 等[12]針對助推段誤差分析，利用高斯過程模型，對助推段彈道開展預測研究，仿真表明該方法提高了預測精度；4）在樣條插值等數值計算方法用于求解方程方面，張哲[13]針對經典數值積分算法精度嚴重依賴小積分步長，難以快速計算的問題，提出一種局部配點反饋迭代算法，提高了軌道動力學方程解算速度。Saumya等[14]在薛定諤方程的數值求解中應用B 樣條有限元分析法，該方法不僅具有良好的守恒性，還降低了求解過程中非對角矩陣計算的復雜性。Hosseinian 等[15]基于薄板樣條函數，給出了一種求解第二類非線性Volterra積分方程的數值法，該方法具有穩定收斂且對計算資源要求低的特點。

由以上研究可看出，彈道理論精度分析評估具有重要的工程應用價值，其分析評估工作通常基于誤差傳播原理的彈道精度評估模型開展，該模型的核心是求解彈道分量關于測量元素（簡稱測元）的雅克比矩陣[2]。然而，在數據處理軟件研制和應用實踐中，對于復雜的彈道方程很難求得其雅克比矩陣解析式，難以編程實現自動計算設備組合彈道精度。為避免求解復雜彈道方程的雅克比矩陣解析式，并能易于編程實現，提出一種基于數值微分的設備組合彈道理論精度評估算法。算法的核心是通過構造測量元素和彈道分量數值隊列，對彈道分量數值隊列進行基于樣條插值的數值微分計算，得到彈道分量關于測元的雅克比矩陣和設備組合彈道理論精度。

1 設備組合彈道精度評估模型

設備組合彈道精度是指由測量設備的基本誤差傳播到測量數據，再經過組合測量和數學方法計算傳播到彈道的總誤差統計量。因此，通常采用誤差傳播模型估算設備組合彈道理論精度。

1.1 彈道精度評估內容

設備組合彈道精度受許多與測量設備自身有關和無關的因素影響：飛行彈道、測量體制、測量設備數量、精度和誤差指標、跟蹤性能、設備測量站配置和彈道估計方法等[2]，如圖1 所示。

常用的彈道精度評估有誤差傳播估算和精度檢驗2 種途徑。其中，誤差傳播估算包括仿真分析和理論分析2 大類，主要用于設備選優組合方案設計和論證；精度檢驗方法可分為“內符合”和“外符合”2 大類，分別用于實時處理彈道和事后處理彈道的精度評估[2]。