箱型結構加強筋分布及支撐位置的協同優化設計

摘要：箱型結構內部加強筋布局及支撐位置對結構性能有重要影響。提出一種箱型結構加強筋分布及支撐位置協同優化設計方法，引入獨立的支撐單元和加強筋基結構，建立箱型結構加強筋和支撐位置協同優化數學模型。通過自適應成長法對箱型結構進行加強筋優化設計，基于雙向漸近結構優化方法對支撐位置進行優化，得到最優的加強筋分布和支撐位置。結果表明，相比于已知支撐位置的加強筋優化設計，協同優化得到的支撐位置和加強筋分布具有更優的力學性能。

關鍵詞：箱型結構；支撐位置；加強筋分布；協同優化

中圖分類號：TH11

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.01.007

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Hybrid Optimization for Housing Structure Stiffener and Support Location

LI Jian1"DING Xiaohong1*"ZHANG Yijie2"XIONG Min1"WANG Han1"ZHANG Heng1

1.School of Mechanical Engineering，University of Shanghai for Science and Technology，

Shanghai，200093

2.Shanghai Micro Electronics Equipment（Group） Company，Shanghai，200131

Abstract： The internal stiffener layout and support location of housing structure played an important role in improving of structural performance and lightweight. A design method for hybrid distribution optimization of stiffener and support locations of housing structures was proposed. Independent support elements and stiffener base structures were introduced to establish a mathematical model for the hybrid optimization of stiffener distribution and support location of the housing structure. The optimal design for stiffener distribution of the housing structure was performed by an adaptive growth method. The support location was optimized based on the bi-directional evolutionary structural optimization method. The results show that the support locations and distribution of stiffeners obtained from the hybrid optimization have better mechanics properties than the optimized results of the housing structure with known support locations.

Key words： housing structure； support location； stiffener layout； hybrid optimization

0"引言

箱型結構廣泛用于機床、橋梁、船舶等工程領域，并在其中作為基礎結構起承載作用，決定整體結構的強度和剛度。對箱型結構進行加強筋優化是裝備結構重要且常見的性能提升方法之一，加強筋能將作用于結構局部區域的載荷傳遞到結構的支撐位置，增大結構整體的強度和剛度，但在以往的加強筋優化研究中，支撐條件一般是根據設計經驗預先給定的，忽略了支撐位置對結構性能的影響，不利于結構性能的進一步提升。結構承受的載荷需要通過筋板傳遞到支撐，因此筋板分布和支撐位置相互依賴，只有對箱型結構進行加強筋和支撐位置的協同優化設計，同時得到結構筋板與支撐位置的最優布局，才能進一步提高結構的動靜態性能。

結構加強筋優化是指在一定的設計域內，根據結構受到的載荷及其邊界條件，尋找在一定約束條件下滿足設計目標的最優筋板分布形式。ZHANG等［1］基于自然界分支系統的生長機理，提出一種箱型結構內部加強筋分布的優化方法即自適應成長法SIMP（adaptive growth method，AGM），并通過某精密磨床床身內部加強筋分布的優化驗證了該方法的有效性。HU等［2］基于變密度法（solid isotropic material with penalization）優化模型和從植物根尖形態中獲得的啟發，在自適應成長法中引入一種材料插值機制，實現了考慮自振頻率的三維箱型結構加強筋分布優化。LI等［3］以葉脈為參考對機床立柱進行了加強筋優化設計，最終得到了清晰且滿足設計條件的加強筋布局。

結構的支撐方式及支撐位置對結構的動靜態性能與穩定性有重要影響。在標準的結構拓撲優化問題中，支撐條件一般是根據設計經驗預先給定的，但基于經驗的設計方法會限制結構性能的提升，還會影響支撐的穩定性和使用壽命。丁曉紅等［4］以機床質心落在三角形區域內為原則，建立了三點支撐位置多目標優化設計的數學模型，并根據遺傳算法得到了機床三點支撐的布置規律。

載荷在箱型結構內部的傳遞路徑主要由結構的加強筋分布形態及支撐條件決定，為得到滿足力流最短路徑準則的最優結構，需要考慮加強筋和支撐位置在優化過程中的協同關系。文獻［5-6］通過彈簧單元模擬支撐件，以剛度最大為目標對結構進行優化設計，在得到結構拓撲構型的同時，獲得了最優的支撐位置。文獻［7-8］基于SIMP方法的優化思想，以連續變量的形式描述支撐位置，通過增大懲罰系數的方式來減小中間密度單元對設計結果的影響，但增大懲罰系數會產生中間密度單元，無法清晰呈現支撐點。ZHU等［9］用可移動支撐組件表征支撐，用組件的移動表征支撐位置的移動，并嵌入到結構設計域邊界進行結構與支撐的優化設計。支撐件沿設計域邊界移動時，為保證網格不產生畸變，需在優化過程中重新劃分網格，優化效率較低。

針對現有方法的局限性，本文提出基于雙向漸近結構優化（bi-directional evolutionary structural optimization，BESO） 方法［10］的支撐位置優化方法，并結合自適應成長法［1-2，11］對箱型結構進行加強筋與支撐位置的協同優化設計。本文方法與已知支撐位置方法的加強筋優化結果對比驗證了本文方法的有效性。

1"設計方法

1.1"加強筋分布與支撐位置的協同優化數學模型

箱型結構加強筋分布及支撐位置協同優化問題可描述為：以加強筋厚度和支撐單元的偽密度為設計變量，在加強筋體積和支撐數量等約束條件下，以箱型結構剛度最大為優化目標，尋找力學性能最優的加強筋分布和支撐位置。箱型結構加強筋分布及支撐位置的協同優化數學模型為

find X=［x1x2…xn］

T=［T1T2…Tk］

min C（X，T）=UTKU

s.t. F=KU

N－N*=0

V－ηV0≤0

xmin≤xj≤1""j=1，2，…，n

0lt;Tmin≤Ti≤Tmax""i=1，2，…，k（1）

式中：xj為支撐設計域單元密度；Ti為加強筋厚度；下標i表示第i個設計變量；C為全局應變能；U為位移向量；K為剛度矩陣；F為載荷向量；N為優化后保留的支撐數量；N*為需保留的支撐數量；V為優化后的加強筋體積；V0為加強筋初始體積；η為加強筋體積分數；xmin為支撐單元偽密度的最小值；Tmin、Tmax分別為加強筋的最小和最大厚度。

1.2"加強筋分布與支撐位置的協同優化有限元模型

在箱型結構設計域的外圍引入支撐設計域來進行支撐位置的優化設計。支撐單元選用兩節點三自由度的彈簧單元，其中的一個節點與箱型結構的單元節點相連，保證單元的連續性，另一個節點用于定義邊界約束條件，如圖1所示。

由圖1可知，整個結構由殼單元和彈簧單元組成，結構的平衡方程為

F=（Kst+Ksu）U（2）

Kst=∑nsti=1Kst，i

Ksu=∑nsuj=1Ksu，j（3）

式中：Kst為由殼單元組成的結構剛度矩陣；Ksu為由彈簧單元組成的支撐剛度矩陣；Kst，i為結構設計域中的殼單元i的剛度矩陣；Ksu，j為支撐設計域中的彈簧單元j的剛度矩陣；nst、nsu分別為殼單元和彈簧單元的個數。

1.3"基于自適應成長法的加強筋分布優化模型

自適應成長法基于自然界中分支結構的生長機理，即植物為適應不同的生長環境而演化出各種形態和功能各異的根系與莖稈。為類比自然界分支結構的生長規律，構建了箱型結構加強筋分布設計有限元模型，即先采用六面體單元對箱型結構進行離散，再根據六面體單元的節點信息構建具有一定厚度的殼單元來表征箱型結構的外壁和內部加強筋，如圖2所示。

殼單元i的剛度矩陣

Kst，i=Ks，i+Kb，i

Ks，i=EiTi1－μ2K*s

Kb，i=EiT3i1－μ2K*b（4）

Ei=15TiE*16Tm［（TiTm）4+115］""Tinit≤Ti＜TmE*Tm≤Ti≤Tmax（5）

式中：Ks，i、Kb，i分別為殼單元i的平面應力項和彎曲項；K*s、K*b分別為平面應力項和彎曲項中與設計變量無關的矩陣，主要由殼單元的單元尺寸和泊松比確定；μ為加強筋的泊松比；Ei、Ti分別為第i個加強筋的彈性模量和厚度；E*為材料原有的彈性模量；Tinit、Tm分別為加強筋的初始厚度和成熟厚度。

為減小基結構對加強筋優化設計結果的影響，根據加強筋厚度對加強筋材料屬性進行相應的懲罰［12］ 。

自適應成長法中，目標函數對加強筋厚度的靈敏度決定了加強筋的生長方向。考慮靜剛度的優化數學模型中，目標函數關于加強筋厚度的靈敏度為

CTi=－UT（Kst+Ksu）TiU=－uTiKst，iTiui（6）

式中：ui為殼單元i的位移向量。

支撐剛度矩陣Ksu與厚度變量Ti無關。根據式（4）、式（5）可得殼單元i的剛度矩陣關于加強筋厚度的靈敏度：

Ks，iTi=Ks，mTi16T2m（90T4iT4m+2）""Tmin≤Ti＜Tm

Ks，mTmTm≤Ti≤Tmax（7）

Kb，iTi=T3iKb，m4T4m（30T4iT4m+1）""Tmin≤Ti＜Tm

3T2iT3mKb，mTm≤Ti≤Tmax（8）

式中：Ks，m、Kb，m分別為加強筋厚度Tm對應的真實剛度矩陣的平面應力項和彎曲項。

圖3所示為加強筋的生長過程。初始階段，加強筋從種子點位置開始生長。生長到一定階段后，加強筋具有分歧的能力，相鄰加強筋參與到下一次的優化迭代過程，進行進一步的生長、分歧和退化。通過不斷重復上述生長模式直至目標函數收斂，最終得到符合性能要求的最優加強筋布局。

1.4"基于BESO法的支撐位置優化模型

基于BESO法的支撐位置優化設計中，支撐位置是通過雙向賦值的離散設計變量x={xmin， 1}進行優化的。優化過程中僅存在偽密度為xmin的低效支撐和偽密度為1的高效支撐，為刪除低效支撐單元、增加高效支撐單元，將靈敏度閾值τ作為支撐單元增減的判斷依據，即將支撐單元靈敏度大于閾值的單元增加為實體，將小于該閾值的支撐單元刪除，對應公式為

xj=1"""αe，jgt;τ

xminαe，j≤τ（9）

式中：xj為支撐單元j的偽密度，xj={xmin， 1}；αe，j為支撐單元j的靈敏度，αe，j=dC/dxj；max（αe，1∶αe，n）、min（αe，1∶αe，n）分別為支撐單元靈敏度的最大和最小值。

文中xmin取0.0001是為了避免彈簧單元剛度矩陣奇異并保證刪除的支撐單元具有一定的可恢復性。

優化過程中，刪除的支撐單元會產生并聯剛度，對支撐位置和結構的優化仍具有影響，故將SIMP插值模型用于支撐設計，以進一步減小已刪除支撐單元的影響，相應的單元剛度矩陣可通過下式求得：

Ksu，j=xpjKinisu，j（10）

式中：Kinisu，j為原始支撐單元的剛度矩陣；p為懲罰因子，p=3。

基于BESO法的支撐位置優化過程中，目標函數對支撐單元偽密度的靈敏度決定了支撐的位置。靈敏度的計算公式為

αe，j=－Cxj=UT（Kst+Ksu）xjU=pxp－1uTjKinisu，juj（11）

式中：uj為支撐單元j的位移向量。

結構剛度矩陣Kst與偽密度xj無關。

為保證優化過程中結構整體的連續性，通過退化速度vd來控制每次迭代中要去除的支撐數量，通過逐漸去除支撐直到達到需要保留支撐的數量N*。第i迭代步中需要保留的支撐數量為

N*i=N*i－1－vd""N*i－1≠N*

N*N*i－1=N*（12）

通過更新靈敏度閾值來保證每次迭代保留的支撐數量為N*i且這些支撐都是對當前結構最有效的支撐，即支撐數量大于第i迭代步中需要保留的支撐數量N*i時，增大靈敏度閾值，反之則減小靈敏度閾值：

τi=τi－1+max（αe，1∶αe，n）2""Nigt;N*i

τi－1+min（αe，1∶αe，n）2Ni≤N*i（13）

τ1=max（αe，1∶αe，n）+min（αe，1∶αe，n）2（14）

式中：τi、τi-1分別為第i和第i-1迭代步的靈敏度閾值，此處，i=2，3，…，k；τ1為靈敏度閾值的初始值。

如滿足

e1=max（αe，1∶αe，n）－τimax（αe，1∶αe，n）+τi≤ε""Nigt;N*iτi－min（αe，1∶αe，n）τi+min（αe，1∶αe，n）≤εNi≤N*i（15）

式中：ε為子循環容差。

則停止子循環迭代。

1.5"加強筋分布與支撐位置的協同優化流程

箱型結構及支撐位置的協同優化設計方法的主要步驟如圖4所示，具體步驟如下：

1）建立箱型結構的初始基結構模型。將箱體外壁作為非設計域，將內部基結構的殼單元作為加強筋優化的設計域，初始化優化參數。

2）對箱型結構進行靜力學分析，計算支撐單元的靈敏度。

3）計算支撐單元在當前迭代步下的靈敏度閾值，根據閾值對支撐單元進行增加或刪除。滿足當前子循環容差時退出子迭代循環。

4）重新對箱型結構進行靜力學分析并計算加強筋單元的靈敏度。根據靈敏度計算結果，利用MMA（method of moving asymptotes）算法更新筋板厚度、新箱型結構模型，完成當前優化迭代后，返回步驟2）進入下一步的優化迭代流程。

重復步驟2）～4）的循環過程，當目標函數變化小于收斂容差即

e2=∑Mi=1（Fk－i+1－Fk－M+i－1）/∑Mi=1Fk－i+1≤δ（16）

式中：F為目標函數；k為當前迭代步數；δ為收斂容差；M為常數，通常取3、4、5。時，停止迭代。

2"數值算例

以受典型載荷作用的箱型結構為例，進行結構與支撐的協同優化設計，并將優化結果與具有確定支撐位置的箱型結構的優化結果進行對比，檢驗和說明所提協同優化設計方法的有效性。

2.1"中心受集中載荷

圖5所示為箱型結構中心受集中載荷的優化設計模型，其中，箱體長寬高的具體尺寸為1500 mm、1500 mm、450 mm。材料的彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3，密度為7800 kg/m3。箱型結構上表面受到垂直于表面向內的1000 N集中載荷，在箱型結構四周建立40個支撐單元作為支撐設計域。分歧厚度、成熟厚度、最大厚度、最小厚度的取值分別為5 mm、10 mm、15 mm、0.1 mm，支撐退化速度設為4，并假定保留的支撐件個數為4，支撐的法向剛度和軸向剛度均為1012 N/m。

箱型結構加強筋分布和支撐位置協同優化過程如圖6所示，優化初期，加強筋從種子點位置開始生長，隨著迭代的進行，支撐位置和加強筋分布同時趨于最優，最終得到的最優支撐位置是箱體的四邊中點，結構應變能C=1.152×10-3 J，對應的加強筋分布形式為十字構型。

根據力流最短路徑準則，當箱型結構中心受集中載荷作用時，載荷最短傳遞路徑為加載點到結構四邊中點的連線，形成十字形的加強筋布局。為驗證協同優化算法的有效性，分別將支撐置于箱型結構的四邊中點和4個角點，用自適應成長法進行加強筋優化設計，其優化模型如圖7所示。

如圖8所示，2種支撐位置的優化結果均為十字形筋板布局。四邊中點支撐箱型結構的應變能為1.259×10-3 J，四角點支撐箱型結構應變能為3.170×10-3 J。四邊中點支撐設計結果與圖6所示的協同優化結果一致，驗證了所提協同優化算法的有效性。表1所示為集中載荷作用下不同設計結果的性能，相比于四角點支撐的加強筋優化，協同優化算法優化結果的性能提高63.7%。與四邊中點支撐的加強筋優化相比，協同優化設計的中心分布了更厚的筋板，并且性能提高8.5%。

圖9所示為中心受集中載荷作用的箱型結構協同優化的目標函數、筋板體積和支撐數量的迭代曲線。由圖9a可知，箱型結構的應變能隨迭代次數的增加而整體呈下降趨勢，并在第70步時收斂。某些迭代步中的結構應變能出現小幅振蕩和陡增，這是由于在優化過程中，加強筋結構尚未完全成形，支撐單元的增加和刪除會導致結構應變能出現波動和陡增。30步以后，支撐位置已基本趨于穩定，應變能曲線逐漸趨于平穩。圖9b中的加強筋體積出現突變，是由于加強筋生長速度與支撐優化速度不匹配會導致加強筋或支撐位置過早收斂，使優化陷入局部最優解。因此為保證支撐與筋板協同的可靠性，要設置合理的加強筋成長參數。

2.2"承受三點集中載荷

為驗證箱型結構、支撐位置協同優化設計方法的有效性，以及協同優化的設計效果，本節以承受三點集中載荷的矩形箱型結構為設計對象，對其進行優化設計。如圖10所示，箱型結構的上表面受到垂直于表面向內的3個集中載荷F1、F2和F3（F1∶ F2∶ F3=5∶5∶1），保留的支撐件個數設置為6，其余優化邊界條件與2.1節算例一致。

載荷F3相對較小、支撐個數為6時，為有效支撐結構所受到的三點集中載荷，并保證支撐與加載位置距離最小，優化后的支撐分布在離載荷F1、F2最近的一側，筋板沿載荷傳遞路徑分布。加強筋和支撐位置的生長過程如圖11所示，所得結構的應變能為7.51×10-4 J。

同理，為檢驗協同優化的設計效果，構建圖12所示的經驗設計的六點支撐箱型結構的優化設計模型，其支撐分別位于箱型結構的4個角點和2個長邊的中點，其余優化參數與上述相同。

圖12所示的經驗設計支撐位置的箱型結構的加強筋分布設計結果如圖13所示，所得結構的應變能為2.78×10-3 J，相較于已知支撐位置的加強筋優化結果，協同優化的應變能減小72.9%，如表2所示。由圖11、圖13可知，支撐位置不同時，筋板分布存在較大差異，即支撐位置對結構性能的提升及結構拓撲的形態具有重要影響。

圖14所示為結構應變能、加強筋體積和支撐數量的迭代曲線。箱型結構的應變能因筋板和支撐的交替更新而出現波動。優化過程中，箱型結構的應變能整體上逐漸減小，直至滿足收斂條件。大約30步后，支撐位置基本趨于穩定。

2.3"承受扭轉載荷

圖15所示為箱型結構承受扭轉載荷作用的優化設計模型，載荷為4000 N，加載位置在虛線框內。定義支撐退化速度為4，并假定保留的支撐件個數為6，其余優化條件與2.1節算例一致。

受如圖15所示的扭轉載荷時，箱型結構在扭轉方向上產生較大的變形，此時將支撐分布在結構靠近左右兩側的位置，增加左右貫穿的橫筋可有效提高箱體抵抗扭轉變形的能力，如圖16所示，結構的應變能為2.59×10-2 J。

上述算例考慮的是典型工況下箱型結構與支撐位置的協同優化設計，與已知支撐位置的加強筋優化相比，協同優化設計方法能在滿足支撐件個數限制的前提下，同時對結構加強筋分布形式和支撐位置進行優化，得到最優的支撐位置和加強筋分布。仿真結果表明協同優化結果的力學性能優于經驗設計支撐的結果，驗證了協同優化算法的有效性和可靠性。

3"實驗和仿真驗證

為驗證本文所提方法的有效性，對箱型結構中心受集中載荷的優化設計結果進行實驗測試。采用聚乳酸（polylatic acid，PLA）打印與優化結果有相同長寬高比的模型進行實驗，如圖17所示。模型結構尺寸為180 mm（長）×180 mm（寬）×54 mm（高）。采用砝碼在結構中心位置加載，在結構表面取8個點進行測量，如圖17c所示。

用螺栓將模型固定在基座上，在結構上表面的中心放置2 kg的砝碼，通過激光位移傳感器測量位移，如圖18所示。將同一測量點位移的3次有效測量值均值作為該點的位移，如表3所示，圖17a所示結構的位移比圖17b結構平均減小59%。

根據實驗條件對應的邊界條件對兩種結構進行靜力學有限元分析，圖19為3D打印模型對應的仿真位移云圖，位移如表4所示。仿真結果和實驗結果有一定差異的原因是激光位移傳感器易受環境干擾，且仿真結構的材料屬性及邊界條件等與實際存在一定差別。相同測量點位移的實驗值和仿真值的變化趨勢基本相同，平均誤差在5 μm以內。

根據實驗和仿真數據可得，結構加強筋與支撐協同優化方法設計結果的剛度比已知支撐點優化結構加強筋的設計結果增大了50%～60%，驗證了本文方法的有效性。

4"結論

本文提出一種箱型結構及支撐位置協同優化的設計方法。基于自適應成長法，以箱型結構加強筋厚度為設計變量對箱型結構進行加強筋優化設計，同時基于雙向漸進結構優化方法，以支撐單元偽密度為設計變量對支撐位置進行優化設計，實現了箱型結構加強筋分布及支撐位置的協同優化。該方法能在規定的載荷條件下尋找箱型結構的加強筋最優分布形式及最優支撐位置。

相關數值算例表明，箱型結構協同優化得到的加強筋分布形式及支撐位置均清晰明確。實驗和仿真結果表明，相比于給定支撐條件下的加強筋優化結果，協同優化設計方法的結果能得到更合理的支撐位置、更優的加強筋分布形式與結構性能。

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（編輯"張"洋）

作者簡介：

李"簡，男，1998年生，碩士研究生。研究方向為結構優化與分析。E-mail：942748064@qq.com。

丁曉紅*（通信作者），女，1965年生，教授、博士研究生導師。研究方向為機械系統和結構的優化設計理論與方法。發表論文150余篇。E-mail：dingxhsh021@126.com。

本文引用格式：

李簡，丁曉紅，張軼杰，等.箱型結構加強筋分布及支撐位置的協同優化設計［J］. 中國機械工程，2025，36（1）：69-77.

LI Jian， DING Xiaohong， ZHANG Yijie， et al. Hybrid Optimization for Box Structure Stiffener and Support Location［J］. China Mechanical Engineering， 2025， 36（1）：69-77.

收稿日期：2023-09-26""修回日期：2024-10-16

基金項目：國家自然科學基金（52375257）