輸流直、彎組合管的流體誘發振動分析
2025-01-26 00:00:00劉偉萬志勇趙千里
振動工程學報 2025年1期
摘要： 基于“以直代曲”的思路，提出在輸流直管的流固耦合振動微分方程中直接引入穩態組合張力來描述直、彎組合管的橫向運動。以固定?彈性支承式組合管為例，利用基于Laplace變換的新傳遞矩陣法推導了求解系統固有頻率的特征方程，研究了系統的固有頻率及臨界流速等振動特性，過程中著重考察了穩態組合張力、流動模型修正因子、系統組成等因素對振動特性的影響。提出了“偽模態耦合發散”的概念，發現對于穩態組合張力，不同的取值方式會得到不同的臨界流速；系統組成的變化會導致系統的穩定性呈現較大的差異。利用“以曲代直”的思路建立了組合管的振動微分方程，經驗證，上述兩種思路的計算結果一致。
關鍵詞： 流固耦合振動； 輸流直、彎組合管； 固有頻率； 穩態組合張力； 臨界流速
中圖分類號： O327； TH137.7""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2025）01-0039-08
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.01.005
Flow-induced vibration analysis of combined straight-curved pipe conveying fluid
LIU Wei1， WAN Zhiyong2， ZHAO Qianli1
（1.School of Mechanical Engineering， Changzhou Vocational Institute of Mechatronic Technology， Changzhou 213164， China；2.Changzhou Zhixu New Energy Power Technology Co.， Ltd.， Changzhou 213002， China）
Abstract： Based on the approach that ‘replace curved by straight’， the steady combined force is introduced directly into the fluid structure interaction vibration differential equation of straight pipe to describe straight-curved one’s transverse motion. Taking clamped-elastically supported combined pipe as an example， the new transfer matrix based on Laplace transform is used to derive the system’s characteristic equation calculating its natural frequency， and then the vibration characteristics such as natural frequency and critical velocity are studied. During this process， influences of the steady?state combined tension， flow model modification factor， and system’s components etc. on the vibration characteristics are investigated. According to the above investigation， the ‘fake coupled-mode divergence’ is firstly put forward， it can be concluded that different steady?state combined combined tension may lead to different critical velocity， change of system’s components may lead to distinguishing judgement for stability. The vibration differential equation is also established based on the approach ‘replacing straight by curved’， results of the above two thoughts are verified to be the same. The above investigation can provide insights for studying vibration characteristics of other types of pipes and behaviors of other fluid structure interaction mechanics as well， and be of high guiding meanings for theory and values for practice.
Keywords： fluid structure interaction vibration；combined straight-curved pipe conveying fluid；natural frequency；steady-state combined tension；critical velocity
輸流管路作為大部分機械設備不可或缺的組成部分，其振動特性也越來越受到廣泛的關注。近些年來，人們從實際應用和理論研究的角度對管路系統開展了諸多工作并取得了許多重要的成果［1?6］。正如PAIDOUSSIS［7］強調的那樣：輸流管路的流固耦合振動行為已發展成為一種典型的動力學范例，研究其動力學行為不僅能揭示其本身的運動規律，更能將研究經驗推廣至其他類似的問題中去。
目前，被廣泛應用于求解輸流管路振動特性的方法主要包括：有限單元法（finite element method，FEM）、微分求積法（differential quadrature method，DQM）、微分變換法（differential transform method，DTM）、傳遞矩陣法（transfer matrix method，TMM）、伽遼金法（Galerkin method）以及格林函數法（Green function method，GFM）。學者們利用上述方法針對具有不同支承形式、空間構型以及截面形狀特點的輸流管路進行了穩定性、分岔與混沌行為、強迫振動的位移響應等方面的研究，其中具有代表性的成果主要包括：MISRA等［8?9］利用FEM研究了輸流彎管的流體誘發振動特性，并在此基礎上結合實驗結果提出了關于彎管中心線是否可伸長的三個模型，分別為：不可伸長理論、修正的不可伸長理論和可伸長理論，后續的大多數關于輸流彎管的研究［10?14］也都是基于上述三個理論而展開的。WANG等分別利用DQM［15］及其廣義形式［16］對四種典型支承形式輸流彎管的動力學行為進行了研究。NI等［17］利用DTM求解了四類典型支承形式輸流直管的動力學特性，并且通過計算得到了各類支承形式下輸流直管發生失穩的臨界流速。KOO等［18］利用波動分析法中的動剛度法針對管路的任一單元建立動態剛度矩陣，而后各單元之間通過連續性條件建立傳遞矩陣，最終擴展至整個管路系統，定義了比較傳統的用于求解輸流管路振動特性的TMM。ZHAO等［19］基于Laplace變換提出了L?TMM傳遞矩陣法，與傳統的TMM相比，利用L?TMM能夠推導得到具有更低階數的特征方程，大大提高計算效率，隨后，他們將之用于研究具有彈性支承輸流彎管的穩定性問題。金基鐸等［20］利用伽遼金法推導了兩端支承式輸流直管的臨界流速的表達式。LI等［21］結合Laplace變換和格林函數的定義推導了具有不同支承形式的輸流直管強迫振動穩態響應的表達式，該表達式具有完全封閉的特點。
綜上，雖然針對輸流直管或彎管流固耦合振動特性的研究已取得了長足的進步，但對直、彎組合管動力學行為的相關工作卻鮮有報道，而這類管路恰恰又是工程實際中較為常見的一種結構。因此，本文基于“以直代曲”的思路，將穩態組合張力引入直管的流體誘發振動微分方程中，建立了描述直、彎組合管橫向運動的微分方程；利用L?TMM推導了具有彈性支承輸流直、彎組合管計算固有頻率的特征方程，并研究了穩態組合張力、流動模型修正因子、系統的組成等因素對振動特性的影響。
1 力學及數學模型
1.1 力學模型
為便于問題的描述，對于由兩段直管和一段彎管組合而成的輸流管路系統，假設其力學模型可以簡化為由兩條直線和一條曲線組合而成，對應的力學模型如圖1所示，圖中省略了兩端的支承形式。
基于“以直代曲”的思路，可以考慮將彎管部分劃-2個節點，各單元被近似視為直管，那么系統的力學模型則可以轉化為如圖2所示。在圖1和2中，U為橫截面內的平均流速，Li， j（i， j1，…，N）表示第i個節點至第j個節點之間管路的長度。
1.2 數學模型
根據文獻［7］，輸流直管基本形式的無量綱流體誘發振動微分方程為：
（1）
式中，，x表示橫坐標，L為直管的總長；，w為橫向位移；，t表示時間，E為彈性模量，I為橫截面慣性矩，M和m分別表示單位長度的內部流體和管路的質量；，U表示內部流體的平均流速；。
根據MISRA等［9］的研究結論：當彎管兩端均受到支承且忽略重力等因素時，彎管受到的穩態組合張力僅與流體的流動有關，且。但上述結論是以管路內部流體作平推流動為前提的，當考慮其他流動形式時，需要對式（1）中的u2項進行修正，即引入流動模型修正因子［22］，則根據該組合張力的含義，本文相應地將其修正為。因此，描述與圖2對應的輸流直管橫向運動的微分方程可近似表示為：
（2）
式中，。在這里需要注意的是：當計算直管部分時，??；當計算彎管部分時，取。
當組合管路的一端固定，另一端具有一個線彈簧和扭轉彈簧（彈性系數分別用K和Kt表示）時，與式（2）對應的邊界條件則可以表示為：
（3）
式中，；。
2 L-TMM推導特征方程
式（2）的解可以表示為：
（4）
式中，i為虛數單位；，表示無量綱特征變量，其中表示特征變量。
將式（4）代入式（2），可得：
（5）
對式（5）的等號兩端進行Laplace變換，經過化簡可得：
（6）
對式（6）中的分母進行有理化處理，可得：
（7）
將式（7）代入式（6），可得：
（8）
對式（8）的等號兩端取Laplace逆變換，結果為：
（9）
式中，
；
；
；。
根據式（9）可以得到和的關系為：
（10）
式中，（i， j1， 2， 3， 4），且
；
。
結合Euler?Bernoulli梁理論，在任意位置ξ處，管路的位移w、轉角θ、轉矩Mt和剪力Q可分別表示為：
（11）
（12）
（13）
（14）
綜合式（11）～（14），在任意位置ξ處的狀態向量可以表示為：
（15）
式中，，且H中的非零項為：
，，，。
根據式（15），可以表示為：
（16）
對于第m個單元，若其兩端節點的坐標分別用ξm和ξm+1表示，則根據式（10），（16）和（15）可知分別有以下表達式，即：
（17）
（18）
（19）
式（17）～（19）中 ξ和q的下標表示節點的編號；T和H的下標表示管路單元的編號。
將式（18）代入式（17），然后將結果代入式（19），經過化簡可得：
（20）
式中，，上標l和r分別表示左（left）和右（right）兩個方向。
若第m個節點處有彈性支承且彈性系數分別為K（線彈簧）和Kt（扭轉彈簧），則根據力的平衡條件，在該節點處有：
， （21）
式中，下標m表示節點的編號。由于任意點處的位移w和轉角θ都是連續的，所以不需要標注方向。
根據式（21），可得第m個節點左右兩端的狀態向量為：
（22）
式中，F的下標表示節點的編號，且（i=1， 2， 3， 4），，，其余元素全部為0。
將式（22）代入式（20），可得：
（23）
于是，對共有N個節點的管路來說，有以下表達式，即：
（24）
令，對于與圖2對應的固定?彈性支承式輸流直管，其兩端節點處的狀態向量分別為：
（25）
（26）
將式（25）和（26）代入式（24），經過整理可得：
（27）
由于式（27）中的Mt1和Q不得為0，所以為了得到非平凡解，系數矩陣的行列式必須為0，即
（28）
由于A為包含無量綱的特征變量以及系統各物理參數的矩陣，因此式（28）為求解具有彈性支承輸流直、彎組合管特征值的特征方程。根據上述推導過程可知，通過求解式（28）得到的特征值必然為復數，PAIDOUSSIS［7］曾經提及，通過求解特征方程得到的特征值，其實部（下文以Re（ω）表示）是系統的固有頻率，虛部（下文以Im（ω）表示）與阻尼相關，且穩定性的判據可以描述為：當Re（ω）0，Im（ω）的符號開始改變時對應的流速為發散失穩臨界流速（下文以ucd表示）；當Re（ω）0，Im（ω）的符號開始改變時對應的流速為顫振失穩臨界流速（下文以ucf表示）。
3 正確性驗證
3.1 方法的正確性驗證
當彈性系數K和Kt取不同值時，管路的支承形式會發生變化，當K或Kt取極限值時會得到典型的支承形式，結果如表1所示。
微分變換法（DTM）在計算微分方程方面的正確性已經經過多方驗證［1?3，17］。當不計穩態組合張力，即時，式（2）可用來描述輸流直管的流體誘發振動問題。因此，下面在該前提下同時利用L?TMM和DTM計算當流動模型修正因子，質量比時固定?固定式輸流直管的前四階固有頻率（計算時以108近似∞），結果如表2所示。
由表2發現，L?TMM的計算結果與DTM十分相近，證明了方法的正確性。
3.2 模型的正確性驗證
研究一段輸流直、彎組合管，其內徑r112 mm，外徑r214 mm，兩段直管部分的長度均為L"500"mm，彎管部分的中心線半徑R100 mm，彎管的張角θc90°，材料密度ρp7800 kg/m3，彈性模量210 GPa，泊松比μ0.29。內部流體的密度"kg/m3，流速50 m/s，管路兩端均為固定支承。
利用L?TMM對式（2）進行計算，在計算過程中取，N11，同時利用FEM對該管路系統的固有頻率進行計算，二者的計算結果如表3所示。
如表3所示，在物理參數和支承形式均一致的情況下，L?TMM的計算結果均比FEM的大，并且固有頻率的階數越高，引起的偏差越大。但總的來講，式（2）的有效性得到了驗證。
4 參數對振動特性的影響
在本節的研究中，除流速外，假設系統的其他參數與3.2節一致，則質量比β0.262。
4.1 穩態組合張力的影響
若以平推流模型進行計算，即取流動模型修正因子［22］。下面研究穩態組合張力沿管路軸線方向取不同值時系統的固有頻率與流速的關系，結果如圖3所示，計算過程中取。
在圖3中，同一種線型由低到高分別表示1～4階固有頻率，且包含以下三種計算工況：
（1） 實線對應僅彎管部分取；
（2） 虛線對應整個管路??；
（3） 點畫線對應整個管路取。
對于第3種工況，在計算的流速范圍內并不會發生失穩，且僅1階固有頻率隨流速降低，其他3階均增大。對于第1和第2種工況，它們的1，2階模態發生失穩，其失穩形式如圖4所示。
綜合圖3和4，前兩種工況下系統的失穩形式一致，但臨界流速卻不同。對于第1種工況，其1階模態發散區間為［8.747， 9.155］，其1，2階模態耦合顫振臨界流速ucf9.441；對于第2種工況，計算結果則分別為［6.287， 8.988］和ucf9.048。
4.2 流動模型修正因子的影響
當流體的流動形式不同時，α的取值不同［22］，具體表現為：當流體做平推流動時，；當流動形式為層流時，；當流動形式為紊流且雷諾數時，（管路內壁光滑）以及（管路內壁粗糙）。下面分別取，4/3和1.040來計算兩端固定式輸流直、彎組合管的前4階特征值，結果如圖5所示，計算過程中取。
在圖5中，實線、虛線和點畫線分別對應，1.040和4/3時的計算結果，可以發現隨著α的增大，失穩臨界流速逐漸減小。在圖5（b）中，可以發現當，時出現了不同于已有研究成果的情況，此時固有頻率已降為0，阻尼產生了不同趨勢的走向，這一點與發散的原理一致，但由于符號未發生改變，導致并未真實地產生發散，因此本文將其命名為“偽模態耦合發散”，以表征模態合二為一后可能產生發散的情況。
4.3 系統組成的影響
4.1和4.2節是以圖2所示的力學模型為基礎進行研究的，事實上，當管路系統的組成更為復雜時，結構的振動特性將會發生變化，對于一組包含一段直管和一段彎管的管路系統來說，其簡化的力學模型及近似模型如圖6所示。
當系統由多組如圖6所示的管路組成時，其空間構型將會十分復雜，由于本文所提的數學模型（即式（2））與管路系統具體的空間構型無關，因此具有較高的適用性。下面以如圖6所示的一組管路為基礎，并以彎管末端連接直管始端為例（即系統中直、彎管交替布置），利用L?TMM研究多組管路系統的前兩階特征值，結果如圖7所示，其中，Z表示組的數量，并且在計算過程中取及。
如圖7所示，當系統組成不同時，一階模態發散失穩的臨界流速不同，從理論上來講，當管路支承端之間的距離越長時系統越容易發生失穩，因此將計算結果換算成有量綱的數據，于是得到由1～3組如圖6所示的直、彎組合管路組成的管路系統的臨界流速分別為Ucd186.87、115.33和71.79 m/s。
5 “以曲代直”的數學模型
第2～4節全部都是基于“以直代曲”的思路進行的，那么反過來，當彎管中心線的半徑足夠大時，彎管可被近似視為直管。對于兩端支承式輸流直、彎組合管，以修正的不可伸長或可伸長理論為基礎，得到的關于穩定性的結論更為恰當［9］，此時，穩態組合張力抵消了微分方程中u2項［16］，如果不計軸向及橫向的附加質量和阻尼，那么以文獻［16］的微分方程為基礎便得到了該思路下組合管橫向的無量綱振動微分方程為：
（29）
式中，，w表示中心線上任一點的切向位移，R為中心線半徑；，Θ表示角度坐標，θc為彎管的張角；，M和m分別為單位長度流體和管路的質量；，U表示內部流體的平均流速，E為管路的彈性模量，I為橫截面慣性矩；，t表示時間；，L表示彎管的弧長。
對于直、彎組合管，在利用L?TMM對式（29）進行求解時，需要注意：
（1） 計算直管部分時將R取為無窮大（本文以108近似）；
（2） 基于修正的不可伸長理論，法向位移為，其中，表示管路中心線上任一點法向位移r的無量綱形式。
以3.2節的數據為基礎，對兩種思路下輸流直、彎組合管的前四階固有頻率進行計算，結果如表4所示。
由表4可知，由兩種思路得到的計算結果幾乎一致，再次證明了本文思路及方法的正確性。
6 結" 論
本文基于“以直代曲”的思路，通過在已有的輸流直管的流體誘發振動微分方程中引入穩態組合張力建立了描述直、彎組合管橫向振動的數學模型，經FEM和L?TMM對比計算，證明了上述模型的正確性。
隨著流動模型修正因子的增加，管路發生失穩的臨界流速逐漸減小。上述研究可為研究其他類型管路的振動特性以及其他流固耦合力學行為提供思路。
參考文獻：
［1］""""""" CHEN S S， CHEN C K. Application of the differnetial transformation method to the free vibrations of strongly non-linear oscillators［J］. Nonlinear Analysis： Real World Applications， 2009， 10（2）： 881-888.
［2］""""""" YALCIN H S， ARIKOGLU A， OZKOL I. Free vibration analysis of circular plates by differential transformation method［J］. Applied Mathematics and Computation， 2009， 212： 377-386.
［3］""""""" MEI C. Application of differential transformation technique to free vibration analysis of a centrifugally stiffened beam［J］. Computers and Structures， 2008， 86（11-12）： 1280-1284.
［4］""""""" 趙千里， 孫志禮， 柴小冬， 等. 具有彈性支承輸流管路的強迫振動分析［J］. 機械工程學報， 2017， 53（12）： 186-191.
ZHAO Qianli， SUN Zhili， CHAI Xiaodong， et al. Forced vibration analysis of fluid-conveying pipe with elastic supports［J］. Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2017， 53（12）： 186-191.
［5］""""""" ABDELBAKI A R， PAIDOUSSIS M P， MISRA A K. A nonlinear model for a hanging tubular cantilever simultaneously subjected to internal and confined external axial flows［J］. Journal of Sound and Vibration， 2019， 449： 349-367.
［6］""""""" SAZESH S， SHAMS S. Vibration analysis of cantilever pipe conveying fluid under distributed random excitation［J］. Journal of Fluids and Structures， 2019， 87： 84-101.
［7］""""""" PAIDOUSSIS M P. The canonical problem of the fluid-conveying pipe and radiation of the knowledge gained to other dynamics problems across Applied Mechanics［J］. Journal of Sound and Vibration， 2008， 310（3）： 462-492.
［8］""""""" MISRA A K， PAIDOUSSIS M P， VAN K S. On the dynamics of curved pipes transporting fluid. Part I： inextensible theory［J］. Journal of Fluids and Structures， 1988， 2（3）： 221-244.
［9］""""""" MISRA A K， PAIDOUSSIS M P， VAN K S. On the dynamics of curved pipes transporting fluid. Part II： extensible theory［J］. Journal of Fluids and Structures， 1988， 2（3）： 245-261.
［10］""""" LUO Y Y， TANG M， NI Q， et al. Nonlinear vibration of a loosely supported curved pipe conveying pulsating fluid under principal parametric resonance［J］. Acta Mechanica Solida Sinica， 2016， 29（5）： 468-478.
［11］""""" ZHAO Q L， SUN Z L. In-plane forced vibration of curved pipe conveying fluid by Green function method［J］. Applied Mathematics and Mechanics（English edition）， 2017， 38（10）： 1397-1414.
［12］""""" NI Q， TANG M， WANG Y K， et al. In-plane and out-of-plane dynamics of a curved pipe conveying pulsating fluid［J］. Nonlinear Dynamics， 2014， 75（3）： 603-619.
［13］""" TANG M， NI Q， LUO Y Y， et al. Flow-induced vibration of curved cylinder arrays subject to loose support［J］. Nonlinear Dynamics， 2014， 78（4）： 2533-2545.
［14］""""" NI Q， TANG M， LUO Y Y， et al. Internal-external resonance of a curved pipe conveying fluid resting on a nonlinear elastic foundation［J］. Nonlinear Dynamics， 2014， 76（1）： 867-886.
［15］""""" WANG L， NI Q， HUANG Y Y. Dynamical behaviors of a fluid-conveying curved pipe subjected to motion constraints and harmonic excitation［J］. Journal of Sound and Vibration， 2007， 306（3-5）： 955-967.
［16］""""" WANG L， NI Q. In-plane vibration analyses of curved pipes conveying fluid using the generalized differential quadrature rule［J］. Computers and Structures， 2008， 86（1-2）： 133-139.
［17］""""" NI Q， ZHANG Z L， WANG L. Application of the differential transformation method to vibration analysis of pipes conveying fluid［J］. Applied Mathematics and Computation， 2011， 217（16）： 7028-7038.
［18］""""" KOO G H， YOO B. Dynamic characteristics of KALIMER IHTS hot leg piping system conveying hot liquid sodium［J］. International Journal of Pressure Vessels and Piping， 2000， 77（11）： 679-689.
［19］""""" ZHAO Q L， SUN Z L. Flow-induced vibration of curved pipe conveying fluid by a new transfer matrix method［J］. Engineering Applications of Computational Fluid Mechanics， 2018， 12（1）： 780-790.
［20］""""" 金基鐸， 楊曉東， 鄒光勝. 兩端支承輸流管道的穩定性和臨界流速分析［J］. 機械工程學報， 2006， 42（11）： 131-136.
JIN Jiduo， YANG Xiaodong， ZOU Guangsheng. Stability and critical flow velocity of supported pipes conveying fluid［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2006， 42（11）： 131-136.
［21］""" LI Y D， YANG Y R. Forced vibration of pipe conveying fluid by the Green function method［J］. Archive of Applied Mechanics， 2014， 84（12）： 1811-1823.
［22］""""" GUO C Q， ZHANG C H， PAIDOUSSIS M P. Modification of equation of motion of fluid-conveying pipe for laminar and turbulent flow profiles［J］. Journal of Fluids and Structures， 2010， 26（5）： 793-803.
第一作者："劉" 偉（1977—），男，碩士，高級工程師。E?mail： lw950626@163.com
通信作者："趙千里（1989—），男，博士，講師。E-mail： 165187407g@qq.com
基金項目："江蘇省第六期“333高層次人才培養工程”資助項目（（2022）3-16-850）；江蘇省高等學?；A科學（自然科學）研究面上項目（22KJD130001）；常州市基礎研究計劃（應用基礎研究）項目（CJ20220017）
