把握關鍵步驟 完成素養目標

摘" 要：二次函數與幾何綜合問題是初中數學的重點和難點問題，也是初高中數學的銜接點，是歷年全國各地中考的熱點問題，常常以中考壓軸題的形式出現.二次函數與幾何綜合題涉及的知識點較多，對學生的邏輯思維、推理能力要求較高，主要考查學生對數形結合思想的理解.基于此，筆者以常見的二次函數與幾何綜合問題為例，突出解決問題的關鍵步驟，立足于點的坐標表示，進而確定線段長度，最后解決圖形面積等問題，以此完成素養目標的培養.

關鍵詞：二次函數；幾何問題；綜合題；關鍵步驟；素養目標

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2025）05-0033-03

收稿日期：2024-11-15

作者簡介：王芳，碩士，中學一級教師，從事初中數學教學研究；馮俊，碩士，中學高級教師，從事初中數學教學研究.

在歷年全國各地中考試題中，經常出現以二次函數為背景的幾何綜合題，這類問題通常涉及最值問題，其綜合性較強，對學生而言具有一定的難度.在復習備考過程中，最主要的教學思路有：進行單元模塊化教學，使學生逐步感受二次函數與全等三角形、相似三角形的有機融合，二次函數與特殊三角形的存在性相結合，二次函數與特殊四邊形相結合，等等.筆者以一道原創的二次函數與幾何綜合問題為例，探究關鍵步驟在問題解決過程中的作用，以此提升學生的數學核心素養.

1" 題目呈現

如圖1，已知拋物線L：y=-23x2+bx+c，與y軸的交點為C（0，2），與x軸的交點分別為A（3，0），B（點A在點B右側）.

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P是第一象限內拋物線L上的任意一點，過點P作PQ∥y軸交AC于點Q，求線段PQ的最大值；

（3）如圖2，點D，G在x軸的上方，點D在點G的左側，點E，F在x軸上，且四邊形DEFG為矩形，是否存在點D，使得矩形DEFG的周長最大？若存在，求點D坐標；

（4）如圖3，將拋物線沿x軸向左平移m（mgt;0）個單位，所得拋物線與x軸的左交點為M，與y軸負半軸的交點為N，若∠NMO=∠CAO，求m的值.

2" 題目分析

本題是一道典型的二次函數與幾何問題綜合題，主要涉及二次函數表達式的確定、線段最值及周長最值、確定點的坐標、相似三角形的判定與性質、二次函數圖象的平移變換等知識，涉及的知識點較多，具有較強的綜合性，對學生而言具有極強的挑戰性.在初中數學教學中，為降低解題難度，不妨引導學生從點的坐標表示入手，為問題解決創造有利條件.

對于問題（1），主要考查待定系數法確定二次函數的表達式.根據已知條件，拋物線L與y軸的交點為C（0，2），與x軸的交點分別為C（0，2），即點C（0，2）和C（0，2）都在拋物線L上，將點C和點A的坐標代入y=-23x2+bx+c，即可得到關于b和c的二元一次方程組，從而易得到拋物線L的表達式為y=-23x2+43x+2，這種求函數表達式的方法即為待定系數法.

對于問題（2），它是關于線段的最值問題，解決此問題時，首先需要表示點的坐標.根據題意，可設P（m，-23m2+43m+2），根據點A與點C的坐標，容易得出直線AC的表達式為y=-23x+2.由此可以得到Q（m，-23m+2），然后根據兩點之間的位置關系，容易用含m的代數式表示線段PQ的長度，即PQ=-23m2+43m+2-（-23m+2）=-23m2+2m.不難發現，PQ是關于m的二次函數，根據二次函數的性質易知，當m=32時，線段PQ能夠取得最大值，其最大值為32.由此解題過程可以發現，借助點的坐標可以得到線段的長度.在本題中，易發現線段PQ的長度是不斷變化的，最后借助二次函數的性質得到了最大值.根據已知條件及圖形結構特征，易發現△APC的面積可轉化為32PQ，即三角形面積的最值與線段PQ的最值本質上是一樣的［1］.

對于問題（3），類比問題（2）的研究思路，從點的坐標入手，可設點D為（n，-23n2+43n+2），易知點E為（n，0），由于拋物線的對稱軸為直線x=1，根據對稱性可知xE+xG2=1，即n+xG2=1.由此可知點G的坐標為（2-n，-23n2+43n+2）.從而可得線段DE=-23n2+43n+2，線段DG=2-n-n=2-2n.所以矩形DEFG的周長可以表示為2DE+2DG=-43n2+83n+4+4-4n=-43n2-43n+8.由此可以看出，矩形DEFG的周長是n的二次函數，根據二次函數的性質可知，當n=-12時，矩形DEFG的周長取得最大值，最大值為253.

對于問題（4），拋物線向左平移m個單位得y=-23（x-m）2-43（x-m）+2，由條件∠NMO=∠CAO及∠NOM=∠COA易發現△MON∽△AOC.從點的坐標入手，由平移可知M（-1-m，0），因為點N在y軸上，所以可得N（0，-23m2+43m+2）.從而可知線段OM=-1-m=1+m，ON=-23m2+43m+2=23m2-43m-2，根據相似三角形的性質可得ONOC=OMOA，即2/3m2+4/3m-22=1+m3，解得m=4或m=-1.因為m＞0，所以m=4.

3" 教學思考

3.1" 模塊化教學模式對學生解題的不良影響

二次函數與幾何綜合問題是歷年全國各地中考的重點內容，也是學生解答的難點問題之一，對于學生的運算能力要求較高.多數學生處理二次函數與幾何綜合問題的能力較弱，面對復雜多變的題目顯得措手不及，缺乏分析問題的思路.究其原因，它與教師在教學過程中采用的模式有關.通常情況下，教師將此類問題分為二次函數與特殊三角形的存在性結合題、二次函數與全等三角形或相似三角形問題綜合題、二次函數與線段最值綜合題、二次函數與平行四邊形綜合題、二次函數與幾何圖形變換等［2］.這樣的模塊化教學模式的想法固然是對的，教師也想通過這種方式讓學生學會解決不同類型的二次函數與幾何綜合題.但是這樣的模塊化教學方式存在兩個問題：一是學生只關注教師介紹的幾類問題，如果出現從未見過的綜合問題，學生就會束手無策；二是學生普遍認為上述模塊彼此之間無因果關系，學習過程中采用的方式是分模塊理解并消化，一旦出現綜合性問題，就會出現解題困難.

3.2" 學生須準確把握解決問題的關鍵步驟

學生的主要問題是無法把握核心關鍵步驟，只是單純依照模塊進行理解與學習.在學習過程中，當學生碰到復雜問題時，就會出現無法有效分析、加工問題的現象.不難發現，解決二次函數與幾何綜合問題的關鍵步驟是首先表示點的坐標，然后表示線段的長度，最后研究幾何圖形的周長、面積、相似三角形及特殊三角形等問題，具體過程如圖4所示.

3.3" 基于二次函數與幾何綜合題培養核心素養

數學核心素養主要包含三個方面，即用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界.關鍵步驟的理解對于核心素養的培養至關重要.在二次函數與幾何綜合題中，用字母表示點的坐標是一種符號意識，學生要通過設某點的橫坐標進而表示縱坐標，這里學生必須清楚點在某條直線上或者某拋物線上，這其實就是一種數學眼光，即已知點的橫坐標可代入確定縱坐標的值，不知道橫坐標的情況下可以用字母表示.

從確定位置到點的坐標再到線段長度，最后到幾何圖形的周長、面積、三角形相似等問題，從邏輯上看，它符合學生用數學的思維思考現實世界的方法，從一維直線到二維平面，點動成線、線動成面、面動成體等思考方式.學生可以通過已知的事實，合乎邏輯地得出結論，構建嚴謹的數學邏輯體系.

數學語言主要體現在數據意識或數據觀念、模型意識或模型觀念、應用意識.在解決二次函數與幾何綜合題時，三角形相似問題最終轉化為線段之比，即利用線段的比就可以表達三角形相似.簡單來說，線段的長度或線段之間的數量關系可以表達幾何圖形的關系，這符合數學語言表達世界的認知.

4" 結束語

二次函數與幾何綜合題是初中數學教學的重點和難點.在教學過程中，教師需引導學生探究數學解題中的核心步驟，以此實現核心素養的培養.在復雜的二次函數與幾何綜合題中，關鍵步驟往往能夠起到畫龍點睛的效果，可以幫助學生迅速解決問題.

參考文獻：［1］ 王麗.數形結合思想在初中數學解題中的應用：以“二次函數與幾何圖形”問題為例［J］.數理化解題研究，2024（2）：38-40.

［2］ 王東國.例析二次函數與幾何綜合題的最值問題［J］.中學數學，2023（16）：69-70，77.

［責任編輯：李慧嬌］