例談初中數學點共線問題的解題策略

【摘要】在平面幾何中，證明點共線問題的方法很多，但是利用初中數學知識解決的方法有限.本文借助初中數學相關定理及相關基本事實，通過幾道典型例題，對點共線問題的解題方法進行探究，旨在培養學生的數學直觀能力和推理能力.

【關鍵詞】共線；旋轉；解析法；鄰補角

1" 代數方法

例1" 已知在平面直角坐標系中，點A（1，0），B（0，－1），C（－1，－2），求證：A，B，C三點共線.

分析：

法1" 方程法

利用兩點確定一條直線，求出該直線解析式，再判斷第三點是否滿足此直線方程即可.如直線AB解析式為：y=x－1，點C（－1，－2）滿足該方程，因此可判定點A，B，C三點共線.

法2" 斜率法

求其中任意兩點所連成的直線斜率，若相等，則三點共線. 如直線AB的斜率k1=yA－yBxA－xB=1，直線AC的斜率k2=yA－yCxA－xC=1， 故k1=k2，所以點A，B，C三點共線.

法3" 利用三點之間兩兩距離的和差關系

利用勾股定理得：AB=" 2，BC=" 2，AC=2" 2.

因為AB+BC=AC，所以點A，B，C共線.

代數方法在解決三點共線問題時扮演著重要角色.這種方法不僅鍛煉了學生的代數運算能力，也促進了數與形之間的有機融合［1］.

2" 利用幾何圖形中特殊位置關系

2.1" 平行公理" 過直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行

如圖1，PC∥l，QC∥l，則點P，C，Q三點共線.

圖2

2.2" 垂線的性質" 在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

如圖2，PC⊥FC，CQ⊥FC，則點P，C，Q三點共線.

例2" 如圖3，正方形ABCD和正方形AEFG，點E在線段AD的左側，連接BG，BF，若BF=BC，求證：B，G，E三點共線.

圖4

分析" 此題的背景為共頂點的正方形，觀察圖形易得，AB=BF，AG=FG，AE=EF，故B，G，E三點在線段AF的垂直平分線上，因此B，G，E三點共線.

2.3" 利用角之間的關系

如下圖，證明P，C，Q三點共線.

如圖4，利用平角的定義證三點共線，即證∠PCF+∠FCQ=180°，∠PCQ=180°，這也是證明三點共線經常使用的方法.

如圖5，可證∠FCQ=∠FCP.

在平面幾何中，旋轉變換是圖形變換的一種，而出現點共線是旋轉的特殊情況.例3就是在旋轉變換的背景下研究的點共線問題.

圖5

例3" 如圖6，在△ABD中，點C為△ABD內部一點，將△ABC繞點A逆時針旋轉，使得AB與AD對應.

圖6

（1）用尺規作圖，作△ABC旋轉后的圖形△ADE.（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若∠BAC+∠ADE=∠AEC，判斷B，C，E三點是否共線.

分析" 問題（1）利用尺規作出旋轉圖形，只需要確定關鍵點的對應點.利用旋轉的性質，旋轉后的圖形與原圖形全等，因此點C的對應點E可通過構造全等得到.即分別以點A為圓心，AC為半徑，點D為圓心，BC為半徑化弧，兩弧相交于點E，△ADE即為所求.

問題（2）判斷三點共線，在圖7中，若證明∠ACB+∠ACE=180°即可得證.由旋轉的性質可得，△ABC≌△ADE，因此∠ADE=∠ABC，AC=AE，從而∠ACE=∠AEC.借助△ABC內角和為180°及已知條件，通過等量代換即可求證∠ACB+∠ACE=180°.

圖8

2.4" 特殊點重合

利用點重合也是證明點共線的常用方法.通過連接其中兩點確定一條直線，并在這條直線上表示出與第三點位置相同的點，最后證明兩點重合即可.如下例題：

例4" 如圖8，四邊形ABCD是矩形，AE，AF，CE，CF分別是∠BAC，∠DAC，∠BCA，∠DCA的平分線，連接EF交AC于點O.求證：B，O，D三點共線.

分析" 通過觀察，猜想點O應為矩形ABCD的中心，若連接BD，交AC于點G，只需證明點G與點O重合即可.

3" 結語

三點共線問題在現實生活及科學研究中有著廣泛的應用.例如，在建筑設計、道路規劃等領域，確保某些關鍵點位于同一直線上是確保設計合理性和可行性的重要前提.通過分析具體的應用實例，學生能夠更加深刻地認識到幾何知識在實際應用中的價值.

參考文獻：

［1］宗吉.共點線的幾種證法及其應用［J］.數理天地（初中版），2022（15）：33-35.

［2］鄒麗琴.思因究法，突破三點共線問題—從中考壓軸題說起［J］.試題與研究，2021（16）：19-20.

［3］高瑜.平面幾何中三點共線的常見解法［J］.中等數學，2021（04）：2-7.