斜齒輪表面形貌分形特征對時變接觸剛度的影響

摘要：基于改進的W-M分形函數，利用齒高和齒寬表征斜齒輪齒面的表面形貌。采用圓錐微凸體并考慮嚙合過程中斜齒輪接觸曲率半徑的時變性建立了斜齒輪時變接觸剛度模型，計算發現基于圓錐微凸體模型計算的時變嚙合剛度與ISO6336-1—2006標準計算所得結果接近。研究結果表明，斜齒輪的時變接觸載荷和時變接觸剛度隨著分形維數、特征尺度系數、量綱一接觸面積、材料塑性指數的變化而表現出不同的變化趨勢。

關鍵詞：斜齒輪嚙合；表面形貌；分形特征；圓錐微凸體；時變接觸剛度

中圖分類號：TH132.41

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.01.006

開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Influences of Fractal Features of Helical Gear Surface Topography on

Time-varying Contact Stiffness

WU Shi*"GAO Zengkuo"WANG Mingzhu"ZHAO Chengrui

School of Mechanical Engineering，Harbin University of Science and Technology，Harbin，150080

Abstract： Based on the improved W-M fractal function， the surface morphology of helical gear teeth was characterized from tooth height and tooth width. A time-varying contact stiffness model for helical gears was established by adopting a conical asperity and considering the time-varying contact radius of curvature of helical gears during the meshing processes. The time-varying mesh stiffness calculated based on the conical asperity model was found to be close to that obtained from the calculation of the ISO6336-1—2006 standard. The results show that the time-varying contact load and time-varying contact stiffness of helical gears exhibit different trends with changes in fractal dimension， characteristic scale coefficient， dimensional contact area， and material plasticity index.

Key words： helical gear mesh； surface topography； fractal feature； conical asperity； time-varying contact stiffness

0"引言

斜齒輪的接觸性能對自動變速器的承載能力和振動噪聲有重大影響，而接觸性能主要體現在斜齒輪表面的微觀形貌，故通過研究表面形貌對接觸剛度的影響來提高斜齒輪的接觸性能具有重要意義。基于分形理論的W-M（Weierstrass-Mandelbrot）分形函數可表征具有分形特征的工程粗糙表面。W-M函數滿足表面處處連續卻不可微且具有自相似和尺寸獨立性，故選擇W-M函數表征斜齒輪齒面表面形貌。M-B（Majumdar-Bhushan）分形接觸模型是分形理論用于表面接觸分析的主要方法，它將分形理論與Hertz理論相結合，通過對齒輪進行合理和準確的接觸性能分析為齒輪的優化設計提供理論基礎。

對粗糙表面的分形模擬［1］主要有分形布朗函數模擬、時間序列模擬、分形差值模擬、W-M函數模擬、傅里葉變換模擬、復合分形模擬，以上大多數模擬都是對二維輪廓的模擬。改進W-M函數［2］因可模擬三維表面而成為表征齒輪表面形貌的主要方法。

對于粗糙表面接觸，國外學者提出了許多模型。GREENWOOD等［3］基于嚴格的假設條件建立了經典統計學模型（GW模型），提出的粗糙表面建模與簡化方法被眾多學者采用。在此基礎上，研究人員將GW模型擴展到彈塑性接觸，相繼提出了W-A模型、CEB模型、MB模型、KE模型等。近年來，國內學者提出許多改進的分形接觸模型，而修正接觸微凸體成為主要研究方向。蘭國生等［4］建立了基于圓錐微凸體的結合面法向接觸剛度分形模型。譚文兵等［5］建立了依據各向異性分形理論的橢圓形微凸體法向接觸剛度分形模型。陳永會等［6］提出的指數函數形式的微凸體彈塑性模型在接觸特性上有單調、光滑、連續的優點。孫獻光等［7］提出一種考慮摩擦因數和微凸體相互作用的粗糙表面接觸熱導分形模型。田紅亮等［8］構建了一種具有圓錐微凸體的有限元分析模型。

M-B分形接觸模型不能用于曲面接觸分析，故研究者們提出了考慮摩擦因素的兩圓柱體表面接觸分形模型［9］、帶有摩擦的兩圓柱體粗糙表面的加載-卸載接觸模型［10］、修正M-B模型［11］、考慮摩擦因素的兩球結合面法向接觸剛度分形模型［12］。趙韓等［13］構建兩圓柱體結合面的法向接觸剛度分形模型來研究齒輪的曲面接觸。王曉鵬等［14］建立具有微點蝕特征的分形預估模型來研究不同加工工藝齒面和不同程度微點蝕的漸開線齒輪的法向接觸剛度特性。莫海軍等［15］結合分形理論對微粒子噴丸齒輪表面微觀形貌進行表征，考慮單個微凸體彈性-彈塑性-塑性變形及微凸體間相互作用關系，建立了微粒子噴丸齒輪法向接觸剛度的分析模型。

目前，對齒輪接觸面的研究大多將表面微凸體等效為球形，但表面微凸體的形狀還包括橢球形、圓柱形、圓錐形等。因此本文首先利用改進W-M分形函數表征斜齒輪齒面的表面形貌，并對比實際形貌與表征形貌的差異。然后，在M-B分形接觸模型中采用圓錐微凸體建立基于圓錐微凸體的接觸力學模型。其后，在基于圓錐微凸體的接觸力學模型中引入表面接觸系數，修正微凸體接觸面積分布規律以用于斜齒輪曲面接觸，考慮嚙合過程中齒輪接觸曲率半徑的時變性，建立時變接觸剛度模型，研究分形維數、特征尺度系數、接觸面積和材料塑性指數對時變接觸剛度的影響。最終，比較圓錐微凸體模型和M-B分形接觸模型的差異，將時變接觸剛度代入基于勢能法的時變嚙合剛度模型與ISO6336-1—2006標準，通過對比計算的嚙合剛度來驗證基于圓錐微凸體的時變接觸剛度模型的合理性。

1"基于改進W-M分形函數的斜齒輪表面形貌表征方法

1.1"斜齒輪表面形貌的測量

自動變速器行星輪系的基本結構如圖1a所示，斜齒輪實物如圖1b所示，齒輪參數如表1所示。

由文獻［16］可知，斜齒輪齒面磨損主要發生在齒面的齒根和齒頂部分，因此選擇圖1b中單個齒面的齒根和齒頂位置獲取齒面的表面形貌，紅色方框為樣本區域位置。白光干涉儀測得的樣本區域三維表面形貌如圖2所示，齒寬、齒高方向的斜齒輪表面形貌二維輪廓如圖3所示。

根據不同尺度下的輪廓離散數據計算結構函數值。定義結構函數為粗糙表面輪廓函數的增量方差，其表達式［17］為

S（τ）=〈［z（x+τ）－z（x）］2〉=CG2（D－1）τ4－2D（1）

C=Γ（2－3D）sinπ（2D－3）2（4－2D）ln γ（2）

式中：x代表輪廓水平方向上任意一點坐標；τ為輪廓水平方向上的步長；z（*）為齒輪表面輪廓的高度；〈*〉表示空間平均值；D為分形維數；G為特征尺度系數；Γ（*）代表第二類歐拉積分；γ為尺度因子，對于正態分布的隨機曲面，通常取常數1.5。

對式（1）兩邊同時取對數，可得

lg S（τ）=（4－2D）lg τ+lg CG2（D－1）（3）

lg S（τ）與lg τ成線性關系，根據回歸分析擬合式（3）的曲線，如圖4所示，其中，分形維數D通過直線的斜率Ks=4-2D得到，特征尺度系數G通過直線的截距B=lg CG2（D－1）得到。

通過上述斜率和截距公式得到的2個樣本區域的齒高、齒寬方向的分形參數，如表2所示。

1.2"斜齒輪齒面表面形貌的分形表征

為表征圖2所示的實際形貌，采用基于W-M函數［2］的斜齒輪表面形貌三維分形函數，其表達式為

z（x，y）=L（GL）D－2（ln γM）1/2∑Mm=1∑nmaxn=0γn（D－3）{cos φm，n－

cos［2πγnx2+y2Lcos（arctanyx－πmM）］+φm，n}（4）

式中：z（x， y）為輪廓高度；L為取樣長度；M為重建一個表面時疊加的峰數；m、n為頻率指數；φm，n為在［0，2π］均勻分布的隨機相位。

根據文獻［18］，令M=1，m=1，則有

z（x）=L（GL）D－2ln γ∑nmaxn=01γn（3－D）［cos φ1，n－

cos（2π γnxL－φ1，n）］（5）

由齒輪加工成形方法可知，斜齒輪齒面由形狀一致的齒輪加工刀具反復加工而成，齒輪加工表面的加工紋理存在一定的方向性，局部具有一定的相似性。齒輪加工過程中存在重復裝夾定位、刀具刃角磨損等加工誤差，齒輪的實際加工表面一般具有雙分形或多分形特征，通過一組分形參數很難模擬出實際加工表面多個方向的紋理特征，因此，本文采用雙方向W-M分形函數表征斜齒輪表面形貌。根據式（5）通過疊加齒高和齒寬兩個方向（對應下標y、x）的分形參數來表征斜齒輪齒面表面形貌，對應公式為

z（x，y）=Ly（GyLy）Dy－2ln γ∑nymaxny=01γny（3－Dy）·［cos φ1，ny－cos（2πγnyLy－φ1，ny）］+Lx（GxLx）Dx－2ln γ∑nxmaxnx=01γnx（3－Dx）·［cos φ1，nx－cos（2πγnxLx－φ1，nx）］（6）

為分析分形維數和特征尺度系數對斜齒輪表征形貌的影響，保持特征尺度系數不變，觀察不同分形維數對應的表面形貌。由圖5可以看出，隨著分形維數的增大，表面形貌的特征更加精細，即分形維數主要影響表面形貌復雜程度，且隨著表面精細程度的上升，表面形貌峰谷差值有所減小。

保持分形維數不變，觀察不同特征尺度系數對應的表面形貌。由圖6可以看出，隨著特征尺度系數的增大，形貌峰谷差值逐漸增大，即特征尺度系數與表面形貌平整性正相關；隨著特征尺度系數的增大，表面形貌平整性變差，表面峰谷差值增大，表面形貌粗糙度增大。

綜上所述，分形維數增大時，表面形貌變得更精細；特征尺度系數增大時，表面形貌峰谷差值增大，表面變得更粗糙；分形維數和特征尺度系數一起使用才能完整表征形貌。

將表2中的分形參數代入式（6），可得斜齒輪齒面表征形貌。實際形貌和表征形貌的形貌參數如表3所示。由圖7a、圖7b可看到形貌中大量微凸體堆疊形成的溝壑和凸起基本一致。由表3可知，表面形貌參數誤差為4.7%～9.7%，表明改進W-M分形函數采用齒高和齒寬綜合表征斜齒輪齒面的表面形貌誤差較小。由圖7c可以看到表征形貌未表現真實形貌中的X方向溝壑狀形貌。

[HS（3][HT4\"F]2"考慮圓錐微凸體的斜齒輪時變接觸剛度研究

2.1"斜齒輪圓錐微凸體接觸力學模型

如圖8所示，斜齒輪M-B分形接觸模型將余弦波的曲率半徑變化作為微凸體接觸面積的變化，而實際的表面微凸體接觸面積變化小于余弦波變化，這導致單個等效微凸體的體積和接觸面積偏離真實情況。齒輪粗糙齒面微凸體形狀更接近圓錐微凸體［19］，因此以圓錐微凸體接觸模型計算斜齒輪接觸剛度。

微凸體的變形量可等效為W-M函數的峰谷高度差，即圓錐微凸體的變形量：

δ=2ln γGD－2（2r）3－D=g1（D）a（3－D）/2（7）

g1（D）=24－Dπ（D－3）/2ln γGD－2

式中：a為微凸體接觸面積，a=πr2；r為微凸體接觸半徑。

圓錐微凸體在彈性階段所受接觸載荷和接觸面積的關系［20］為

Fe（a）=0.2Eπg1（D）a（4－D）/2（8）

E=11－ν21E1+1－ν22E2

式中：E為復合彈性模量；E1、E2為2種接觸材料相的彈性模量；ν1、ν2為2種接觸材料相的泊松比。

圓錐微凸體發生塑性變形時，所受接觸載荷Fp（a）和接觸面積a的關系為

Fp（a）=Ha（9）

式中：H為齒輪材料中較軟材料的硬度，H=2.8σy；σy為齒輪接觸中較軟材料的屈服強度，σy =E；為塑性指數。

海洋島嶼分布規律［21］為

N（Agt;ar）=（ad/ar）D/2（10）

式中：A為截面積；ad為最大島嶼面積；ar為任意島嶼的面積。

MAJUMDAR等［1］基于海洋島嶼分布規律建立了粗糙表面接觸時微凸體的面積分布公式：

n（a）=D－12a（D－1）/2maxa（D+1）/2（11）

式中：amax為最大接觸微凸體面積。

對式（11）所示的接觸面積分布函數求期望可得粗糙表面接觸時的總接觸面積：

Ar=∫amax0n（a）ada=D－13－Damax（12）

齒面接觸為曲面接觸，接觸時需要考慮表面曲率，通過構造的表面接觸系數λ來修正接觸面積分布函數：

n′（a）=λn（a）（13）

λ=λ0FC2xh（14）

λ0=［C1π（R1+R2）（4BπER1R2（R1+R2））C2］xh

式中：λ0為初始表面接觸系數；F為齒輪結合面法向力；C1、C2為與曲面幾何形狀有關的系數，齒輪接觸時取C1=1，C2=0.5；xh為綜合曲率系數，xh=1/R1±1/R2；B為有效接觸長度；R1、R2分別為圓柱1和2的曲率半徑。

齒輪嚙合過程中，齒輪接觸點的曲率半徑是時變的，每一時刻的表面接觸系數不同，因此單輪齒一個嚙合周期的接觸剛度會變化。斜齒輪螺旋角使得接觸線與齒輪端面方向存在夾角，嚙合接觸線的端面投影為一條線段，而非直齒輪的端面投影為一個點，故以接觸線中點在齒輪端面投影點為曲率半徑的求解點。

由圖9推導曲率半徑變化規律，假設嚙合線上任意一點為K，則K點對應的主動輪、從動輪的曲率半徑可表示為KN1和KN2，AB為實際的嚙合線長度。首先計算出在節點P處的主從動輪的曲率半徑PN1和PN2：

PN1=mpz1cos αt1tan α′t1/2

PN2=mpz2cos αt2tan α′t2/2（15）

N1N2=PN1+PN2

R1=KN2=rb2tan（α′t2+θ）

R2=KN1=N1N2－R1

式中：mp為端面模數；z1、z2分別為主從動輪齒數；αt1、αt2分別為主從動輪的端面壓力角；α′t1、α′t2分別為主從動輪的端面嚙合角；θ為嚙合旋轉角度，rb2為從動輪基圓半徑。

由式（15）可得斜齒輪嚙合過程曲率半徑的變化曲線。由圖10可知，在一個嚙合周期T內，齒輪綜合曲率半徑先增大后減小。

2.2"斜齒輪法向時變接觸剛度的建模

建立時變接觸剛度模型應考慮接觸載荷的分布，計算齒面載荷的方法通常有最小勢能法和接觸線百分比法。為簡化計算，本文采用接觸線百分比法。根據漸開線齒輪嚙合過程中的嚙合接觸點應分布于嚙合線上，為便于分析，構建嚙合平面示意圖（圖11）。圖11中，矩形平面B1B2B3B4為齒輪接觸線的接觸平面，B2為兩齒嚙入點，B3為兩齒嚙出點，b為齒寬，βb為基圓螺旋角，Pbt為基圓齒距，εαPbt為端面重合度對應的嚙合線長度，εβPbt為軸面重合度對應的嚙合線長度。

斜齒輪嚙合過程中，總重合度一般大于2，且部分時段的嚙合齒數會發生變化。圓柱斜齒輪的重合度一般為2～3。齒輪軸面重合度取決于齒寬，由于本文采用的齒輪為變速器用斜齒輪，所以只考慮端面重合度大于軸面重合度的情況。

設Lz為接觸線總長度，lmax=b/cos βb為單齒接觸線最大值，tz為單齒距嚙合周期，則某一時刻單齒接觸線長度

l=0"""""""""""t∈（－∞，0）∪t∈

（（εβ+εα）tz，∞）

lmax/［（εβtz）t］t∈［0，εβtz］

lmaxt∈［εβtz，εαtz］

lmax/［εβ（εβ+εα－t/tz）］

t∈［εαtz，（εβ+εα）tz］

某一時刻嚙合的總接觸線長度為

Lz（t）=l1（t－2tz）+l2（t－tz）+l3（t）+l4（t+tz）+l5（t+2tz）

式中：li為嚙合過程中進入嚙合的第i個輪齒的單齒接觸線長，i=1，2，…，5。

不同嚙合時刻的第i個輪齒上的齒面接觸載荷為

Fi=liFn/Lz（16）

式中：Fn為齒面法向總接觸載荷。

齒面法向總接觸載荷包括彈性接觸載荷和塑性接觸載荷兩部分，法向總接觸載荷為

Fn=∫acasFp（a）n·（a）da+∫amaxacFe（a）n·（a）da（17）

ac=（H0.2Eπg1（D））2/（2－D）=（14φπg1（D））2/（2－D）

式中：ac為臨界接觸面積；as為最小接觸面積，取0。

將式（8）、式（9）、式（13）代入式（17）可得

F′n=

πE（D－1）g1（D）5（5－2D）a（D－1）/2maxλ（a（5－2D）/2max－a（5－2D）/2c）+

λH（D－1）3－Da（D－1）/2maxa（3－D）/2c""""""D≠2.5

a3/4max（0.32Glnγπ1/4lnamaxac+3Hλa1/4c） D=2.5（18）

量綱一化F′n可得

（F′n）*=F*n1AaE（AaEλ0）11+C2xh""D≠2.5

F*n2AaE（AaEλ0）11+C2xhD=2.5（19）

式中：Aa為理論接觸面積；F*n1、F*n2為未帶入表面接觸系數時的接觸載荷；n1、n2分別代表D≠2.5和D=2.5兩種情況。

接觸剛度為接觸過程中載荷對形變量的導數，則單個圓錐微凸體的法向接觸剛度可表示為

kn=dFedadadδ=0.4πaE4－D3－D（20）

剛度表示材料抵抗彈性變形的能力，因此接觸面法向剛度適用于塑性變形階段的微凸體，故接觸面法向總剛度表達式為

Kn=∫amaxacknn′（a）da（21）

將式（13）、式（20）代入式（21）可得

Kn=0.4πλ（D－1）E2－Da（D－1）/2max（a（2－D）/2max－a（2－D）/2c）

（22）

量綱一化Kn可得K*n=KnEAa（23）

3"斜齒輪嚙合的法向時變接觸剛度仿真分析

3.1"分形參數、接觸面積、材料屬性對時變接觸載荷的影響

將齒輪齒數、壓力角、螺旋角、模數代入式（15），如圖9所示，AB為從動輪與主動輪前端面接觸時的接觸長度，對應的嚙合角度θ為-5.4°～5.2°；AC為從動輪與主動輪后端面接觸時的接觸長度，對應的嚙合角度θ為-18.6°～-5.4°。自動變速器齒輪材料為20CrMnTi，齒輪加工精度一般為6～8級，對應粗糙度Ra為0.8 μm、1.25 μm和2.0 μm（根據GB/Z 18620.4—2008給定的參考值）。以0.8～2.0 μm為粗糙度Ra的取值范圍，并代入文獻［19］的公式，得到的分形維數D為2.43～2.55，特征尺度系數G為6.0×10-9～5.2×10-8，表面的量綱一接觸面積A*r為0.1～0.25、接觸面塑性指數為0.7～2.5時，對量綱一時變接觸載荷進行仿真分析。

由圖12a可得，量綱一時變接觸載荷隨嚙合角度的增大先增大后減小；θ為-10°～-2°時，接觸載荷變化較慢；θ為-5.3°時，接觸載荷取得最大值。其他參數不變時，量綱一時變接觸載荷隨分形維數的增大先減小后增大，且變化速率逐漸減小。分形維數由2.43變為2.47后，臨界接觸面積增大，部分微凸體的彈性變形變為塑性變形，接觸表面相同接觸面積區域內產生接觸的微凸體增多（量綱一時變接觸剛度減小的主要因素）。分形維數由2.47變為2.55后，臨界接觸面積增大，部分微凸體的彈性變形變為塑性變形（時變接觸載荷增大的主要因素），接觸表面相同接觸面積區域內產生的接觸微凸體增多。

由圖12b可得，量綱一時變接觸載荷隨特征尺度系數的增大而增大，但變化速率緩慢減小。隨著特征尺度系數的增大，臨界接觸面積增大，部分微凸體的彈性變形變為塑性變形，但接觸表面相同接觸面積區域內接觸的微凸體數量不變，最終使時變接觸載荷增大。

由圖12c可得，量綱一時變接觸載荷隨量綱一接觸面積的增大而增大，但變化速率緩慢減小。

由圖12d可得，量綱一時變接觸載荷基本不隨材料塑性指數的增大而變化。

3.2"分形參數、接觸面積、材料屬性對時變接觸剛度的影響

為分析接觸面分形維數、特征尺度系數、量綱一接觸面積和材料塑性指數對量綱一時變接觸剛度的影響，選取與時變接觸載荷相同的參數范圍（分形維數D為2.43～2.55，特征尺度系數G為6.0×10-9～5.2×10-8，表面量綱一接觸面積A*r為0.1～0.25，接觸面塑性指數φ為0.7～2.5）對量綱一時變接觸剛度進行仿真分析，結果如圖13所示。

由圖13a可得，量綱一時變接觸剛度隨嚙合角度的增大先增大后減小，θ為-10°～-2°的時變接觸剛度變化緩慢，這與載荷的變化趨勢一致，說明載荷是影響接觸剛度的主要因素。θ為-6.7°～-6.1°時，量綱一時變接觸剛度取得最大值。其他參數不變時，隨著分形維數的增大，量綱一時變接觸剛度非線性增大，且變化較快。隨著分形維數的增大，臨界接觸面積增大，部分微凸體的彈性變形變為塑性變形；接觸表面相同接觸面積區域內接觸的微凸體增多（量綱一時變接觸剛度增大的主要因素）。

由圖13b可得，隨著特征尺度系數的增大，量綱一時變接觸剛度非線性減小；臨界接觸面積增大，部分微凸體由彈性變形變為塑性變形（量綱一時變接觸剛度減小的主要因素），接觸表面相同接觸面積區域內接觸的微凸體增多。

由圖13c可得，隨著量綱一接觸面積的增大，量綱一時變接觸剛度增大，但變化速率較小。

由圖13d可得，隨著塑性指數的增大，量綱一時變接觸剛度線性增大，臨界接觸面積減小，彈性狀態微凸體增多；接觸表面相同接觸面積區域內接觸的微凸體數量不變，使得量綱一時變接觸剛度增大。

3.3"時變接觸剛度模型的對比分析

為分析圓錐微凸體模型和M-B分形接觸模型［9］差異，將相同參數帶入圓錐微凸體模型和M-B分形接觸模型。由圖14可知圓錐形微凸體模型計算得到的剛度較小。這是因為圓錐微凸體模型的臨界面積公式變化導致圓錐微凸體模型臨界面積變化快，致使計算得到的接觸剛度較小。

將考慮赫茲接觸剛度與分形接觸剛度的時變嚙合剛度模型［22］進行對比分析，表1所示斜齒輪參數的變嚙合剛度如圖15所示。

分形接觸剛度計算的嚙合剛度最大值為520.26 MN/m，嚙合剛度平均值為497.92 MN/m；赫茲接觸剛度計算的嚙合剛度最大值為482.50 MN/m，嚙合剛度平均值為452.52 MN/m。兩種接觸剛度對應的嚙合剛度相對誤差的最大值為7.25%，平均值為9.12%，均小于10%。

根據ISO6336-1—2006標準（直齒輪和斜齒輪承載能力計算第1部分：基本原理、概述及通用影響系數）計算的嚙合剛度為480.95 MN/m，與分形接觸剛度算法的相對誤差為3.52%，與赫茲接觸剛度算法的相對誤差為6.29%。

4"結論

1）采用改進W-M函數以齒高、齒寬綜合表征斜齒輪齒面形貌，表征形貌與實際形貌的相對誤差小于10%。

2）斜齒輪時變接觸載荷隨嚙合角度的增大而先增大后減小；θ為-10°～-2°時，接觸載荷變化較慢；θ為-5.3°時，接觸載荷取得最大值。斜齒輪時變接觸載荷隨分形維數的增大而先減小后增大，隨特征尺度系數、量綱一接觸面積的增大而增大，但不隨材料塑性指數的增大而變化。

3）斜齒輪時變接觸剛度隨嚙合角度的增大而先增大后減小，θ為-10°～-2°時，接觸載荷變化較為緩慢，這與載荷的變化趨勢一致，說明載荷是影響剛度的主要因素，表面形貌為次要因素；θ為-6.7°～-6.1°時，時變接觸剛度取得最大值。斜齒輪的時變接觸剛度隨分形維數、特征尺度系數、量綱一接觸面積、材料塑性指數的增大而增大。

4）斜齒輪圓錐微凸體模型和M-B分形接觸模型的對比結果表明，圓錐微凸體模型更符合實際的齒輪表面接觸剛度的變化規律。考慮分形接觸剛度和赫茲接觸剛度的斜齒輪時變嚙合剛度模型計算數值相對誤差的最大值為7.25%，平均值為9.12%；考慮分形接觸剛度與ISO標準計算的時變嚙合剛度相對誤差為3.52%。

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（編輯"張"洋）

作者簡介：

吳"石*，男，1971年生，教授、博士研究生導師。研究方向為傳動系統設計及智能制造技術、過程檢測與診斷技術、機床誤差分析。發表論文70余篇。E-mail：wushi971819@163.com。

本文引用格式：

吳石，高增闊，王明珠，等.斜齒輪表面形貌分形特征對時變接觸剛度的影響［J］. 中國機械工程，2025，36（1）：59-68.

WU Shi， GAO Zengkuo， WANG Mingzhu， et al. Influence of FractalFeatures of Helical Gear Surface Topography on Time-varying Contact Stiffness［J］. China Mechanical Engineering， 2025， 36（1）：59-68.

收稿日期：2024-01-15

基金項目：國家重點研發計劃（2019YFE0121300）