基于時序網絡的航空網絡關鍵航班識別

摘" 要：在航空網絡的拓撲結構和魯棒性研究背景下，傳統的研究由于靜態網絡模型的局限性，較少關注對航空網絡運行效率、疾病傳播或航班延誤等方面具有顯著影響的關鍵航班。為了更加準確地識別這些關鍵航班，從而實施針對性的保障與控制，文章采用時序網絡模型來構建航空網絡，并提出了三種時序邊中心性測度：時序邊介數、時序度積和路徑流介數。這些度量方法將時間因素有效地融入到現有的靜態邊中心性中。為驗證其有效性和適用性，文章在中國、美國和挪威的航空網絡中，通過網絡效率變化和SIR仿真進行了實證研究。實驗結果揭示，時序邊介數能夠準確地識別出對航空網絡運行效率有顯著影響的航班，而時序度積則在減小疾病傳播范圍方面表現出色。這三種時序邊中心性度量不僅為航空網絡的關鍵航班識別提供了新的視角，同時也為其他領域的時序網絡關鍵連接識別提供了有力的理論參考。

關鍵詞：航空網絡；時序網絡；邊中心性

" 中圖分類號：F560" " 文獻標志碼：A

DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2025.03.026

Abstract： Within the context of the topological structure and robustness research of aviation networks， traditional studies， due to the limitations of static network models， have paid less attention to key flights that significantly impact the operational efficiency of aviation networks， disease transmission， or flight delays. To more accurately identify these key flights and implement targeted safeguards and controls， this study employs a temporal network model to construct aviation networks and introduces three temporal edge centrality measures： Temporal between's centrality， temporal degree product， and path flow intermediacy. These measurement methods effectively incorporate the time factor into the existing static edge centrality. To verify their effectiveness and applicability， empirical research was conducted on the aviation networks of China， the United States， and Norway through changes in network efficiency and SIR simulations. Experimental results reveal that temporal between's centrality can accurately identify flights that significantly influence the operational efficiency of aviation networks， while the temporal degree product excels in reducing the scope of disease transmission. These three temporal edge centrality measures not only provide a new perspective for identifying key flights in aviation networks but also offer a robust theoretical reference for identifying critical connections in temporal networks across other domains.

Key words： aviation networks; temporal networks; edge centrality measure

0" 引" 言

" 在當今全球信息化進程的快速發展下，各種復雜的網絡已深入滲透到人類的日常生活中[1-4]。例如，電力、水和天然氣網絡對生活基礎設施起到關鍵作用[5]；公路、鐵路和航空網絡則決定了人們的出行方式[6]；而社交網絡則深刻地影響著個人和整個社會的精神生活[7]。在這些實際網絡中，常常有少數節點和邊對整個網絡的運行和穩定性產生巨大的影響。為了準確地識別這些關鍵節點，歷史上研究者們提出了許多方法。其中，基于節點連邊數量的方法有度中心性[8]、K-shell[9]和H-index[10-11]；基于網絡路徑的方法包括緊密度中心性[12]、介數中心性[13]；而基于特征向量的方法則有PageRank[14]和HITs[15]等。

" 然而，到目前為止，與復雜網絡領域中的節點相比，對關鍵邊的識別和排序受到的關注較少。一般來說，量化連邊的重要性主要有四個維度，即邊中心性、邊權、連接強度以及信息的擴散。首先，邊中心性是許多方面的必不可少的工具，如邊重要性排名和社區檢測。2002年，Girvan et al.[16]將邊介數中心性應用于尋找和評估網絡中的社區結構[17]的研究。2012年，De etal.[18]開發了一種K-path中心性，它最初是為節點開發的，是介數中心性的拓展。它基于隨機游走，定義為從給定源到所有拓撲距離為k的節點的消息遍歷邊E的頻率之和。這兩種中心性度量常常被用作基準方法來測量其他方法的優越性。與此同時，邊權也是衡量邊重要程度的一個角度。在許多未加權的網絡中，連邊通常是二進制狀態，即存在或不存在。然而，一些研究表明，邊介數以及社交網絡中活動的發生頻率等性質常常與連邊端點度積的冪函數呈正比[19-21]。因此，可以通過度積來側面反映一個未加權網絡中的邊重要性?；谶呥B接強度的量化是基于一個基本理論，即強連接（Strong tie）可以促進社區內的信息交流，而弱連接（Weak tie）在維持全局連通性方面效果顯著。因此，識別連接的強弱便可以反映出連接對網絡結構的重要性。測量方法大體可以分為三類[22]：基于拓撲的方法[23-25]，考慮節點屬性的方法[26-29]，以及關注行為序列的方法[30-32]。其中，使用最多的是基于網絡拓撲的識別方法，如橋接性[23，25]和拓撲重疊[24]。Cheng et al.[26]開發的橋接性指數是一種經典的指標，目的是檢測兩個團之間的邊。Onnela et al.[27]的拓撲重疊度量在移動通信網絡中表現得相當好。此外，邊上的信息擴散對邊的重要性也有很大影響。從信息傳播的角度來衡量邊的重要性，目前也已經進行了許多相關研究[33-34]。Liu et al.[35]在關于影響力最大化[36]的研究中強調了邊上信息傳播的重要性。然而在上述測量方法，大多集中在靜態網絡，對于時序網絡的關鍵邊識別卻很少有人進行研究。

" 隨著經濟的不斷進步，航空運輸業也日益繁榮。航空網絡的不斷擴張帶來了越來越復雜的交互行為。早在2002年，Guimera et al.[37]發現了世界航空網絡具有小世界現象。之后，不斷有學者使用復雜網絡方法來研究航線網絡的問題[38-39]。如何有效降低航班延誤對運營效率的影響，以及在傳染病爆發時如何有效控制疾病的傳播范圍以減少經濟損失，都成為當前航空網絡管理的重要課題。這些問題的解決需要對航空網絡中的關鍵節點或關鍵連邊進行精準的識別和有針對性的管理。然而，現有的大部分研究主要集中在對機場節點的分析上，對關鍵航班的識別相對較少。這一方面是因為在復雜網絡研究中，相對于節點中心性，對連邊中心性的研究較少；另一方面，由于過去的研究主要采用靜態網絡模型，因此只能對航線的重要性進行排序，而無法精確計算每條航班的重要性。時序網絡的出現為關鍵航班的識別提供了新的可能性，通過計算時序邊中心性，可以精確地識別出對航空網絡影響最大的航班。

" 在本文中，將靜態網絡中的邊介數和度積概念擴展到時序網絡中，希望通過計算時序邊中心性，找到對航空網絡運行效率影響最大的航班，以及在流行病傳播過程中能夠產生關鍵影響的航班。本文選取了中國、美國和挪威三個國家的航空網絡作為研究對象，對其航班的時序邊中心性進行詳細的計算和分析。通過對網絡效率的變化以及SIR模型的仿真實驗，驗證了這三種時序邊中心性度量方法的有效性以及適用性。本文研究的結果不僅為航空網絡的優化管理提供了新的理論依據和工具，也為未來時序網絡邊重要性的研究提供了有價值的參考。

1" 網絡建模及邊中心性構建

1.1" 時序網絡及其表示方法

" 時序網絡是一種特殊的復雜網絡，它在傳統的復雜網絡模型的基礎上，引入了時間這一關鍵維度。與傳統的靜態網絡模型不同，時序網絡中的節點和邊是動態的，它們會隨著時間的推移而發生變化。這種網絡的一個顯著特征是，網絡中的連接（邊）不僅僅是存在或不存在，還有一個標記了連接發生的具體時間的時間戳。因此在時序網絡中，每條邊由一個三元組i，j，t來表示，其中i和j分別代表該連邊的起始節點和到達節點，t代表該連邊發生的時間。根據時間間隔δ來劃分時間窗口。每個時間窗口內包含了在該段時間內存在的所有連邊。

" 快照圖（見圖1）是最常用的時序網絡表示方法，它通過劃分時間間隔和連接不同時間窗口內的邊來生成，這種方法可以了解網絡拓撲在不同時間段的變化。然而，這種表示方式忽略了快照之間的關系?；诿黠@路徑流的表示方法（見圖2），雖然省略了每個時間窗內具體的拓撲結構，但卻可以更好地反映時序網絡中信息流動的全局情況。它們各有優劣，只是側重點不同。具體來講，圖2虛線框中G，G，G，G分別對應圖1中的四個快照。

因此，假設一個時序網絡，邊由三元組o，d，t表示，其中：o是起點，d是終點，t是邊發生時間。如果通過劃分時間間隔，該邊屬于時間窗i。那么只需要將節點標簽o和d替換為o和d，就可以將該邊合并到一個路徑流圖中。此時，快照圖中的邊o，d，t，在路徑流圖中表示為o，d。

1.2" 構建基于路徑流圖的時序邊中心性

" 復雜網絡結構中的邊識別由于計算復雜度高而常常被忽略。時序網絡中，由于考慮了時間因素，因此更加復雜。而路徑流圖可以將時序網絡簡化為一個靜態有向網絡進行計算?；诖?，本文提出了兩種時序邊中心性度量：路徑流介數與時序度積。

1.2.1" 路徑流介數

" 在靜態網絡中，邊介數的定義是所有最短路徑中經過該邊的路徑數。如果定義g為節點i和節點j之間的最短路徑數，

ge為這些路徑中經過邊e的路徑數，那么邊e的介數Ce可以定義為：

Ce=" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （1）

這個公式對所有的i和j求和，其中i和j是網絡中的節點，且i≠j。

" 將這個概念路徑流圖表示時序網絡中，其中每條時序邊o，d，t使用二元組o，d表示，其中：o和d是帶有時間標簽的節點。定義g為o和d之間的最短路徑數，ge為這些路徑中經過邊e的路徑數。邊e的介數Ce可以定義為：

Ce=" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（2）

這個公式對所有的o和d求和，其中o和d分別為時間i與i+1下的節點。這個公式的意思是，對于每一對節點，計算經過邊e的最短路徑的比例，然后將這些比例相加。如果在路徑流圖中許多最短路徑經過邊e，那么Ce，t就會很大。

1.2.2" 時序度積

" 在靜態網絡中，度積是一種衡量網絡中邊重要性的方法。對于一個給定的邊u，v，其度積是指連接的兩個節點u和v的度的乘積。計算公式為：

DPu，v=du*dv" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （3）

" 式中：du和dv分別表示節點u和v的度。

當推廣到時序網絡中，本文使用在路徑流圖進行計算時序邊e的時序度積。將其定義為路徑流圖中兩節點的時序度積，記作：

TDPe=tdo*tdd" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（4）

" 由于在路徑流圖的表示下，每條時序邊都是由t時刻的起始節點o連接到t+1時刻的到達節點d，因此在計算度積時，選取不同時刻的節點度進行計算。

1.3" 時序邊介數

在上節中構建了基于路徑流圖的兩種邊中心性度量，本節中提出一種新的算法——時序邊介數中心性。旨在將傳統的邊介數中心性概念擴展到時序網絡，其中節點之間的連通性可以隨著時間的推移而變化。時序邊介數中心性反映了給定時間層上通過邊的最快到達路徑數量，提供了衡量邊對網絡內信息或流量傳輸的影響程度的指標。

" 對于給定的邊e在時間t的時序邊介數為Ce，t，公式為：

Ce，t=" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （5）

式中：V為網絡中的節點集，σt是節點s到v起始時間為t的時序最快到達路徑數量，σe，t是這些路徑中通過時序邊e的數量。

" 在最快到達路徑的計算中，往往是通過第一個時間層開始計算。為消除起始時間t對邊介數的影響，需對不同初始時間t下計算的邊介數進行加總。因此，每條時序邊的時序邊介數如公式：

Ce=Ce，t" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " （6）

" 這個值表示時序邊e在整個網絡變化時間下的重要性。它提供了一種衡量邊緣對信息流或發生在網絡上的任何其他動態過程的總體貢獻的方法。

2" 評價方法

2.1" 網絡效率

時序網絡中信息傳播效率的衡量指標，較小的值意味著信息能夠在時序網絡中更快傳播開。該時序性能指標來源于靜態網絡中的網絡效率，即所有節點接近中心性的均值，見公式（7）。

EffG=" " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（7）

" 式中：d表示節點對i，j之間的最短路徑，N為網絡節點數。在時序網絡中，將拓撲最短路徑使用時序最快到達路徑替代，因此一個時序網絡在時間t時的效率Et可以表示為：

Et=" " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（8）

式中：n為網絡節點數，V為節點集合，ds，v，t為從節點s到節點v在時間t下最快到達路徑的時序距離。全局效率E為所有時間層效率的平均值，如公式（9）所示。

E=Et" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（9）

" 式中：T為時間層的總數。

2.2" SIR仿真

利用SIR傳播模型評價時序邊中心性的有效性。在SIR模型中有三種狀態，分別是易感態S，感染狀態I，恢復狀態R。其動力學方程如公式（10）所示。

（10）

" 式中：β為感染率，μ為恢復率。

3" 實驗結果與分析

3.1" 實驗數據集

" 為了深入探究三種中心性度量在航空網絡中的應用效果，本文使用OAG數據庫，選取2023年1月1日至5日中國、挪威、美國的航班計劃數據，基于此構建了不同國家的時序航空網絡模型。選擇這三個國家的原因在于，美國航空網絡由于其國土廣闊和對航空運輸的高度依賴，展現出顯著的無標度和小世界特性。相較之下，挪威國土面積較小，其航空網絡結構更呈分布式特征，即度分布較為均勻。而中國的遠程交通運輸通常由鐵路和航空共同承擔，二者既存在合作又有競爭，因此中國航空網絡的結構介于美國和挪威之間。通過研究這三種不同特征的航空網絡，本文旨在驗證三種中心性度量的有效性。

" 在數據處理中，保留了航班的出發機場，到達機場，計劃起飛時間，計劃到達時間。為方便計算，本文將起飛時間與到達時間的中點定義為航班的發生時間。表1中為數據統計特性，其中：V為節點數，C為交互次數，E為時序網絡中總連邊數，T為快照數，δ為時間間隔。

3.2" 不同指標下的結果分析

節選了三種指標排名前十的機場如表2所示。

由表2可知，這三種邊中心性計算出的航班前十名排名存在顯著的差異。這種差異的產生有兩方面的原因。首先，相較于節點，時序連邊的數量更多，因此其排名更易產生差異。其次，這三種中心性的側重點各有不同。

" 路徑流介數是通過路徑流圖進行計算的。通過為節點賦予時間標簽，它能夠間接地考慮時間因素。在尋找最短路徑的過程中，它會考慮每個時間點下各個機場節點的可達性。因此，路徑流介數的含義是某個航班在任意時間點，兩個機場之間最短路徑的出現頻率。雖然這種方法在描述旅客行為等情境下稍顯粗略，但在時間延遲或傳播動力學的分析中，它可能表現更好。

時序邊度積與靜態網絡中的邊度積有相似之處，主要包含網絡的局部信息。在本文中，通過計算連邊兩端點的時序度來定義時序邊度積，這也是一種將時間信息融入中心性計算的策略。一般而言，航班所連接的兩個機場在特定時刻的繁忙程度越高，這條航班的重要性也就越大。因為它們對整個網絡的流量分布和穩定性起著關鍵作用。

" 時序邊介數則是靜態網絡邊介數在時序網絡中的擴展。它直接將時間因素納入邊中心性的計算中。在選擇最短路徑時，它優先考慮時序最快到達的路徑。因此，時序邊介數主要描述了當旅客希望從一個機場盡快到達另一個機場時，某條航班的出現頻率。這意味著這些航班在時間效率上具有優勢，對于滿足旅客的出行需求和保證航空網絡的高效運行都至關重要。

通過結合三種邊中心性排名的出發機場與到達機場，可以發現在路徑流介數高的航班中，通常是從中小型機場出發前往大型機場的航班；而時序邊介數較高的航班則多為從大型機場出發前往中小型機場的航班；同時，時序度積高的航班則常常是連接兩個大型機場的航班。

" 這一分析挑戰了通常的認知，即樞紐機場之間的航班通常對網絡影響會更顯著。然而研究表明，在路徑流介數與時序邊介數的視角下，最具影響力的航班并不總是連接樞紐機場之間的航班。相反，一些連接大型機場與中小型機場的航班對網絡的高效運行具有顯著的影響。這意味著盡管這些機場作為單獨的節點在航空網絡中的重要性可能并不顯著，但它們所連接的航班對于維護網絡的整體效率和流動性至關重要。因此，這些航班值得在航線規劃和管理中被著重關注與保障。

對于這三種方法識別出的航班在航空網絡中的作用，在下一節進行詳細的展示和討論。

3.3" 網絡效率

在本節中，討論時序網絡效率與不同邊中心性之間的關系。時序網絡效率代表著網絡平均最快到達路徑長度，亦即網絡效率越高意味著從任意一個節點到其他節點的平均速度更快，平均用時更短。本節對四種邊刪除策略對網絡效率的影響進行探討，包括時序邊介數策略、時序路徑流介數策略、時序度積策略與隨機刪除策略。在刪除過程中，每次從網絡中剔除2%的航班，直到所有航班全部被刪除，隨后計算了各個階段的時序航空網絡效率，如圖3至圖5所示。

綜合圖3至圖5來看，時序邊介數始終可以很好地識別對網絡效率影響最大的航班。對于中美兩國的航空網絡，網絡效率變化在不同的策略中均有著相同的趨勢，按影響力大小依次為：時序邊介數策略、路徑流介數策略、隨機刪除策略以及時序度積策略。并且由圖中可以看出不同策略在對網絡效率的影響上存在明顯的差異。然而，對于挪威的航空網絡，路徑流介數與時序度積的效果與中美兩國的情況恰好相反。

這種現象表明，時序邊介數策略對于不同的航空網絡結構和度分布均具有魯棒性，能較好地識別出對網絡效率具有關鍵影響的航班。然而，路徑流介數策略和時序度積策略的表現則因網絡特性的不同而有所差異。這可能由于中美兩國航空網絡具有更明顯的小世界性。

研究發現，對于中美航空網絡而言，具有高路徑流介數的航班，它們往往是大型樞紐機場與中型機場之間在特定時間的航班。這些航班在時序路徑上可能非常重要，對平均最快到達時間的影響較大，然而，這兩個機場的時序度積并不一定是最大的。而在挪威航空網絡中，由于機場之間的度分布較為均勻，因此更加繁忙機場之間的航班可能會對網絡的效率影響更大。

3.4" SIR仿真

SIR模型作為流行病傳播的經典模型，被廣泛應用于模擬和預測疾病在網絡內的擴散動態?；诖耍仓饾u成為評估網絡中關鍵節點和關鍵連邊識別效果的標準方法。通過SIR模型的仿真分析，能夠更加直觀且精確地探究各種邊中心性對疾病傳播范圍的實際影響，進一步確認不同邊中心性在傳播學研究中的應用價值。

" 本節使用SIR模型對三國航空網絡進行仿真，并對四種刪除策略進行比較并記錄每次的傳播范圍。為消除節點對傳播過程的影響，對每個節點均作為種子節點進行一次實驗。在每次實驗中，按不同策略刪除1%數量的時序邊，直至30%，并記錄疾病的傳播范圍。

在復雜網絡的流行病模型的計算中，如果有效感染率β過低，則疾病無法大規模傳播，這種情況被定義為地方傳染病。而如果要想將疾病大規模擴散，感染率必須超過一個臨界值，即爆發閾值。盡管時序網絡的爆發閾值仍是一個研究課題，但為了便于理解與計算，本文選擇Barthélemy et al.[40]推導的靜態網絡中的爆發閾值計算公式，見公式（11）。

β=" " " " " " " " " "（11）

本文計算了中、美、挪威靜態航空網絡的平均度及爆發閾值如表3所示。

為了在網絡中引發疾病爆發并分析不同策略對傳播抑制的效果，本文將每個航空網絡中疾病的有效感染率β設定為其爆發閾值的2倍，恢復率μ設為1[41-42]。由于β=，且μ=1，因此，本文中各航空網絡的感染率λ=2β。同時為消除機場對傳播的影響，在仿真中使每個機場均作為種子節點開始傳播疾病，每個指標對所有機場的結果取平均值。

" 采用四種航線刪除策略對疾病傳播的影響如圖6至圖8所示。據圖可知，三國航空網絡的傳播范圍對四種策略的反應及變化趨勢大致相同?；诙确e的刪除策略對傳播范圍的影響始終是最大的。

疾病感染率也同樣影響著疾病的傳播過程，為證實時序度積在SIR仿真的有效性，本文對三種航空網絡分別刪除各中心性的前10%的航班，計算刪除前后傳播范圍變化的差值。為了更好地體現不同策略的效果，定義R[41]為兩者差異。

R=" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（12）

式中：Ft為原始網絡的傳播范圍，而Ft為按照不同策略刪除10%數量邊后的傳播范圍。因此，R即為該策略對航空網絡傳播范圍的影響。

由圖9至圖11可知，橫坐標為實際感染率與爆發閾值的比值，縱坐標為不同策略對傳播范圍的影響程度R。感染率λ選取1.5β至2.5β進行計算。研究發現，三種航空網絡中，基于時序度積排名識別的航班均能有效地控制傳播范圍。

4" 結" 論

本文構建并應用了時序邊中心性度量，深入探討了不同連邊的特性與影響。為了具體驗證這些度量的實際效用，本文選擇了中國、美國和挪威的航空網絡作為研究樣本。在此基礎上，通過對比時序邊介數、時序邊度積與路徑流介數三種刪除策略與隨機刪除策略，在網絡效率與SIR模型兩個維度上進行了深入分析。研究得出以下結論：

（1）靜態網絡的邊中心性度量，經過引入時間因素，可以被成功地擴展到時序網絡中，證明了其廣泛的應用潛力；

（2）時序邊介數在識別對時序網絡效率產生顯著影響的航班方面表現出色。為保障航空網絡的高效性并提升旅客的出行體驗，對這些具有高時序邊介數的航班的管理與保障顯得尤為關鍵；

" （3）時序度積在標定能顯著降低疾病傳播范圍的航班方面具有優勢。面對疾病在航空網絡中的傳播威脅，對這些高時序度積的航班的限制或中斷應被優先考慮，以最大化地控制疾病的傳播。

" 這些研究成果不僅為航空網絡中關鍵航班的識別提供了新的視角，也為航空網絡的管理和優化提供了寶貴的參考。此外，這三種時序邊中心性度量方法具有廣泛的應用前景，除航空領域外，還可擴展至金融、通信和社交網絡等多個領域的時序網絡關鍵連邊識別。隨著時序網絡研究的不斷深入，相信更多的靜態網絡中的邊中心性度量方法可以被應用于時序網絡中，為復雜網絡的科學管理與持續優化提供更為堅實的理論基石。

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收稿日期：2024-02-21

基金項目：國家社科基金項目（13CGL005）；中國民用航空局安全能力建設項目（14002500000020J074）

作者簡介：洪英凱（1998—），男，天津人，中國民航大學交通科學與工程學院碩士研究生，研究方向：航空運輸戰略規劃管理；于" 劍（1968—），本文通信作者，山東煙臺人，中國民航管理干部學院，教授，博士，博士生導師，研究方向：航空運輸戰略規劃管理、航空運輸運營管理與優化、環境與可持續發展；陳俁秀（1980—），女，山東棲霞人，中國民航大學交通科學與工程學院，中國民航環境與可持續發展研究中心，副教授，博士，碩士生導師，研究方向：航空運輸可持續發展、航空運輸戰略規劃管理。

引文格式：洪英凱，于劍，陳俁秀. 基于時序網絡的航空網絡關鍵航班識別[J]. 物流科技，2025，48（3）：109-115，132.