周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)解析建模及振動(dòng)特性分析

摘要： 本文基于動(dòng)剛度方法建立了一種周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)解析模型。該模型將耦合結(jié)構(gòu)解耦為若干開口圓柱殼和矩形板，并基于Kirchhoff薄板理論和Flügge薄殼理論推導(dǎo)了對(duì)邊簡(jiǎn)支條件下子結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度矩陣。根據(jù)耦合邊界處的位移連續(xù)性條件和力平衡條件，得到了子結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，并采用類似于有限元的思想組裝了周期結(jié)構(gòu)的全局動(dòng)剛度矩陣。基于組裝的全局動(dòng)剛度矩陣，計(jì)算了三種類型周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，并將計(jì)算結(jié)果與有限元軟件ANSYS仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。研究結(jié)果表明，本文建立的解析模型能夠在較少的自由度下獲得準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。此外，還探究了不同夾芯類型和幾何參數(shù)對(duì)周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。

關(guān)鍵詞： 波紋夾芯結(jié)構(gòu)； 振動(dòng)特性； 動(dòng)剛度方法； 解析模型

中圖分類號(hào)： V214.3⁺5； TB532""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" 文章編號(hào)： 1004-4523（2025）01-0019-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.01.003

Dynamic analytical modeling and vibration characteristics analysis of periodic corrugated sandwich structures

LI Zhibing， JIN Guoyong， YE Tiangui， YANG Tiejun， CHEN Yukun

（College of Power and Energy Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： This paper presents a dynamic analytical model of periodic corrugated sandwich structures by using the dynamic stiffness （DS） method. In the model， the coupled structure is decoupled into several open cylindrical shells and rectangular plates， and then based on Kirchoff’s thin plate theory and Flügge’s thin shell theory， the DS matrices of substructures under the condition of simply supported on the opposite side are derived. According to the continuity condition and equilibrium conditions on the coupling boundary， the coordinate transformation matrix of each substructure is derived， and the global DS matrices of the periodic structure are assembled using a similar strategy to the finite element method （FEM）. Based on the assembled global DS matrices， the vibration characteristics for the three types of periodically corrugated sandwich structures are calculated， and the results are compared with those from FEM solutions. The results show that the presented model can obtain accurate calculation results with fewer degrees of freedom. In addition， the effects of different core styles and geometric parameters on the band gap characteristics of the periodic sandwich structure are also explored.

Keywords： corrugated sandwich structure；vibration characteristics；dynamic stiffness method；analytical model

波紋夾芯結(jié)構(gòu)以其輕質(zhì)、高強(qiáng)度和耐腐蝕等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于飛機(jī)、汽車、船舶等各種工程結(jié)構(gòu)。在實(shí)際運(yùn)用中，該結(jié)構(gòu)的振動(dòng)是影響其強(qiáng)度和可靠性的關(guān)鍵因素。振動(dòng)可能導(dǎo)致材料性能下降、疲勞損傷和結(jié)構(gòu)破裂等問題，從而對(duì)使用安全構(gòu)成潛在威脅。因此，對(duì)波紋夾芯結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究具有重要意義。

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)波紋夾芯結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了大量的研究。SHU等^［1］運(yùn)用Castigliano定理和等效均質(zhì)理論提出了一種用于預(yù)測(cè)三角形波紋板彎曲性能的方法。袁文昊等^［2］基于Hamilton變分原理建立了不同邊界條件下的波紋板動(dòng)力學(xué)模型，并采用指數(shù)剪切變形理論分析了材料和幾何參數(shù)對(duì)其振動(dòng)特性的影響。隨后，李鳳蓮等^［3］建立了四邊簡(jiǎn)支下的波紋夾芯板的動(dòng)力學(xué)方程，并探究了不同夾芯結(jié)構(gòu)的聲振特性。LIU等^［4］基于非線性幾何關(guān)系和Hamilton變分原理建立了石墨烯增強(qiáng)復(fù)合材料波紋板的非線性動(dòng)力學(xué)方程，并探究了幾何尺寸對(duì)其振動(dòng)特性的影響。李鎖斌等^［5］通過引入超材料提出了一種超結(jié)構(gòu)夾芯板，并基于有限元方法探究了其帶隙特性，結(jié)果表明所建立的超材料波紋板具有良好的力學(xué)承載和低頻帶隙特性。XIA等^［6］從實(shí)驗(yàn)、數(shù)值和理論三個(gè)方面研究了波紋夾芯板在沿其中心線方向施加縱向載荷時(shí)的力學(xué)響應(yīng)。LIU等^［7］ 通過試驗(yàn)和有限元仿真分析深入研究了U型波紋夾芯板在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮載荷下的變形機(jī)理，并推導(dǎo)了U型波紋夾芯板變形抗力的解析公式。李震等^［8］采用微分求積有限元方法建立了由多個(gè)圓弧殼組成的波紋板的動(dòng)力學(xué)模型，隨后，基于前期的研究，他們又探究了新型波紋夾芯板結(jié)構(gòu)在各種邊界條件下的振動(dòng)特性^［9］。

從以上文獻(xiàn)可知，目前對(duì)波紋夾芯結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性研究主要基于有限元方法和等效介質(zhì)理論。雖然等效介質(zhì)理論可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，但它忽略了波紋板內(nèi)部復(fù)雜的結(jié)構(gòu)和材料不均勻性，對(duì)模型的精確度和可靠性有一定的影響。有限元方法雖然對(duì)模型具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，但在處理大型結(jié)構(gòu)和高頻計(jì)算時(shí)，往往需要將結(jié)構(gòu)劃分成足夠小的單元，這會(huì)導(dǎo)致巨大的計(jì)算量并對(duì)計(jì)算機(jī)性能有更高的要求。鑒于此，本文采用動(dòng)剛度方法建立了對(duì)邊簡(jiǎn)支條件下周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)精確解析模型。在本模型中首先將耦合結(jié)構(gòu)劃分為若干開口圓柱殼和矩形板，并基于相應(yīng)的控制微分方程獲得其在對(duì)邊簡(jiǎn)支條件下的精確位移解。然后，根據(jù)邊界處位移和力的關(guān)系推導(dǎo)出各子結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度矩陣，并根據(jù)耦合邊界處的位移連續(xù)性和力平衡條件，得到了子單元的坐標(biāo)變換矩陣。接著，采用與有限元方法類似的策略組裝了周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)的全局動(dòng)剛度矩陣。最后，基于建立的解析模型，計(jì)算了三種不同波紋夾芯結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，并將計(jì)算結(jié)果與有限元軟件ANSYS的仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。同時(shí)，探究了不同夾芯類型和幾何參數(shù)對(duì)周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。

1 模型介紹

本研究建立的周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)如圖1（a）所示，整個(gè)周期結(jié)構(gòu)由多個(gè)胞元沿著y_g方向相互耦合而成。圖1（b）給出了其中一種胞元結(jié)構(gòu)，其由開口圓柱殼和矩形板組成，其中L_x、L_y、L_z是胞元在不同方向上的長(zhǎng)度，θ和r分別為開口圓柱殼的圓心角和半徑。在本研究中假設(shè)矩形板和開口圓柱殼都為均勻的、各向同性的彈性材料，且都具有相同的厚度，并忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切效應(yīng)的影響，故分別采用Kirchhoff薄板理論和Flügge薄殼理論進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模。

1.1 子結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

1.1.1 矩形板

首先，建立矩形板的動(dòng)力學(xué)模型，其位移和載荷如圖2所示。在本研究中，將同時(shí)考慮板的橫向和面內(nèi)振動(dòng)，并假設(shè)板在x=0和x=a上處于簡(jiǎn)支支撐（v_p=w_p=0）。根據(jù)Kirchhoff薄板理論，在小變形范圍內(nèi)，板的橫向和面內(nèi)振動(dòng)控制微分方程可以解耦為^［10?11］：

（1）

式中，分別為矩形板不同方向的位移；為圓頻率；為板的彎曲剛度；；；，E_p為板的彈性模量；ρ_p為板的密度；υ_p為板的泊松比；h_p為厚度。

矩形板的位移與力和力矩的關(guān)系為^［10?11］：

（2）

式中，和分別為矩形板內(nèi)對(duì)應(yīng)方向的面內(nèi)剪力；和為橫向剪力和彎矩。

簡(jiǎn)支邊界條件下，板的位移解可以表示為：

（3）

式中，m表示板單元在x方向上的波數(shù)；M為三角級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)；分別為矩形板在y方向的位移分量。將式（3）代入方程（1）可得到如下的位移解析解：

（4）

式中，c_i為未知系數(shù)；r_i為特征方程的4個(gè)根。將式（4）得到的位移解析解代入式（2）便可得到矩形板力和力矩的解析表達(dá)式。

沿著邊界線y=0和y=b的位移和載荷可以表示為：

（5）

（6）

式中，上標(biāo)“in”和“out”分別代表板面內(nèi)和橫向振動(dòng)；。結(jié)合式（3）～（6）及載荷和位移的關(guān)系，可得到如下矩陣：

（7）

（8）

式中，分別為與波數(shù)m相關(guān)的矩形板邊界位移和載荷組成的矩陣，其維度為4M×4M。通過式（5）～（8），可以得到矩形板的動(dòng)力學(xué)方程為：

（9）

式中，為板的面內(nèi)/橫向動(dòng)剛度矩陣。

板完整的動(dòng)力學(xué)方程可表示為：

（10）

式中，

（11）

其中每個(gè)子矩陣的維度為2M×2M。

1.1.2 開口圓柱殼

接下來，將建立開口圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程，其位移和載荷如圖3所示。在本研究中，假設(shè)開口圓柱殼兩曲邊 （α=0，α=L）為簡(jiǎn)支支撐（v_s=w_s=0）。基于Flügge 薄殼理論，開口圓柱殼的振動(dòng)控制微分方程為^［12］：

（12）

式中，，，分別為開口圓柱殼不同方向的位移。

（13）

式中，，h_s為厚度；系數(shù)A_i （i=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）的詳細(xì)表達(dá)式見文獻(xiàn)［12］。

開口圓柱殼的位移與力和力矩的關(guān)系為^［12］：

（14）

式中，為開口圓柱殼的彎曲剛度；，分別為開口圓柱殼的彈性模量和泊松比。

簡(jiǎn)支邊界條件下，開口圓柱殼的位移解可以表示為^［12］：

（15）

式中，m代表開口圓柱殼單元在α方向上的波數(shù)；為三角級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)；分別為開口圓柱殼在β方向的位移分量。

將式（15）代入式（12）便可得到開口圓柱殼的位移解析解如下：

（16）

式中，p_i （i=1，2，3，4，5，6，7，8） 為特征方程的根；δ_i、γ_i為將U_s.m和V_s.m用W_s.m表示時(shí)的系數(shù)；為未知系數(shù)。

將式（16）代入式（14）便可得到開口圓柱殼的力和力矩的解析解。與板單元類似，沿著邊界線β=θ和β=0的位移和載荷可以表示為：

（17）

式中，。結(jié)合式（14）～（17）及載荷和位移的關(guān)系，可得到如下矩陣：

（18）

式中，分別為與波數(shù)m相關(guān)的開口圓柱殼邊界位移和載荷組成的矩陣，其維度為8M×8M。通過式（17）～（18），可以得到開口圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程為：

（19）

式中，為開口圓柱殼動(dòng)剛度矩陣，其維度為8M×8M。

1.2 耦合結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

為了建立耦合結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)力學(xué)方程，需將開口圓柱殼和矩形板的動(dòng)剛度矩陣從局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的全局坐標(biāo)系下。在本研究中，選取以開口圓柱殼的圓心為原點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)系作為整體結(jié)構(gòu)的全局坐標(biāo)系（如圖4所示），對(duì)于圖1所示的波紋夾芯結(jié)構(gòu)，由于其上下面板與所建立的全局坐標(biāo)系在同一平面，因此對(duì)于矩形板單元，無需進(jìn)行坐標(biāo)變換。若芯層由矩形板組成，僅需進(jìn)行類似于文獻(xiàn)［13］描述的坐標(biāo)變換即可。此外，在組裝全局動(dòng)剛度矩陣和進(jìn)行坐標(biāo)變換之前，應(yīng)先對(duì)矩形板和開口圓柱殼的動(dòng)剛度矩陣進(jìn)行排序，具體排序過程可參考文獻(xiàn)［13］。

圖4給出了開口圓柱殼在全局坐標(biāo)下的幾何關(guān)系示意圖，其中ξ₁和ξ₂為開口角連線與全局坐標(biāo)y_g正方向之間的夾角，當(dāng)其在z_g正方向?yàn)檎粗疄樨?fù)。根據(jù)耦合邊界上的位移連續(xù)性條件和平衡條件，可得到如下關(guān)系矩陣^［14］：

（20）

式中，分別表示局部坐標(biāo)下開口圓柱殼的位移和載荷向量；分別表示全局坐標(biāo)下開口圓柱殼的位移和載荷向量。

（21）

（22）

（23）

式中，右上角上標(biāo)數(shù)字代表開口圓柱殼邊界；I、I_cosξ，I_sinξ分別為對(duì)角線元素為1、cosξ和sinξ的對(duì)角矩陣，且維度均為M×M。

結(jié)合式（20）～（23），全局坐標(biāo)下的開口圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

（24）

式中，和分別為局部和全局坐標(biāo)下的開口圓柱殼動(dòng)剛度矩陣。

一旦獲得基礎(chǔ)單元的動(dòng)剛度矩陣及其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，各種耦合結(jié)構(gòu)的全局動(dòng)剛度矩陣就可以像有限元一樣進(jìn)行組裝，其組裝過程如圖5所示，但值得注意的是，此時(shí)子結(jié)構(gòu)是通過線節(jié)點(diǎn)而不是點(diǎn)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接的。此外，由于本文建立的模型適用于x_g方向?qū)吅?jiǎn)支，而y_g方向?yàn)槿我饨?jīng)典邊界條件（自由：u_g=v_g=w_g=≠0；簡(jiǎn)支：v_g=w_g =0；固支：u_g=v_g=w_g==0），因此對(duì)于y_g方向所需的邊界條件，只需要像有限元方法一樣通過劃行劃列的方式將全局動(dòng)剛度矩陣中約束位移對(duì)應(yīng)的行和列去掉即可。

在研究周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性時(shí)，需要考慮外部載荷的施加，由于夾芯結(jié)構(gòu)外部載荷主要作用于上下面板，故本研究只考慮外部載荷作用于面板的情況。對(duì)于外部載荷，一般有兩種載荷形式，一種是點(diǎn)載荷，一種是線載荷，具體表達(dá)式如下：

點(diǎn)載荷：

（25）

線載荷：

（26）

式中，F₀、M₀分別為外部簡(jiǎn)諧力和的幅值。

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證本文建立模型的準(zhǔn)確性，對(duì)圖1所示的三種胞元進(jìn)行自由振動(dòng)分析。為了方便計(jì)算，所有開口圓柱殼和矩形板均采用相同的厚度和材料參數(shù)，包括彈性模量E=210 GPa、密度ρ=7800 kg/m³、泊松比υ=0.3和厚度h=0.003 m，且所有殼和板的尺寸分別相同，除非特殊說明。三種胞元的整體尺寸分別為L_x=0.3 m，L_y=0.2828 m，L_z=0.0586 m，其中所有開口圓柱殼的尺寸為r=0.1 m，θ=45°，L=0.3 m，耦合角度ξ_i有兩種情況，分別為90°和45°，對(duì)應(yīng)不同的坐標(biāo)系方向有不同的值，具體可見圖4。對(duì)于類型Ⅲ胞元，芯層中板的寬度L_y=0.0707 m。 此外，值得注意的是，本文給出的所有算例邊界條件均為x_g方向兩端簡(jiǎn)支約束，而y_g方向全自由。

表1給出了對(duì)邊簡(jiǎn)支條件下不同類型胞元的前10階固有頻率，其中有限元結(jié)果采用ANSYS仿真軟件計(jì)算得到。在有限元仿真中，單元類型采用SHELL63，單元尺寸為0.01×0.01 m²，該網(wǎng)格尺寸已滿足收斂性要求。從表1可以看出，所建立的模型具有良好的收斂性（粗體表示收斂值），并且計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本相同。此外，圖6展示了本文方法和有限元軟件繪制的不同類型胞元的第1階振型圖。從中不難發(fā)現(xiàn)，兩種方法繪制的振型圖吻合良好，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文建立模型的正確性。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出方法的正確性，分別采用本文方法和有限元仿真軟件ANSYS對(duì)圖1所示的類型Ⅰ周期結(jié)構(gòu)進(jìn)行諧響應(yīng)分析。在本次計(jì)算中，模型的整體尺寸為：0.3 m×1.1312 m×0.0586 m，由4個(gè)類型Ⅰ胞元組成，其有限元計(jì)算模型如圖7所示。點(diǎn)載荷F=10e^iωt作用于最左側(cè)邊界中點(diǎn)（0.15， 0， 0.0586） m，響應(yīng)提取位置為最右測(cè)邊界點(diǎn)（0.05， 1.1312，0.0586） m，如圖1（a）所示。在ANSYS中，采用SHELL63單元，并分別采用（0.015×0.015） m²粗網(wǎng)格和（0.01×0.01） m²細(xì)網(wǎng)格進(jìn)行求解。當(dāng)使用粗網(wǎng)格時(shí)，整個(gè)結(jié)構(gòu)需要5120個(gè)單元和5250個(gè)節(jié)點(diǎn)，而使用細(xì)網(wǎng)格時(shí)，達(dá)到11040個(gè)單元和11222個(gè)節(jié)點(diǎn)，可見，在有限元方法中網(wǎng)格數(shù)量是巨大的，而本文方法只需要使用28個(gè)動(dòng)剛度單元和22個(gè)線節(jié)點(diǎn)。圖8對(duì)比了兩種方法的計(jì)算結(jié)果，從中可以看出，三條曲線的整體趨勢(shì)吻合良好，且細(xì)網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果更接近本文結(jié)果。此外，從圖8中可以發(fā)現(xiàn)，在0～2000 Hz范圍內(nèi)有5個(gè)較明顯的禁帶（灰色區(qū)域），這些禁帶主要由周期結(jié)構(gòu)對(duì)彈性波或振動(dòng)的反射和折射效應(yīng)引起，當(dāng)振動(dòng)或彈性波傳播到周期性結(jié)構(gòu)表面時(shí)，根據(jù)Bragg定律，彈性波會(huì)被散射回去或者在結(jié)構(gòu)內(nèi)部被反射和折射，當(dāng)波長(zhǎng)與周期結(jié)構(gòu)的間距相適應(yīng)時(shí)，散射和反射將不斷增強(qiáng)，使得特定頻率范圍內(nèi)的振動(dòng)和彈性波無法傳播，從而形成Bragg帶隙。

如前文所述，周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)主要生成Bragg帶隙，而這種帶隙通常受到結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)的影響。接下來，將研究不同的幾何和材料參數(shù)以及夾芯類型對(duì)周期結(jié)構(gòu)帶隙特性的影響。值得注意的是，在接下來的研究中，計(jì)算模型的材料和幾何參數(shù)與前文的諧響應(yīng)分析時(shí)相同，除非另有說明。首先，探究不同厚度對(duì)帶隙特性的影響。在本次研究中，假定上下面板和芯層具有相同的厚度，并分別選取0.002，0.003和0.004 m。圖9給出了不同厚度下周期波紋板結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)曲線。從圖9中可以觀察到，不同厚度的周期波紋結(jié)構(gòu)的禁帶位置和諧振頻率變化明顯，隨著板厚的增加，周期夾芯結(jié)構(gòu)的帶隙越來越明顯。因此，若要充分利用周期結(jié)構(gòu)的帶隙特性以實(shí)現(xiàn)所需的隔振效果，結(jié)構(gòu)的厚度是一個(gè)值得考慮的重要因素。

周期結(jié)構(gòu)的帶隙特性不僅取決于其幾何參數(shù)，還受到材料特性的影響。為了探究不同材料對(duì)整體結(jié)構(gòu)帶隙的影響，在本次研究中假定夾芯結(jié)構(gòu)的上下面板采用鋼材，這是因?yàn)殇摬木哂休^高的強(qiáng)度和剛度，能夠提供足夠的支撐和保護(hù)，而芯層材料分別選取鋼材、鎂合金和鋁合金，其中，鎂合金的材料參數(shù)為E=45 GPa，ρ=1800 kg/m3，υ=0.35；鋁合金的材料參數(shù)為E=79 GPa，ρ=2800 kg/m3，υ=0.33，厚度均為0.003 m。圖10給出了不同芯層材料下周期結(jié)構(gòu)的頻響曲線。通過對(duì)比，可以觀察到鋼材芯層具有最寬的帶隙。這意味著鋼材能夠更有效地限制波在結(jié)構(gòu)中的傳播。相比之下，鎂合金芯層的帶隙相對(duì)較小，其限制波傳播的效果較差。鋁合金芯層的帶隙介于鎂合金和鋼材之間，因此芯層材料對(duì)周期結(jié)構(gòu)的影響也是不可忽略的。

接下來探究結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)帶隙特性的影響。在周期波紋結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)阻尼可以通過選擇不同的材料、調(diào)整結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等方式來實(shí)現(xiàn)。在此次計(jì)算中，采用復(fù)楊氏橫量來描述結(jié)構(gòu)阻尼的影響，阻尼系數(shù)η分別設(shè)置為0、005和0.01。圖11展示了周期結(jié)構(gòu)在不同結(jié)構(gòu)阻尼水平下的頻響曲線。從中可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)阻尼并不會(huì)影響結(jié)構(gòu)的禁帶數(shù)目和范圍，但隨著結(jié)構(gòu)阻尼的增加，共振峰值會(huì)明顯降低。因此，在設(shè)計(jì)周期波紋板的面板和夾芯時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況，選擇適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)阻尼。

此外，胞元數(shù)目也是影響B(tài)ragg帶隙的重要因素。圖12展示了沿y_g方向不同胞元數(shù)目時(shí)周期結(jié)構(gòu)的帶隙特性曲線。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，由于胞元的幾何和材料參數(shù)相同，不同胞元數(shù)目的周期結(jié)構(gòu)具有相同的禁帶位置。然而，隨著胞元數(shù)目的增加，禁帶內(nèi)的響應(yīng)下降得更為顯著，這意味著禁帶中的波在結(jié)構(gòu)中傳播更加困難。通常情況下，通過增加胞元數(shù)目可以增加周期結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，并增強(qiáng)材料的非均勻性，從而擴(kuò)大帶隙的范圍。然而，需要注意的是，胞元數(shù)目越多并不一定意味著帶隙越明顯，因?yàn)橹芷诮Y(jié)構(gòu)的帶隙特性還取決于結(jié)構(gòu)的材料和幾何參數(shù)等其他因素。

芯層是波紋夾芯結(jié)構(gòu)中不可或缺的一部分，它可以引入額外的振動(dòng)模態(tài)并影響結(jié)構(gòu)的帶隙特性。不同類型的夾芯會(huì)影響周期結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)，并對(duì)帶隙特性產(chǎn)生不同的影響。例如，水平型連通的夾芯可以提高結(jié)構(gòu)的剪切剛度，從而引入新的振動(dòng)模態(tài)，并擴(kuò)大帶隙范圍。在這種類型的夾芯中，上下面板通過夾芯角連接起來，形成類似于梁的結(jié)構(gòu)，從而增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的剪切剛度。相反，采用更柔軟的泡沫夾芯可以減小結(jié)構(gòu)的剪切剛度，并降低結(jié)構(gòu)的共振頻率，從而縮小帶隙寬度。因此，接下來將分析圖1中的三種不同形狀?yuàn)A芯結(jié)構(gòu)的帶隙特性，其中所有板和開口圓柱殼均采用前文所述的材料參數(shù)（鋼材），且三種類型的結(jié)構(gòu)整體長(zhǎng)度均為0.3 m×1.1312 m×0.0586 m，對(duì)于類型Ⅲ，芯層中板的長(zhǎng)度L_y=0.0707 m。圖13展示了不同夾芯類型的周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)的帶隙特性，可以看出在0～2000 Hz范圍內(nèi)，類型Ⅱ結(jié)構(gòu)的帶隙特性最為顯著，這是因?yàn)轭愋廷蚪Y(jié)構(gòu)具有更多的開口圓柱殼單元，增強(qiáng)了反射聲波或振動(dòng)的能力，相比之下，類型Ⅰ和類型Ⅲ的帶隙特性不怎么明顯，究其原因是其殼體單元較少，間隔較大，使得聲波和振動(dòng)容易穿透。

為了深入研究夾芯類型對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙特性的影響，本文還構(gòu)建了一個(gè)由矩形板夾芯組成的三角形周期夾芯結(jié)構(gòu)，如圖14所示。該結(jié)構(gòu)的整體尺寸與前文研究中相同，即0.3 m×1.1312 m×0.0586 m，中間夾芯板的尺寸為0.3 m×0.1531 m，板與板之間的夾角為22.51°。圖15展示了三角形周期夾芯結(jié)構(gòu)和前文建立的類型Ⅰ周期夾芯結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)曲線。在計(jì)算過程中，仍然采用鋼材材料，并保持激勵(lì)力大小、激勵(lì)位置、響應(yīng)位置以及約束條件與之前的研究相同。從圖15中可以觀察到，在給定的頻段內(nèi)，類型Ⅰ波紋板具有更寬的禁帶，表明它能更有效地抑制振動(dòng)。然而，三角形波紋板具有更簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)和便于制造的優(yōu)勢(shì)，因此在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)具體需求和約束條件選擇適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)形式。

3 結(jié) 論

本文基于動(dòng)剛度方法建立了由開口圓柱殼和矩形板組成的周期夾芯結(jié)構(gòu)的通用解析模型。首先詳細(xì)推導(dǎo)了子結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度矩陣，并闡述了耦合結(jié)構(gòu)全局動(dòng)剛度矩陣的組裝過程和外部載荷的處理方法。接著，基于建立的解析模型計(jì)算了三種類型的周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，并將計(jì)算結(jié)果與有限元仿真值進(jìn)行比較。結(jié)果表明，所建立的解析模型能夠在較少自由度下獲得準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。此外，還探究了周期結(jié)構(gòu)幾何、材料參數(shù)以及夾芯類型對(duì)結(jié)構(gòu)帶隙特性的影響。研究結(jié)果表明，增加結(jié)構(gòu)的厚度有利于周期結(jié)構(gòu)獲得更寬的帶隙，而增加胞元數(shù)目也會(huì)導(dǎo)致帶隙寬度的增加。此外，隨著夾芯類型的變化，帶隙寬度也會(huì)發(fā)生變化。結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的禁帶數(shù)目和范圍沒有明顯影響，但隨著結(jié)構(gòu)阻尼的增加，共振峰值會(huì)顯著降低。總之，這項(xiàng)研究為波紋夾芯結(jié)構(gòu)的理論建模提供了思路和方法，為周期波紋夾芯結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了理論參考。

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第一作者： 李直兵（1996―），男，博士研究生。E-mail：zhibingli@hrbeu.edu.cn

通信作者： 靳國(guó)永（1980―），男，博士，教授。E-mail：guoyongjin@hrbeu.edu.cn

基金項(xiàng)目："國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（5225109，52241101，52271309）；黑龍江省優(yōu)秀青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（YQ2022E104）