靈活運用冪的運算法則

近期，我們在學習有理數運算的基礎上，進一步學習了冪的運算，包括同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方、同底數冪的除法等，相應的運算法則分別為：

am?an=am+n（m、n是整數）；

（am）n=amn（m、n是整數）；

（ab）m=ambm（m是整數）；

am÷an=am-n（a≠0，m、n是整數）。

根據冪的意義，記住這些運算法則并不難，但怎樣靈活運用這些運算法則解決具體的問題是有難度的。比如我遇到的這道題：

已知25x=2000，80y=2000。

求[1x]+[1y]的值。

初看這道題，面對如此龐大的數字，采用乘方運算或開方運算都行不通，我感覺無從下手。進一步觀察條件，我發現解決問題的關鍵隱含在底數25和80這兩個數字上，依據是25與80的積恰好為2000。根據這個突破口，我先將這兩個等式的左右兩邊分別相乘，得到25x×80y=4000000。這時，我又發現等式左邊兩個因數的底數和指數都不相同。于是，我針對這個特征進行了相應的處理。

【處理方法1】我嘗試將指數統一。

因為25x=2000，80y=2000，所以（25x）y=2000y，（80y）x=2000x。

于是，可得（25x）y×（80y）x=2000y×2000x。

因為（25x）y×（80y）x=（25×80）xy=2000xy，2000y×2000x=2000x+y，

所以2000xy=2000x+y，即xy=x+y。

因為[1x]+[1y]=[x+yxy]，

所以[1x]+[1y]=[x+yxy]=1，

即[1x]+[1y]=1。

這樣，我用（am）n=amn和am?an=am+n輕松地做到冪的指數的統一，從而解決問題。

再次觀察題目給出的條件，我發現從條件中可以直接湊出代數式[1x]+[1y]，隨后做如下處理。

【處理方法2】我嘗試將底數統一。

因為25x=2000，80y=2000，所以（25x）[1x]=2000[1x]=25，（80y）[1y]=2000[1y]=80。由此可得2000[1x]×2000[1y]=25×80。所以2000[1x+1y]=2000，即[1x]+[1y]=1。

通過上面兩種處理方法的嘗試，我發現，只要靈活運用那些基礎公式，就能巧妙地解決一些看似復雜的難題。這樣的經歷讓我對這些法則的運用更加自信，以后在學習中遇到類似的問題，我相信自己能夠更加熟練地應對。

教師點評

“冪的運算”中蘊含大量的計算問題，同學們根據冪的運算法則能熟練解決很多冪的運算問題。管君豪同學列舉的問題，已知條件與待求結論之間沒有明顯的聯系，具有一定的挑戰性。他在理解冪的運算法則的基礎上，靈活運用，分別采用了“指數統一”和“底數統一”兩種處理方法，巧妙地解決了問題，使我們感受到數學思想的價值和魅力。

（指導教師：孫凱）