考慮地鐵列車控制的縱斷面設計優化方法

摘要：地鐵列車控制優化與縱斷面設計關系密切，二者對運營費用有重要影響。為在列車控制優化的基礎上進一步降低運營費用，在線路縱斷面設計階段構建了協同優化模型，考慮定時列車控制對縱斷面進行優化，在滿足定時列車控制約束、《地鐵設計規范》要求等的前提下，最小化能耗成本和維修成本之和。由于車輪、鋼軌維修成本的影響因素眾多，建立列車-軌道動力學仿真模型計算維修成本，在此基礎上設計綜合偽譜法和蠻力搜索的算法求解協同優化方案，并應用于廣州地鐵線路的3個區間，對方法的優化效果進行驗證。研究結果表明，對比在實際縱斷面上單獨優化定時列車控制的方法，同時優化定時列車控制方案和縱斷面方案對節約運營費用的效果更佳，各區間運營費用平均降低21%。該研究方法可為進一步控制運營費用提供新思路和理論依據，推動地鐵系統可持續發展。

關鍵詞：地鐵；列車操縱策略；線路設計；運營成本；偽譜法

中圖分類號：U212.34""" 文獻標志碼：A""" 文章編號：1002-4026（2025）01-0105-15

開放科學（資源服務）標志碼（OSID）：

DOI：10.3976/j.issn.1002-4026.20240062【交通運輸】

收稿日期：2024-04-16

基金項目：國家自然科學基金（71571016）

作者簡介：樊蔥（1996—），女，碩士，助理工程師，研究方向為城軌線路設計。E-mail： cong19960922@163.com

Optimizing vertical track alignment considering metro train control

FAN Cong

（Guangdong Guangzhou-Zhuhai Intercity Railway Co.， Ltd.， Guangzhou 510422， China）

Abstract∶Energy-saving metro train control is closely related to the vertical track alignment （VTA） design， and both have a significant impact on operating costs. To further reduce operating costs based on optimized train control， this study proposed a collaborative optimization model for the VTA design phase. This model optimizes the bidirectional train control strategy and VTA of a metro section with the goal of minimizing energy consumption and maintenance costs simultaneously， while adhering to the constraints of scheduled train control and the requirements of the \"Metro Design Code.\" Given the numerous factors affecting the maintenance costs of wheels and rails， a train-track dynamic simulation model was developed to calculate these costs. Based on this， an algorithm combining the pseudospectral method and brute force search was designed to solve the collaborative optimization model. The effectiveness of this optimization method was validated using three sections of the Guangzhou metro line. The results indicate that， compared to the method of optimizing scheduled train control alone on the actual VTA， the collaborative optimization model is more effective in saving operating costs， reducing the average operating costs by 21% across the studied sections. This study can provide novel approaches and theoretical support to further reduce metro operating costs， which contributes to promoting sustainable development of metro.

Key words∶underground metro; train trajectory; track alignment design; operating cost; pseudospectral method

發展地鐵具有方便市民出行、帶動區域經濟等優點，隨著城市化進程持續加快，近五年地鐵線路總里程增長約4 500 km［1］。地鐵線路增長導致能耗成本問題突出，近五年地鐵耗電量增長逾4億度，其中50%～70%用于列車牽引［2］。另一方面，隨著建成年限變長，更多線路進入維修期，維修成本不斷增加，根據北京地鐵數據，每公里的維修成本甚至超過了能耗成本。

為降低列車牽引能耗，節約能耗成本，地鐵運營單位采取了優化列車控制、使用輕量化車輛等措施［3］，但這些措施的節能效果受線路條件制約。地鐵線路主要包括線路平面和縱斷面。平面方案設計更側重于盡量多地吸引客流［4］，而非降低列車能耗。縱斷面直接影響列車所受阻力，不同縱斷面下的列車控制優化方案及能耗可能不同，而且以節能為目標優化縱斷面時需考慮列車控制優化，因為最優縱斷面方案可能隨列車控制方案改變。所以，相比平面設計，縱斷面設計與列車控制優化的關聯更緊密，如果在設計縱斷面時同步優化列車控制，相較僅優化列車控制方案，將更有助于節約能耗成本。

縱斷面設計一般指在給定線路平面的條件下，確定滿足實際約束的一系列坡道。Jha等［5］首先在設計縱斷面時同時考慮降低建設成本和能耗成本，但假設能耗成本正比于列車運行距離，計算方法較為粗略。為精確計算能耗，Kim等［6］建立列車運動模型描述列車運行行為，導致模型的非線性化增強，當考慮更多實際約束時需使用更高效的算法求解。柏赟等［7］、彭磊等［8］相對全面地考慮了縱斷面設計中的實際約束，并采用啟發式算法快速求解模型，但解的最優性難以保障。徐楊［9］進一步設計蠻力搜索和動態規劃相結合的算法求得問題的精確解，然而研究中列車采用節時控制策略，所求解不一定最適用于實際運營中給定運行時分下的列車控制。Hoang等［4］和Wu等［10］在已知運行時分的前提下，同時優化縱斷面方案和列車節能控制方案，但可能受計算效率的限制，為縮小問題可行解規模，優化過程中縱斷面設計形式保持不變，解的最優性無法確保。Duarte等［11］對算法進行改進，設計梯度優化法求解協同優化模型，但忽略了坡長約束等，可能導致所求方案無法在實際中應用。

除能耗成本外，不同列車節能控制方案和縱斷面方案下，設備使用壽命通常存在差異，從而影響維修成本。湯超［12］、肖緋雄等［13］采用動力學仿真方法計算不同坡度、列車運行速度下的輪軌、閘瓦磨損量，證明在其他條件不變的前提下，輪軌和閘瓦磨損量隨坡度絕對值或列車運行速度增大而增加。Lai等［14］在優化縱斷面和列車控制時考慮了節約維修費用，但維修費用僅正比于運行距離，未考慮不同設備間維修成本的差異。Kang等［15］分別根據車輪、鋼軌等設備的年維修費用計算各維修成本，再以所有設備維修成本及能耗成本最小為優化目標，求解最優縱斷面方案和列車控制方案，但仍未較精準地量化不同方案對維修成本的影響。

在更精準化不同方案對維修成本影響的基礎上，本文考慮定時列車控制對縱斷面進行優化，提出基于列車-軌道動力學仿真的地鐵區間縱斷面設計和列車節能控制協同優化方法，該方法盡可能全面的考慮定時列車控制約束和《地鐵設計規范》［16］等要求，采用偽譜法和蠻力搜索的算法，在保證求解精度的前提下高效求解優化方案，以最小化能耗成本和維修成本。

1" 考慮列車控制的縱斷面優化問題

截至2022年底，全國城市軌道交通中69%以上線路為地下線［1］，地鐵中地下線占比更高，廣州地鐵達88%左右，多數使用盾構法建設。此時，建設費用基本取決于線路長度，由平面方案決定［17］。由于在縱斷面設計階段，平面方案一般已提前確定，不同縱斷面方案下的線路長度及相應的建設成本差異很小。因此，通過優化地下線列車控制方案和縱斷面方案，可以在不改變建設成本的前提下降低能耗成本和維修成本，達到減少總成本的目的。

對于地下線車站，其水平位置由平面方案給定，高程一般按盡量接近地面以方便乘客進出站的原則確定，車站的空間位置可視為已知條件。此時，當僅考慮一般的運營模式，列車在各站均停車，任意兩相鄰車站間的列車控制和縱斷面優化與其他區間互不干擾，各區間可單獨進行優化。為提高問題的求解效率，以下對單個區間上考慮列車控制的縱斷面優化問題進行研究，當全部區間都使用該方法，即可得到全線優化方案。

第n個區間縱斷面設計示意圖如圖1所示，一般情況下，上行和下行方向軌道敷設在同一隧道中，縱斷面呈對稱關系，不同方向上的最優列車控制方案可能存在差異。若協同優化僅以降低一個方向的列車牽引能耗為目標，可能使另一方向的列車牽引能耗較大，不利于節約總能耗成本。因此，計算能耗成本時考慮雙向牽引能耗。

由于地鐵系統復雜、設備眾多，維修成本僅考慮與縱斷面方案、列車控制方案密切相關的重要設備，主要有閘瓦、車輪和鋼軌。當各設備單次平均維修成本一定，在相同時間內，總維修成本由各設備使用壽命決定。閘瓦、車輪和鋼軌使用到限的主要原因是摩擦磨損［18］，所以維修成本為修理、更換因摩擦磨損使用到限閘瓦、車輪和鋼軌的人工成本和材料成本。雖然設備磨損量還受軌道結構影響，但在實際中，軌道結構設計主要考慮減振降噪［19］，而非減少設備磨損，在研究中視為已知條件。

為最小化能耗成本和維修成本之和，對縱斷面方案和列車定時控制方案進行協同優化。其中，縱斷面可由各坡度和坡長、連接相鄰坡道的豎曲線表示。由于豎曲線位于相鄰坡道交匯處，且曲線半徑按設計規范要求取值，決定縱斷面方案的關鍵因素為各坡度和坡長。在給定的線路上，列車定時控制方案由牽引力和制動力決定。優化方案同時受定時列車控制約束、《地鐵設計規范》要求和實際工程約束等限制，具體將在模型部分進行介紹。

2" 協同優化模型構建

對于協同優化問題，線路條件及部分參數如限速和避讓區域都隨位移發生變化，將這些變量稱為位移關聯參數。為簡化問題中對位移關聯參數的表示，將區間按一定規則劃分為多個階段，構建多階段優化模型，以提高求解效率［20］。階段劃分如圖2所示，首先將每個曲線區域和避讓區域都設為單獨的階段，再按同一階段內坡度和限速都相同的原則進行劃分。由于限速、曲線和避讓區域位置為已知值，確定各坡道長度后，即可獲得階段劃分方案。

2.1" 模型假設

模型假設如下：

（1）研究表明，再生制動能利用與縱斷面設計關聯較?。?］，本文計算能耗成本時暫不考慮再生制動能；

（2）假設運營單位對設施設備狀態進行定期監測，能夠及時更換磨損到限的設備，且不考慮單次平均維修成本定價問題，其不因設備維修次數等發生改變；

（3）相比輪軌在曲線上的磨損，其在直線上的磨損非常小［21］，因此只考慮輪軌在曲線上的磨損，且同一列車的各車輪、各鋼軌磨損量相同。

2.2" 優化目標和決策變量

由第1節分析可知，縱斷面方案由K個坡道的坡度i（k）和長度l（k）（k=1，2，…，K）確定，列車操縱方案由位置s處的牽引力F1（s）、F2（s）和制動力B1（s）、B2（s）確定（下標1、2分別代表上行方向和下行方向），以上要素為決策變量。

通過優化縱斷面方案和列車操縱方案，一定研究時段內的最小化運營成本Cmin，見公式（1）：

Cmin=CE+CS+CW+CA，（1）

式中，CE、CS、CW和CA分別為給定研究時段內產生的能耗成本、閘瓦維修成本、車輪維修成本和鋼軌維修成本。

2.2.1" 能耗成本計算

能耗成本為列車運行產生的牽引能耗相應的用電費用，若已知單位電價為cJ，能耗成本的計算公式為：

CE=cJEP，（2）

式中，E為列車雙向牽引能耗；P為給定研究時間內列車在線路上往返運行的次數。根據牽引能耗定義，E的計算公式見公式（3）：

E=∑Rr=1E（r）1+∑Rr=1E（r）2，（3）

式中，R為劃分的階段數量；E（r）1和E（r）2分別為上行、下行方向第r階段的牽引能耗，二者計算方法類似，以上行方向為例，E（r）1的計算方法見公式（4）：

E（r）1=∫s（r）fs（r）0F1（s（r））ds，（4）

式中，s（r）0和s（r）f分別為第r階段起點和終點位置。

2.2.2" 閘瓦維修成本計算

當閘瓦厚度減少至一定限度，需更換閘瓦，由此產生的成本為閘瓦維修成本。已知在研究時段內，列車在線路上往返運行P次，所需閘瓦維修成本見公式（5）：

CS=「PUScSNS，（5）

式中，「表示向上取整數，cS、NS分別為單塊閘瓦價格、列車閘瓦數量；US為閘瓦厚度減少到限時，列車在線路上往返運行的最大次數，其計算公式為：

US=ImS（IS1+IS2），（6）

式中，ImS為閘瓦最大磨損量；IS1和IS2為列車在上行、下行方向運行過程中閘瓦厚度減少量，由于二者計算方法類似，以IS1為例說明具體計算方法。在列車制動過程中，閘瓦與車輪接觸使動能轉換為熱能，列車速度下降，同時閘瓦溫度升高使閘瓦變薄，發生磨損，根據能量轉換原理，IS1的計算見公式（7）：

IS1=∑Rr=1∫t1（s（r）f）t1（s（r）0）βγεMIa1（t）v1（t）NISIdt，（7）

式中，β為0-1變量，當制動力大于0時為1，否則為0；γ、ε分別為動能轉換為熱能的比例［22］、閘瓦吸收熱能的比例［13］；t1（s）為列車在位置s處的運行時刻；MI為車軸質量；a1（t）、v1（t）分別為加速度和速度；NI、SI分別為車輛閘瓦數量和每塊閘瓦的面積。

2.2.3" 車輪維修成本計算

車輪磨損源于車輪和鋼軌間的相對滑動［23］，表現為輪緣厚度減少，車輪型面變得不規則。當車輪型面變化到一定程度時，不利于列車安全運行［24］，通常采用鏇輪方式恢復，但鏇輪將導致車輪踏面直徑減小且無法恢復，踏面直徑減少到限時，需更換車輪。因此，可用踏面直徑衡量車輪磨損程度，計算維修成本CW，見公式（8）：

CW=「PUWcWNW，（8）

式中，cW、NW分別為單個車輪的維修價格、列車車輪數量；UW為車輪踏面直徑減少到限時，列車在線路上往返運行的次數，其計算公式為：

UW=ImW（IW1+IW2），（9）

式中，ImW為車輪踏面直徑最大磨損量；IW1、IW2為列車在上行、下行方向運行過程中車輪踏面直徑減少量，由于二者計算方式類似，以上行方向為例，IW1可由輪緣厚度減少量換算，見公式（10）：

IW1=∑Rr=1∫s（r）fs（r）0θIL1（s（r））ds，（10）

式中，θ為踏面直徑減少量與輪緣厚度減少量的比例，為一經驗常數；IL1（s（r））為列車在上行方向運行過程中輪緣厚度減少量。由于車輪與鋼軌接觸作用過程復雜，且輪緣厚度減少量受線路、列車、軌道相關的諸多參數影響［23］，難以用數值方法計算。為此，采用仿真模型與數值方法相結合的方式，先基于仿真軟件建立列車-軌道模型，獲得輪軌間相互作用關系，再使用車輪磨耗模型計算輪緣厚度減少量，具體過程將在第3節介紹。

2.2.4" 鋼軌維修成本計算

輪軌間相對滑動也將導致鋼軌磨損，主要表現為波磨和側磨兩種形式［25］。其中，波磨產生原因復雜、難以預測，實際中采用定期打磨方式進行維護，本文研究的鋼軌磨損為鋼軌側磨。側磨主要發生在線路曲線上，按照《鋼軌允許磨耗限度》［26］，以磨損深度為側磨限度的衡量指標。當鋼軌磨損深度到限時，對鋼軌進行維修產生的成本為鋼軌維修成本CA，計算方法見公式（11）：

CA=「PUAcANA，（11）

式中，cA、NA分別為單條鋼軌的維修價格、鋼軌數量；UA為鋼軌磨損深度到限時，列車在線路上往返運行的次數，其計算公式為：

UA=ImA∑Rr1=1∫s（r）fs（r）0IA1（s（r））ds+∑Rr2=1∫s（r）fs（r）0IA2（s（r））ds，（12）

式中，ImA為鋼軌磨損深度最大值；IA1（s（r））、IA2（s（r））為列車在上行、下行方向運行過程中第r階段的鋼軌磨損深度，與輪緣厚度減少量類似，鋼軌磨損深度也需采用仿真模型與數值方法相結合的方式計算。

2.3" 約束條件

協同優化問題需同時考慮縱斷面設計和定時列車控制兩類約束。由于列車在上行和下行方向上運行時所受約束相似，以上行方向為例對模型約束進行介紹。

2.3.1" 縱斷面設計約束

根據線路設計規范和工程建設要求，縱斷面設計主要受車站及站外區域坡長、坡度約束，夾直線長度約束，車站高程約束，覆土厚度約束和避讓區域約束的限制。

（1）車站及站外區域坡長、坡度約束

為保障列車運行平穩，避免跨坡道運行引起的列車振動，車站應盡量設置在一個坡道上，即車站區域進站和出站坡長之和大于站臺長度，同時進站和出站坡度均采用滿足排水要求的最小坡度id。假設車站進站和出站坡長相等，則車站區域坡長、坡度約束為：

l（k）≥Ls/2，（k=1，K），（13）

i（k）=id，（k=1，K），（14）

式中，Ls為站臺長度。

站外區域坡長約束與車站區域類似，坡長應大于列車長度Lt，而坡度不僅要滿足排水要求，還不能大于規定值im，確保列車運行安全，見公式（15～16）：

l（k）≥Lt，（k=2，3，…，（K－1）），（15）

id≤i（k）≤im，（k=2，3，…，（K－1））。（16）

（2）夾直線長度約束

根據地鐵設計規范要求，相鄰豎曲線間需使用不小于規定長度Lm的直線連接，確保線路平順，有利于列車安全運行。連接相鄰豎曲線的直線段為夾直線，如圖3所示，夾直線長度約束可以表示為公式（17）：

l（k）－L（k－1，k）－L（k，k+1）≥Lm，（17）

式中，L（k-1，k）為第k-1個坡道與第k個坡道間豎曲線的切線長度，其計算公式為：

L（k－1，k）=Rki（k－1）－i（k）2 000，（18）

式中，Rk為第k-1個與第k個坡道間豎曲線的半徑。

結合以上兩個公式，可以將夾直線長度約束式（17）表示為公式（19）：

i（k－1）－i（k）+i（k）－i（k+1）≤2 000（l（k）－Lm）Rk。（19）

（3）覆土厚度約束

對于地下線，線路上方應保留厚度至少為G的覆土，避免地鐵線路影響地面設施，該約束稱為覆土厚度約束，見公式（20）：

H（s（r））lt;Hg（s（r））－G，（20）

式中，H（s（r））、Hg（s（r））分別為位置s（r）處的線路高程、地面高程，地面高程為已知條件。線路高程計算公式為：

H（s（r））=∑r－1m=1i（m）（s（m）f－s（m）0）+i（r）（s（r）－s（r）0）。（21）

（4）車站高程約束

由第1節的分析可知，在協同優化問題中，車站高程固定，可表示為公式（22）：

H（s（1）0）=H0，H（s（R）f）=Hf，（22）

式中，H0和Hf為起點和終點車站的高程。

（5）避讓區域約束

避讓區域為地下設施和不良水文地質所在區域，在設計縱斷面時應繞行，該約束稱為避讓區域約束。對于在第p階段的避讓區域，用Q（p）表示避讓區域所有的點，則約束可表示為公式（23）：

H（s（p））－Hq（s（p））gt;0，（q∈Q（p）），（23）

式中，Hq（s（p））為第p階段避讓區域中q點的高程。

2.3.2" 定時列車控制約束

（1）定時運行約束

定時列車控制為在給定區間運行時分下，采用適當的牽引力和制動力，使列車耗費最少的牽引能耗從區間起點運行至終點。因此，列車在起點和終點的位置、運行時分、速度均為固定值，該約束稱為定時運行約束，見公式（24～26）：

s1（s（1）0）=S0，s1（s（R）f）=Sf，（24）

t1（s（1）0）=0，t1（s（R）f）=T，（25）

v1（s（1）0）=v1（s（R）f）=0，（26）

式中，S0和Sf分別為起點、終點水平位置；T為給定的區間運行時間，計算方法見公式（27）：

T=3.6（Sf－S0）vc，（27）

式中，vc為技術速度。

（2）區間速度約束

為確保行車安全，列車在區間運行過程中不得超速運行，應與限定速度保持一定差距Δv，即區間速度約束為：

0lt;v1（s（r））≤vm（s（r））－Δv，（28）

式中，vm（s（r））為在s（r）處的限定速度。

（3）牽引力和制動力約束

根據列車牽引制動特性，在同一時刻，列車最多只能使用牽引力或制動力中的一種，且所用牽引力或制動力不能超過限定值，可表示為公式（29～30）：

0≤F1（s（r））≤Fm（s（r）），0≤B1（s（r））≤Bm（s（r）），（29）

F1（s（r））B1（s（r））=0，（30）

式中，Fm（s（r））、Bm（s（r））為最大牽引力、最大制動力。

為精確計算使用的牽引力、制動力，需結合列車受力分析、牛頓第二定律等，建立列車運動方程，描述列車運行行為。列車運動方程可表示為：

dv1（s（r））ds=F1（s（r））－B1（s（r））－W1（s（r））－N1（s（r））M（1+ρ）v1（s（r）），（31）

dt1（s（r））ds=1v1（s（r）），（32）

式中，W1（s（r））、N1（s（r））分別為列車運行過程中所受的基本阻力和附加阻力，附加阻力包括坡道附加阻力和曲線附加阻力；M為列車質量；ρ為回轉質量系數，為與列車類型有關的常數；v1（s（r））、t1（s（r））分別為列車速度和運行時間。基本阻力、附加阻力的計算方法為：

W1（s（r））=Mga+bv1（s（r））+cv1（s（r））2，（33）

N1（s（r））=Mgi（s（r））+600L（s（r））R（s（r））Lt，（34）

式中，g為重力加速度；a、b、c為與列車性質有關的常量；i（s（r））為坡度；R（s（r））為線路曲線半徑；L（s（r））為列車在曲線上的長度；Lt為列車長度。

（4）階段連接約束

由于模型將區間劃分為多個階段，為得到連續的列車操縱方案，需對相鄰階段交匯點的速度、時間、位置進行約束，以獲得完整的列車操縱方案，該約束稱為階段連接約束。階段連接約束為第r階段終點和第r+1階段起點的速度、時間、位置相等，見公式（35～37）：

s（r）f=s（r+1）0，（1≤r≤R－1），（35）

v1（s（r）f）=v1（s（r+1）0），（1≤r≤R－1），（36）

t1（s（r）f）=t1（s（r+1）0），（1≤r≤R－1）。（37）

3" 算法設計

以上多階段優化模型具有非線性性強、變量和約束多等特點，求解難度大。列車控制優化研究對比了偽譜法、動態規劃和混合整數規劃算法的求解精度和效率，結果表明偽譜法具有更高的求解精度、更快的求解速度，同時變量和約束的數量對偽譜法求解速度影響很小，適用求解多階段優化模型［27］。因此，本文采用偽譜法求解多階段優化模型，其中階段劃分由蠻力搜索算法（BF算法）完成，車輪、鋼軌維修成本基于列車-軌道動力學仿真計算。

3.1" 算法框架

本文算法基于列車-軌道動力學仿真、綜合偽譜法和BF算法。列車-軌道動力學仿真的作用為計算不同線路條件和列車速度下的車輪、鋼軌磨損量，形成輪軌磨耗數據庫，該過程將于第3.2節詳細說明。BF算法用于搜尋符合約束條件的坡長方案，并依據第2節的分階段原則將區間劃分為多個階段。偽譜法則基于輪軌磨耗數據庫和階段劃分方案，求解最小化雙向能耗成本和維修成本之和的協同優化方案。

若已有輪軌磨耗數據庫，算法流程如圖4所示。具體步驟為：

步驟1：參數初始化。輸入區間線路平面參數、車站高程、列車參數、線路限速、避讓區域位置、輪軌磨耗數據庫等，計算區間最大坡道數量Kmax，令K=Kmax：

Kmax=（L－Ls）/Lt」。（38）

步驟2：階段劃分。運用BF算法搜索滿足式（18）和式（20）的全部K個坡道組合方案，在此基礎上根據第2節的階段劃分原則將區間劃分為R個階段。

步驟3：偽譜法求解?；陔A段劃分方案和輪軌磨耗數據庫，采用偽譜法求解K個坡道的最優坡度和定時列車控制方案，對比各優化方案成本，獲得成本最小的K個坡道的最優縱斷面方案和列車控制方案。偽譜法原理為將問題離散變換為非線性規劃問題后求解，該過程基于MATLAB開發的GPOPS II完成，數學原理在Wang等［20］的文章中詳細闡述。

步驟4：優化方案對比。將目前最優協同優化方案與步驟3輸出的K個坡道的協同優化方案進行對比，令能耗成本和維修成本之和更小的方案為新的最優協同優化方案，至步驟5。

步驟5：循環判斷。判斷K≤3是否滿足，若是，則結束算法，輸出最優協同優化方案，否則令K=K-1，轉至步驟2。

3.2" 輪軌磨耗數據庫構建方法

列車行駛過程中，線路條件和速度都可能發生變化，導致不同位置處的輪軌磨耗程度不同。以上因素對輪軌磨損的共同影響難以用數學公式表達，無法使用數值方法計算不同優化方案下的輪軌磨損量。因此，本文構建輪軌磨耗數據庫，在優化過程中調用數據庫計算輪軌磨損量，估算輪軌維修成本。

根據第2節維修成本分析，輪軌磨耗數據庫數據包括單位步長車輪踏面直徑減少量、鋼軌磨損深度減少量，數據基于SIMPACK軟件仿真計算獲得。構建數據庫的流程如圖5所示。

首先輸入車輛和軌道系統固定參數、線路坡度和曲線半徑以及列車速度，建立列車-軌道仿真模型，獲得輪軌接觸參數；接著用磨耗模型計算單位步長車輪輪緣厚度減少量及相應踏面直徑減少量、鋼軌磨損深度減少量；不斷改變線路坡度、曲線半徑和列車速度的組合，重復以上步驟，直至完成對所有組合條件的仿真計算，形成輪軌磨耗數據庫。

4" 案例分析

本文應用廣州地鐵3個區間進行案例分析，基于SIMPACK計算并比較不同速度、坡度下的車輪和鋼軌磨損量差異，總結輪軌磨損規律，形成輪軌磨耗數據庫。基于輪軌磨耗數據庫，對比協同優化方案和基于實際縱斷面的列車控制優化方案的成本大小，驗證協同優化方法的優化效果。算法框架在MATLAB R2018b中編程實現，偽譜法求解過程基于GPOPS II完成。

4.1" 基礎數據

已知的線路參數和運行時間如表1所示，模型中主要參數的值見表2，縱斷面設計約束相關參數根據《地鐵設計規范》和實際情況取值。列車特性曲線如圖6所示。構建列車-軌道動力學模型時，車輪外形為LM型，鋼軌為UIC60鋼軌。

4.2" 輪軌磨損變化規律

為計算單位步長車輪輪緣厚度減少量、鋼軌磨損深度減少量，形成輪軌磨耗數據庫，在仿真線路上建立列車-軌道動力學模型。仿真線路依次由直線、緩和曲線、圓曲線、緩和曲線和直線組成，直線、圓曲線長度均為100 m，緩和曲線長度按曲線半徑取值。根據表2中的曲線半徑，仿真線路圓曲線半徑取值為700、800和2 000 m。根據《地鐵設計規范》和限速，坡度取值范圍為［-30‰，-2‰］和［2‰，30‰］，列車速度在10～75 km/h間取值。

根據仿真計算結果，當曲線半徑、列車速度一定，分別為700 m和70 km/h時，車輪和鋼軌磨損量隨坡度變化情況如圖7所示。由圖7可知，無論是上坡或下坡，車輪和鋼軌單位步長磨損量都隨著坡度絕對值增大而增加。當其他條件相同時，相比列車在上坡道上運行，列車在下坡道上運行的輪軌磨損量一般更大。

選取坡度為-25‰的情形，對曲線半徑分別為700和2 000 m，不同列車速度下的輪軌磨損量進行分析，磨損量變化如圖8所示。當曲線半徑不變時，車輪和鋼軌單位步長磨損量隨列車速度增加而增長。當列車速度一定時，曲線半徑越大，車輪和鋼軌單位步長磨損量越小。綜合以上分析，如果不考慮能耗成本和約束條件等，曲線半徑越大、列車速度和坡度絕對值越小，輪軌維修成本將越低。

4.3" 協同優化模型和列車控制優化模型效果對比

為論證協同優化方法的優化效果，基于輪軌磨耗數據庫，對表1的3個區間使用本文模型和列車控制優化模型，對比同區間不同方案下的成本大小。列車控制優化模型的基礎為Wang等［27］提出的模型，將約束條件與本文模型保持一致，該模型采用實際縱斷面，僅對給定區間運行時分條件下的列車控制方案進行優化，使得能耗成本和維修成本之和最小。

協同優化模型求解的縱斷面方案和實際縱斷面方案如圖9所示，圖中為上行方向縱斷面方案，該方案軸對稱即為下行方向縱斷面方案。由于3個區間不是連續區間，起點高程都設為0 m。由圖可知，相比3個區間的實際縱斷面方案，優化縱斷面方案的高程最小值更小，站外區域出站、進站坡度都更大。

當列車在兩種縱斷面上運行，研究年度產生的成本如表3所示，成本節約比率為本文模型優化方案相比列車控制優化模型求解方案的成本變化情況。在各區間，本文模型優化方案較列車控制優化模型求解方案都具有更好的優化效果，能耗成本和維修成本之和都更小，平均降低了21%。因此，相比只優化定時列車控制方案，同時對縱斷面和列車控制方案進行優化更有助于降低運營成本。

對于各區間的能耗成本，相比列車控制優化模型求解方案，本文模型優化方案都具有更好的優化效果，平均優化率為27%。為說明能耗成本節約的原因，以第一個區間的優化結果為例進行分析，如圖10所示。

結合圖中能耗變化和列車操縱方案，可知列車能耗增長僅發生在出站牽引階段，隨后列車采用不耗能的惰行工況運行，直至制動減速進站停車。在列車牽引階段，由式（4），所需能耗取決于牽引力和牽引距離大小。列車在實際線路上運行時，牽引距離和牽引力都不小于優化方案，所以耗能更多。對比縱斷面方案可知，優化方案站外區域的下坡坡度更大，當列車處于牽引工況時，利用重力勢能轉化為動能，可使用更小的牽引力獲得與在實際縱斷面上運行時相同的加速度。同時，當列車處于惰行工況時，在優化縱斷面上能充分利用重力勢能獲得更大運行速度以滿足運行時分要求，則牽引階段的運行距離可以更短。

對于維修費用，在后兩個區間上，優化方案的維修費用小于列車操縱優化模型求解方案的維修費用，但在第一個區間，優化方案的維修費用更高，主要由輪軌維修費用較大導致。由于輪軌磨損變化規律相似，結合輪軌磨損變化規律，對第一和第三個區間的車輪維修費用進行分析，如圖11、12所示。

圖11（a）為列車控制方案和縱斷面對比，圖11（b）為線路曲線和車輪維修成

本對比。由圖11（b）可知，第一個區間雙向共有4處曲線，從左至右依次記為

曲線1～4。在曲線1、4上，結合圖11（a）可知，相比實際縱斷面，優化縱斷面坡度絕對值更大，但列車速度更小，兩種縱斷面上車輪磨損量接近。在曲線2、3上，結合圖11（a）可

知，優化縱斷面坡度絕對值和列車速度都大于實際縱斷面，所以車輪磨損量更大。綜合4個曲線上的車輪磨損量，最終優化縱斷面上車輪磨損量大于實際縱斷面上車輪磨損量，相應維修成本也更大。

圖12（a）為列車控制方案和縱斷面對比，圖12（b）為線路曲線和車輪維修成本對

比。由圖12（b）可知，第3個區間雙向共有4處曲線，從左至右依次記為曲線

5～8。在曲線5、8上，結合圖12（a）可知，相比實際縱斷面，雖然優化縱斷面坡度更大，但列車速度更小，導致車輪磨損量稍小。在曲線6上，結合圖12（a）可知，雖然優化縱斷面上的列車速度更大，但所處位置為上坡，而實際縱斷面相應位置為下坡，由于下坡時車輪磨損量一般更大，此時列車在優化縱斷面上的車輪磨損量更小。在曲線7上，結合圖12（a）可知，相比實際縱斷面，優化縱斷面為下坡且列車速度更大，所以車輪磨損量更大。綜合4個曲線上的車輪磨損量，最終優化縱斷面上車輪磨損量小于實際縱斷面上車輪磨損量，相應維修成本也更小。結合第1和第3個區間的維修成本分析可知，在其他條件相同時，車輪維修成本受坡度、列車速度共同影響，車輪磨損量及相應維修成本需結合具體場景進行分析。

5" 結語

相比僅優化列車控制，在設計縱斷面時優化列車控制將有助于節約運營成本。本文以最小化能耗成本和維修成本之和為目標，提出了考慮定時列車控制對縱斷面進行優化的模型，并基于列車-軌道動力學仿真，設計了綜合偽譜法和蠻力搜索的算法求解。通過廣州地鐵三個區間的實例證明，對比僅優化定時列車控制方案，本文模型優化方案對降低能耗成本和維修成本具有更好的優化效果，各區間平均優化率為21%。本文所用偽譜法采用通用求解器實現，考慮協同優化問題求解時間較長，未來可結合問題特點開發專用求解器，提高求解效率。

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