齒輪箱體靜動態特性分析與多目標拓撲優化

關鍵詞：多目標拓撲優化；齒輪箱；折衷規劃法；組合賦權法

0 引言

行星齒輪減速器是以平穩傳動和高傳動比為特點的精密型減速器，其減速器箱體部分更是整個傳動系統的支撐，在保障傳動系統平穩高效的工作方面起著重要作用。但箱體設計保守造成材料浪費，此外箱體是噪聲、振動的主要來源之一。通過對箱體多目標拓撲優化，減小箱體材料用量，可改善箱體靜動態特性。因此，對箱體結構進行拓撲優化具有十分重要的工程意義與應用價值。

國內外學者針對多目標拓撲優化問題已開展了大量的研究。張喜清等［1］考慮了齒輪箱體在不同工況下承受多種載荷，將齒輪箱體進行輕量化，通過優化第1階固有頻率并在約束條件下考慮應力、位移和體積分數；但只考慮了單個目標，應用范圍大大下降。范文杰等［2］綜合考慮了靜態多工況下的剛度和動態固有頻率兩方面的優化目標，通過折衷規劃法得到最優解，解決兩個相異優化目標無法同時優化的不足，也避免了優化單一；但對于多目標的權重值用主觀賦予法，容易出現結果的不可靠現象。張志飛等［3］在權重分配方法的選擇上說明了主觀賦權法的不足，基于單目標拓撲優化生成子序列和母序列，采用灰色關聯分析方法確定各指標的權重；但容易出現依賴原始數據而導致的脫離實際的問題。

現有研究成果有效實現了齒輪箱體的拓撲優化，但在多目標拓撲優化時，子目標權重值的選擇仍存在較多不足：主觀賦權法不一致性強、可信度不高；客觀賦權法過度依賴數據忽略主觀判斷，可能導致結果脫離實際?；谏鲜龃嬖诘牟蛔?，本文提出使用組合賦權法作為子目標權重值分配的方法。以某款印刷機械用行星齒輪箱體為研究對象，以剛度、前4階固有頻率為優化指標，并用組合賦權法對指標權重值進行精準分配，使用折衷規劃法將子目標進行歸一化，并構建綜合目標函數，對齒輪箱箱體進行多目標拓撲優化。

1 建立剛柔混合三維模型

齒輪箱由傳動系統和箱體兩個部分組成，整體尺寸為100 mm×100 mm×168 mm。傳動系統包含兩級行星輪系，其中第1級輪系的內齒圈固定于外殼上，第1、2級輪系的行星輪同軸固聯，為雙聯齒輪。箱體分為上、下端蓋兩部分，下端蓋的4個固定孔與機架連接后6個自由度受到限制。傳動系統通過3個滾動軸承和第1級輪系的內齒圈支撐在箱體上，齒輪箱三維模型如圖1所示。齒輪箱的主要參數如表1所示。

根據齒輪箱三維模型在Romax 中建立剛柔混合三維模型。傳動系統中的軸、齒輪等零件通過參數化建模建立為剛性體。其中，內齒圈與箱體設置為剛性連接。

箱體部分利用前處理軟件建立為柔性體。對箱體模型進行簡化處理，排除細微特征，如螺栓孔螺紋、倒角等；劃分網格；再建立rbe2、rbe3單元用于添加約束和載荷，bar單元代替螺栓連接；最后把剛性體和柔性體縮聚為一個剛柔混合三維模型。節點1、2、3、4分別對應滾動軸承1、剛性連接、滾動軸承2、3的中心點，如圖2所示。表2列出了上、下端蓋和螺栓的材料參數。

2 靜動態特性分析

2. 1 靜態分析

通過對剛柔混合三維模型靜力學分析，提取箱體應力、位移云圖（圖3）和節點1、2、3、4所受的力和轉矩（表3）。

箱體所受最大應力主要分布在4個螺栓孔附近，箱體最大應力約為4. 8 MPa，最大位移約為56. 50 μm。箱體整體有良好的剛度和強度，后端蓋的等效應力和位移均較小，存在很大的優化空間。此外，減小或保證箱體柔度（指標5）十分必要。

2. 2 模態分析

在結構設計中，提高低階固有頻率可優化結構剛度、質量和阻尼特性，改善模態特性，達到減振和降噪的目的，因此在一般的模態分析中，通常只考慮前3 階模態［4］（指標2、3、4）。本文分析計算了在約束條件下箱體前4 階固有頻率的數值和振型，分別如表4、圖4所示。

齒輪箱輸入轉速為3 000 r/min，由此計算出：

1）軸的轉動頻率：輸入軸50. 0 Hz，行星架10. 4 Hz，輸出軸2. 1 Hz。

2）輪系嚙合頻率：第1級行星輪系1 000. 0 Hz，第2級行星輪系嚙合頻率142. 8 Hz。

計算結果顯示，各軸的轉動頻率和齒輪副的嚙合頻率都未與箱體固有頻y率重合，因此不存在共振的情況。

2. 3 動態響應分析

1）軸的轉動頻率：輸入軸50. 0 Hz，行星架10. 4 Hz，輸出軸2. 1 Hz。

2）輪系嚙合頻率：第1級行星輪系1 000. 0 Hz，第2級行星輪系嚙合頻率142. 8 Hz。

計算結果顯示，各軸的轉動頻率和齒輪副的嚙合頻率都未與箱體固有頻y率重合，因此不存在共振的情況。

2. 3 動態響應分析

系統的動態響應分析是在內部激勵的作用下，傳動系統各部件的動態響應情況。齒輪傳動內部激勵主要由3部分構成：嚙合剛度激勵、誤差激勵和嚙合沖擊激勵。而傳動誤差直接決定了誤差激勵導致動態響應的變化，進而發生振動噪聲［5］。因此，以第1級行星輪系的傳動誤差和齒輪嚙合剛度為激勵引入齒輪箱的動態響應分析中，設定分析的頻率范圍為0～6 080 Hz，阻尼系數為5%，測取節點1、2、3、4的位移幅值響應。

線性模態柔度表示受激勵振動難易程度的模型，模態柔度越大，表明減速器在該頻率下更容易發生振動［6］。4節點位移幅值響應及模態柔度如圖5所示。

由圖5可知，4個節點的位移幅值響應在632. 3 Hz和3 283. 2 Hz 均達到峰值，節點4 位移幅值響應在632. 3 Hz 的峰值最大，約為0. 29 μm。傳動系統在2 967. 1、3 236. 3、3 294. 3 Hz附近線性模態柔度達到峰值，箱體的第4 階固有頻率（表4）與模態柔度3 290. 2 Hz峰值頻率相近，容易引起共振，引起箱體的振動和噪聲，影響箱體的壽命和安全，需要對箱體的第4階固有頻率進行優化（指標1）。

根據文獻［7］8414和前人的研究成果可知，齒輪箱振動噪聲主要發生在齒輪嚙合頻率處，是齒輪嚙合頻率與系統固有頻率重合，引起共振，產生噪聲。本文中系統模態柔度峰值頻率與箱體第4階固有頻率基本重合，與文獻［7］8414分析結果基本一致，驗證了上述分析結果的可靠性。

3 組合賦權法權重分配

指標賦權法常分為主觀賦權法和客觀賦權法兩種。其中，層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是主觀賦權法的經典方法，該方法不確定性很強，優化結果的可信度不高；灰色關聯法是經典的客觀賦權法，該方法易出現依賴原始數據，忽略主觀經驗判斷而導致的脫離實際的問題。為了克服主觀賦權法和客觀賦權法的缺陷，提出了一種基于博弈論的組合賦權法［8］，以綜合考慮上述兩種方法的優點，確定5個優化指標的權重值。

層次分析法［9］是將兩兩指標的關系量化，設計人員可根據指標間的重要程度從1、3、5、7、9中取值，也可根據實際選取中間值，構建比較矩陣

式中，n 為指標總數；aij為指標ai對指標aj的相對重要程度，即aij = ai /aj（i，j=1，2，…，5）。本文中根據靜動態分析選定第4階頻率，第1、2、3階固有頻率，剛度5個優化指標，層次分析法主觀判斷如下：動態響應分析結果表明箱體第4階固有頻率與齒輪箱模態柔度較為接近，重要性最高；由靜態分析結果可知，箱體有良好的剛度和強度，重要性適中；由模態分析可知，箱體前3階固有頻率與轉頻、嚙合頻率無重合，重要性較低且按階數增加重要性降低判斷。得到比較矩陣為

式中，CCI 為定義的一致性指標；λ 為最大特征根；m 為唯一非零特征根；RRI 為引入的隨機一致性指標，取值為1. 12。經過一致性檢驗后，對矩陣A 求得最大特征值對應的特征向量，并根據特征向量計算出5個指標的權重值C1=（0. 46，0. 07，0. 08，0. 17，0. 22）。

灰色關聯法［10］是評價子序列與母序列是否緊密的數學方法。對模型做單目標拓撲優化，得到的指標數值為子序列Xi，得到的指標數值中提取最優值為母序列X0，單目標拓撲優化指標數值如表5所示。

首先，對Xi和X0進行歸一化處理得到Xi′和X0′，求取子序列和母序列對應數值的絕對差值S 并求出其絕對差值的最大值Smax和最小值Smin，然后利用關聯系數r0i （k）得到關聯度值并由式（4）得到權重值C2，推導過程為

式中，θ 為調節系數，一般取值為0. 5；n 為指標總數，本文為5個指標，故n=5。分別以5個指標為目標函數，設體積分數為0. 5，為約束函數做單目標拓撲優化得到子、母序列數值（表5），根據上述推導過程得出5個指標的權重值為C2=（0. 16，0. 19，0. 20，0. 10，0. 35）。

博弈論組合賦權［11］是一種把兩種權重值相協調、相組合的集成，綜合主、客觀賦權的方法。設權重值集合為Ck=（Ck1，Ck2，…，Ckn）（k=1，2，…，M），本文中M=2，指標總數為n=5，線性組合權重系數為L=（L1，L2）（M=2），則向量間線性組合為

4 箱體多目標拓撲優化

4. 1 構建多目標拓撲優化目標函數

對于靜態剛度問題，可把剛度最大化問題轉換為柔度最小化問題。對于動態低階固有頻率，一般使低階固有頻率最大化。在優化過程中常會出現前后固有頻率互換而出現振蕩的現象，為了克服這種現象，使用平均頻率法［12］來定義動態低階固有頻率目標函數：

式中，Λ（ρ）為平均頻率；f 為需要優化的低階頻率的階次；λi為第i 階特征頻率；λ0、a0為給定參數（均取值為1）；ωi為第i 階頻率權重系數。

為簡化計算，將前文5個優化指標進行整合：柔度子目標對應指標5，權重為γ1；前3階固有頻率子目標對應指標2、3、4，權重為γ2 （第1、2、3階固有頻率指標權重之和）；第4階固有頻率子目標對應指標1，權重為γ3。使用折衷規劃法結合平均頻率法來得到多目標拓撲優化的綜合目標函數［13］：

式中，C（ρ）max、C（ρ）min、Λ（ρ）max、Λ（ρ）min、b（ρ）max、b（ρ）min分別為柔度、前3階固有頻率、第4階固有頻率3個子目標優化結果的最大值和最小值，用于消除量綱。

通過HyperMesh 軟件中Optistruct 模塊進行拓撲優化，該模塊使用變密度法作為優化算法。變密度法是將結構離散化，將離散化的微分單元的單元密度規定在［0，1］之間，在特定工況、目標函數、約束條件下求解每個微分單元的最優密度值，為避免中間密度出現，SIGMUND［14］提出了固體各向同性材料懲罰模型法，該方法采用懲罰因子，在冪函數的作用下將中間密度值逼近至0或1。設置目標函數為綜合目標函數Z（ρ），約束條件設置為體積分數Va，數學模型為

式中，Z（ρ）為綜合目標函數；V 為箱體體積分數，Va取值為0. 5；ρ 為單元密度，ρi為第i 單元的密度；E0為初始彈性模量，E 為優化后的彈性模量；q 為懲罰因子，取值為3。

圖6為多目標優化的流程。

4. 2 箱體多目標拓撲優化及結構優化

結構拓撲優化是一種結構設計方法，其針對給定的載荷和約束條件，在特定的設計區域內尋求做出最優的有限材料分布形式，從而滿足所規定的要求［15］。

圖7所示為箱體有限元模型，為拓撲優化分析模型，根據靜態分析結果可知，箱體存在很大的優化空間，將上、下端蓋的螺栓孔、固定孔和軸承座等部位設置為非優化區域，其余箱體部位均設置為優化區域。將圖2中Romax節點1、2、3、4所受的力和力矩（表3）施加在箱體有限元模型相對應的位置。

由式（8）可知，在拓撲優化之前需要3個子目標的最值以消除綱量。因此，在多目標拓撲優化之前需要對單個目標分別進行拓撲優化。分別以柔度最小、前4階固有頻率最大為優化目標，以體積分數為約束［同式（9）］，在HyperMesh中進行單目標拓撲優化，在優化結果中得到每個子目標的最值，代入式（8）中，以綜合目標函數Z（ρ）為優化目標，設置體積分數為約束函數，拓撲優化結果如圖8所示。

經過13次迭代，結構邊界較為清晰，生成三角結構保證了箱體的剛度和強度，完成了齒輪箱靜動態多目標拓撲優化。此外，還對比了層次分析法、灰色關聯法和組合賦權法的迭代曲線，如圖9所示。

隨著迭代的進行，3個子目標均按預期迭代且收斂，達到了箱體提高前4階固有頻率和降低箱體柔度的目的。由圖9可知，柔度、第4階層次分析法最優，前3階固有頻率灰色關聯法最優，組合賦權法綜合了兩種賦權法，迭代曲線介于層次分析法和灰色關聯法迭代曲線之間，充分驗證了該方法在協調、主觀和客觀賦權法方面的有效性，證明了組合賦權法的優越性。

為了驗證拓撲優化科學性和準確性，需要對箱體進行優化設計。由文獻［16］可知，根據拓撲優化后材料分布，采用添加加強筋的方式，去除保守部分，加強薄弱部分。

本文同樣根據拓撲優化結果，切除藍色區域厚度；根據靜態分析結果，箱體應力主要分布于螺栓孔，上端蓋因與前排內齒輪固連產生較大的位移，且根據前4階模態振型確定振型位移明顯的位置，綜合應力、位移和模態振型采取對上端蓋增加肋板的方式進行箱體結構優化［17］。箱體材料去除厚度和肋板添加位置及其具體厚度如圖10所示。

通過設置材料密度，對比優化前后箱體質量。優化前箱體質量為1 433. 8 g，優化后箱體質量為1 272. 6 g，質量降低了約11. 2%。

4. 3 優化前后對比分析

對優化后箱體的強度、模態和位移幅值響應進行分析，分析結果如圖11所示。

經過優化后，箱體的最大應力約為2. 9 MPa，而其最大位移則約為53. 6 μm，4個節點的位移幅值響應在656. 6 Hz和3 331. 8 Hz均達到峰值，節點1位移幅值響應在3 331. 8 Hz的峰值最大，約為0. 05 μm。前4階固有頻率如表7所示。

根據第2節和第4. 2節優化前后箱體靜動態分析結果，對優化前后箱體的應力、位移等進行對比，如表8所示。

5 結論

針對齒輪箱振動噪聲問題，采用組合賦權法賦予子目標權重值，采用折衷規劃法建立了最小化柔度、最大化前4階固有頻率的綜合目標函數，并依據優化結果、應力位移和模態振型改進了箱體結構，得到結論如下：

1）箱體質量降低了11. 2%；最大應力和位移分別降低了39. 6% 和5. 1%；箱體軸承座和內齒圈中心點定義的4個節點最大位移幅值響應由0. 29 μm下降到0. 05 μm，下降了82. 8%；前4 階固有頻率分別上升5. 9%、6. 1%、9. 1%、8. 6%。結構優化后，箱體的靜動態特性均有所提升。

2）使用基于博弈論的組合賦權法，綜合考慮層次分析法和灰色關聯法，驗證了組合賦權法的優越性，避免了主觀賦權法可信度不高和客觀賦權法過度依賴數據而導致脫離實際的問題，為齒輪箱體多目標拓撲優化設計提供參考。