機(jī)械臂非奇異快速終端滑模迭代學(xué)習(xí)軌跡跟蹤控制研究

摘要：針對機(jī)械臂建模參數(shù)精準(zhǔn)性與擾動不確定性的精確軌跡跟蹤控制問題，提出了一種非奇異快速終端滑模控制與迭代學(xué)習(xí)控制相融合的控制方法。首先，為保證跟蹤誤差的收斂速度，避免收斂中的奇異性問題，設(shè)計(jì)采用飽和函數(shù)趨近律的非奇異快速終端滑模控制器。其次，為進(jìn)一步提高軌跡跟蹤精度，設(shè)計(jì)誤差迭代學(xué)習(xí)控制器，并對所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行了收斂性分析。最后，在Simulink軟件中搭建所提方法的控制系統(tǒng)，進(jìn)行迭代控制與對比控制仿真實(shí)驗(yàn)，并同步開展機(jī)械臂跟蹤控制真機(jī)實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明：在迭代實(shí)驗(yàn)中，關(guān)節(jié)最大平均穩(wěn)態(tài)誤差提升了72%；在對比實(shí)驗(yàn)中，與比例微分（PD）型迭代學(xué)習(xí)控制和PD型線性滑模控制相比，最大平均穩(wěn)態(tài)誤差分別提升了97%、51%，最大響應(yīng)調(diào)整時(shí)間分別減少70%、50%；在真機(jī)實(shí)驗(yàn)中，機(jī)械臂跟蹤誤差穩(wěn)定在［－0.05，0.05］rad區(qū)間內(nèi)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果充分驗(yàn)證了所提控制方法的正確性與有效性，為解決機(jī)械臂軌跡跟蹤中的不確定性問題提供了一種有效的控制方案。

關(guān)鍵詞：機(jī)械臂；迭代學(xué)習(xí)控制；非奇異快速終端滑模控制；軌跡跟蹤

中圖分類號：TP241"文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202501012"文章編號：0253-987X（2025）01-0125-12

Research on Trajectory Tracking Control of Non-Singular Fast Terminal Sliding Mode Iterative Learning for Robot Manipulators

CHEN Tao， LI Xiaojuan， LIU Jianxuan， WANG Lizhong

（School of Mechanical Engineering， Xinjiang University， 830047， Urumqi）

Abstract：In response to the challenge of precise trajectory tracking control for robot manipulators， influenced by the accuracy of modeling parameters and disturbance uncertainties， a novel control approach that combines non-singular fast terminal sliding mode control with iterative learning control is presented. First， to ensure the convergence speed of tracking errors and prevent singularity issues during convergence， a non-singular fast terminal sliding mode controller employing the law of approach to saturation is designed. Second， to further improve trajectory tracking accuracy， an error iterative learning controller is developed， and the convergence of these controllers is analyzed. Finally， the control system based on the proposed method is implemented in Simulink for iterative and comparative control simulation experiments. Additionally， real-machine experiments for robot manipulator tracking control are carried out. The experimental results show that： in the iterative experiment， the maximum average steady-state error in joints increases by 72%; in the comparative experiment， compared to PD-type iterative learning control and PD-type linear sliding mode control， the maximum average steady-state error rises by 97% and 51%， respectively， while the maximum response adjustment time decreases by 70% and 50%， respectively; in the real-machine experiment， the robot manipulator tracking error stabilizes within the range of ［－0.05， 0.05］rad.These findings thoroughly validate the effectiveness and accuracy of the proposed control method， offering an effective control solution for addressing uncertainties in robot manipulator trajectory tracking.

Keywords：robot manipulators; non-singular fast terminal sliding mode control; iterative learning control; trajectory tracking

近年來，隨著材料科學(xué)、電子技術(shù)和機(jī)械工程的迅猛發(fā)展，機(jī)械臂在工業(yè)自動化^［1］、農(nóng)業(yè)采摘^［2］、醫(yī)療手術(shù)^［3］等領(lǐng)域的應(yīng)用愈加廣泛。隨著機(jī)械臂的應(yīng)用場景的不斷精細(xì)化和復(fù)雜化，對機(jī)械臂控制精度要求也在不斷提升。然而，機(jī)械臂系統(tǒng)具有高度非線性和強(qiáng)耦合特性，且受到建模參數(shù)精準(zhǔn)性和擾動不確定性等因素影響，實(shí)現(xiàn)不確定機(jī)械臂非線性系統(tǒng)的高精度軌跡跟蹤控制，成為控制領(lǐng)域的重要研究問題之一。為此，有必要設(shè)計(jì)出具有高精度和強(qiáng)魯棒性的軌跡跟蹤控制器，以確保機(jī)械臂在各種復(fù)雜應(yīng)用場景中的可靠性能和精準(zhǔn)操作。

為提高機(jī)械臂的軌跡跟蹤精度，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量研究，提出了多種控制策略，包括PID控制^［4-5］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制^［6-7］、滑模控制^［8-9］、迭代學(xué)習(xí)控制^［10-11］和模糊控制^［12-13］等。其中，滑模控制因其快速響應(yīng)和強(qiáng)魯棒性的顯著優(yōu)勢，尤其是切換項(xiàng)在抑制擾動和處理不確定參數(shù)方面的卓越表現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用于機(jī)械臂非線性系統(tǒng)控制中^［14-15］。隨著滑模控制技術(shù)的發(fā)展，從線性滑模控制（SMC）^［16］，到終端滑模控制（TSMC）^［17］，再到非奇異快速終端滑模控制（NFTSMC）^［18］，滑模控制不斷優(yōu)化和改進(jìn)，改善了系統(tǒng)的控制精度和魯棒性。

考慮到機(jī)械臂系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性和強(qiáng)耦合性的特點(diǎn)，采用單一的控制方法很難使軌跡跟蹤達(dá)到滿意的效果。因此，研究者們提出了多種融合的控制策略，以期待在應(yīng)對復(fù)雜系統(tǒng)動態(tài)行為方面取得更好的效果。Cruz-Ortiz等^［19］設(shè)計(jì)了基于分布式狀態(tài)約束的非奇異終端滑模控制，實(shí)現(xiàn)了二軸機(jī)械臂在全狀態(tài)約束下的有限時(shí)間軌跡跟蹤。Guo等^［20］提出了一種帶有非線性干擾觀測器的非矢量終端滑模控制器軌跡跟蹤方法，實(shí)現(xiàn)了二自由度機(jī)械臂的扭矩輸出無顫振、平滑，且具有精確的跟蹤效果。賈華等^［21］設(shè)計(jì)了對機(jī)械臂進(jìn)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分塊逼近的方法，減少了軌跡穩(wěn)態(tài)誤差。

綜上所述，融合多種控制策略可以提升機(jī)械臂的軌跡跟蹤性能，而迭代學(xué)習(xí)控制（ILC）作為一種基于重復(fù)性任務(wù)的控制方法，利用系統(tǒng)的誤差信息不斷優(yōu)化控制輸入，提高系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度和魯棒性。結(jié)合ILC，研究者們設(shè)計(jì)了多種融合控制策略，殷春武等^［22］提出了基于時(shí)變滑模面的 PID型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制策略，達(dá)到二自由度機(jī)器人軌跡局部精確跟蹤目的。Wu等^［23］將二階終端滑模與迭代學(xué)習(xí)控制相結(jié)合，提高了工業(yè)機(jī)械臂的控制精度。張程琳等^［24］針對多自由度機(jī)械臂系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑模模糊邏輯迭代學(xué)習(xí)跟蹤控制方法，提高了六自由度工業(yè)機(jī)械臂系統(tǒng)的魯棒性。

在上述研究啟發(fā)下，本文設(shè)計(jì)了一種機(jī)械臂非奇異快速終端滑模迭代學(xué)習(xí)控制（NFTSMILC）方案。首先，設(shè)計(jì)非奇異快速終端滑模控制器，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)有限時(shí)間內(nèi)快速收斂到滑模面，采用飽和函數(shù)的趨近律，增強(qiáng)機(jī)械臂系統(tǒng)的抗干擾能力，并能減少系統(tǒng)的抖振。其次，設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制器，對跟蹤誤差信號進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)并更新控制變量，以實(shí)現(xiàn)對期望軌跡的高精度跟蹤，改善系統(tǒng)的性能。最后，在Simulink軟件中對機(jī)械臂進(jìn)行仿真控制實(shí)驗(yàn)，并在機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)平臺驗(yàn)證了所提控制方案的有效性與優(yōu)越性。

1"機(jī)械臂動力學(xué)模型建立

考慮6關(guān)節(jié)不確定機(jī)械臂動力學(xué)系統(tǒng)，其方程可表示如下

M（q）+C（q，）+G（q）=τ+τd（1）

式中：q、、∈R^6×1分別為關(guān)節(jié)位置、關(guān)節(jié)角速度和關(guān)節(jié)角加速度；M（q）∈R^6×6表示慣性矩陣；C（q，）∈R^6×6表示離心力和科氏力；G（q）∈R^6×1表示重力；τ∈R^6×1表示控制輸入關(guān)節(jié)力矩；τd∈R^6×1表示外部未知擾動。

在實(shí)際機(jī)械臂系統(tǒng)建模過程中，受到建模誤差、物理參數(shù)誤差等因素的影響，機(jī)械臂系統(tǒng)存在模型不確定性，將不確定性表示為

M（q）=M₀（q）+ΔM（q）

C（q，）=C₀（q，）+ΔC（q，）

G（q）=C₀（q）+ΔC（q）

（2）

式中：M₀（q）、C₀（q，）、G₀（q）為名義模型參數(shù)；M（q）、C（q，）、G（q）為實(shí)際模型參數(shù)；ΔM（q）、ΔC（q，）、ΔG（q）為名義模型參數(shù)的誤差。

考慮模型參數(shù)誤差影響，將式（1）改寫為

M₀（q）+C₀（q，）+G₀（q）=τ+Y（q，，）（3）

式中：Y（q，，）=τd－ΔM（q）－ΔC（q，）－ΔG（q）表示系統(tǒng)的不確定項(xiàng)和外界干擾的集總擾動。

性質(zhì)1^［25］"慣性M₀（q）為對稱正定矩陣，存在正數(shù)λ₁、λ₂，滿足

λ₁‖x‖²≤xTM₀（q）x≤λ₂‖x‖²， x∈R⁶（4）

性質(zhì)2^［26］"₀（q）－2C₀（q，）為斜對稱矩陣，滿足

xT（₀（q）-2C₀（q，））x=0， x∈R⁶（5）

2"控制器設(shè)計(jì)與收斂性分析

2.1"非奇異快速終端滑模控制器設(shè)計(jì)

定義1"為簡化分析，定義誤差如下

e=［e₁，e₂，e₃，e₄，e₅，e₆］T

sgn（e）^a=|e|^asgn（e）（6）

誤差變量e、、定義為

e=qd-q

=d-

=d-

（7）

式中：qd、d、d分別為期望軌跡、速度、加速度；q、、分別為實(shí)際軌跡、速度、加速度。

綜合考慮收斂速度和奇異問題，將NFTSMC滑模面設(shè)計(jì)為

s=e+αsgn（e）^r₁+βsgn（）^r₂

（8）

式中：α、β為正常數(shù)；1lt;r₁lt;2，r₂gt;r₁。

對滑模函數(shù)式（8）求導(dǎo)，可得表達(dá)式

=+αr₁|e|^r₁^-1sgn（e）+βr₂||^r₂^-1sgn（）

（9）

將式（3）和式（7）帶入式（9），可得

=+αr₁|e|^r₁^-1sgn（e）+βr₂||^r₂^-1sgn（）［d-

M^-1₀（τ-C₀-G₀）］

（10）

為了提高系統(tǒng)的抗干擾能力，我們設(shè)計(jì)等效控制律τ_eq以抵消系統(tǒng)已知的動態(tài)特性，設(shè)計(jì)切換控制律τ_sw以補(bǔ)償系統(tǒng)擾動，具體控制律如下

τ=τ_eq+τ_sw（11）

令=0，可得等效控制率τ_eq

τ_eq=M₀（q）［_d+（βr₂）^-1sgn（）||^2-r₂

（1+ar₁|e|^r₁^-1sgn（e））］+C₀+G₀（12）

在趨近律的選取中，采用飽和函數(shù)的指數(shù)趨近律，其表現(xiàn)形式如下

=-ks-μsat（s）（13）

其中：k、μgt;0為趨近律參數(shù)矩陣。

飽和函數(shù)sat（s）的表達(dá)式為

sat（s）=1，sgt;0

s/Θ，|s|≤Θ

-1，slt;-Θ（14）

式中：邊界層厚度Θgt;0，在邊界層內(nèi)采用線性化反饋控制，在邊界層之外采用切換控制。

等效控制率τ_sw為

τ_sw=M₀［ks+μsat（s）］（15）

將式（12）和式（15）帶入式（11），可以得控制率表達(dá)式

τ=M₀（q）［_d+（βr₂）^-1sgn（）||^2-r₂（1+

ar₁|e|^r₁^-1sgn（e））+ks+μsat（s）］+C₀+G₀（16）

2.2"迭代學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)

迭代學(xué)習(xí)控制通過修正誤差來改善控制輸入量，實(shí)現(xiàn)高精度期望軌跡跟蹤。閉環(huán)PD型迭代利用當(dāng)次誤差進(jìn)行學(xué)習(xí)，具有較好的收斂速度，因此，采用PD型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律

u_k+1（t）=u_k（t）+Kd_k+1（t）+Kpe_k+1（t）

（17）

式中：u_k為迭代控制輸入量；u₀（t）=0；Kd、Kp為正定增益參數(shù)矩陣；_k+1（t）=d（t）－_k+1（t）；e_k+1（t）=qd（t）－q_k+1（t）。

將式（16）融合PD型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律后滑模迭代算法的控制律為

u_k+1（t）=u_k（t）+Kd_k+1（t）+

Kpe_k+1（t）+τ（18）

若令Γ=Kd_k+1（t）+Kpe_k+1（t）+τ，則式（18）可改寫為

u_k+1（t）=u_k（t）+Γ（19）

根據(jù)式（3），記第k次迭代的機(jī)器人動力學(xué)系統(tǒng)為

M₀（q_k）_k+C₀（q_k，_k）_k+G₀（q_k）=u_k（t）+Γ（20）

由此可得，所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)整體流程如圖1所示。

2.3"控制器收斂性分析

構(gòu)建正定Lyapunov函數(shù)

V=12sTM₀sgt;0（21）

對V求導(dǎo)，可得

=sTM₀+12sT₀s=

sTM₀+12sT（₀-2C₀）s（22）

由性質(zhì)2可知xT（₀（q）－2C₀（q，））x=0，則式（22）改寫為

=sTM₀（23）

將式（7）～式（9）、式（16）帶入式（23），可得

=sT（+αr₁|e|^r₁^-1+βr₂||^r₂^-1）=

sTM₀（-ks-μsat（s））=

-sTM₀ks-sTM₀μsat（s）lt;0（24）

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，本文設(shè)計(jì)的非奇異快速終端滑模面可使跟蹤誤差收斂，閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。由式（24）可知，隨著時(shí)間是單調(diào)遞減的，已知M₀，s在整個(gè)運(yùn)行周期內(nèi)連續(xù)且有界，則V、在迭代周期內(nèi)連續(xù)且有界。因此，在k個(gè)迭代周期內(nèi)有

ΔV_k（t）=V_k（t）-V_k-1（t）=

V_k（0）+∫^t₀V_k（x）dx-V_k-1（t） （25）

機(jī)械臂在迭代周期中，迭代周期結(jié)束為下一次迭代周期的開始，此刻機(jī)械臂動力學(xué)模型與位置信息為相同，即V_k（0）=V_k-1（t），因此

ΔV_k（t）=∫^t₀V_k（x）dx（26）

由式（24）可知lt;0，則式（26）的ΔV_k（t）lt;0，所以Lyapunov函數(shù)V_k（t）隨迭代次數(shù)增加而遞減。對ΔV_k（t）進(jìn)行累加，可得

∑ΔV_k（t）=∑∫^t₀V_k（x）dx（27）

已知V、在迭代周期內(nèi)連續(xù)且有界，可得級數(shù)∑ΔV_k（t）有界，又已知ΔV_k（t）lt;0，則∑ΔV_k（t）為單調(diào)遞減且有界。根據(jù)數(shù)列性質(zhì)單調(diào)有界必有極限及級數(shù)收斂的必要條件，可知級數(shù)∑ΔV_k（t）收斂，且可得

limk→∞∫^t₀V_k（x）dx=0（28）

隨著迭代次數(shù)的增加，誤差e在周期滿足e≡0。由此說明本文所設(shè)計(jì)的控制器能實(shí)現(xiàn)隨著迭代次數(shù)的增加，對期望軌跡的精確跟蹤。

3"實(shí)驗(yàn)與分析

定義2"平均穩(wěn)態(tài)誤差為周期內(nèi)穩(wěn)態(tài)誤差的平均值，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

e_ss=1T∫^t₀^+T_t0e（t）dt（29）

式中： t₀是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的起始時(shí)間； T是用于計(jì)算平均穩(wěn)態(tài)誤差的時(shí)間區(qū)間的長度。

為驗(yàn)證所提控制方案的有效性與可行性，在Simulink軟件中搭建控制模型，本文使用六軸機(jī)械臂為控制對象，結(jié)構(gòu)如圖2所示，各關(guān)節(jié)動力學(xué)參數(shù)如表1所示。

為了驗(yàn)證所提控制方案的有效性與優(yōu)越性，設(shè)置基本參數(shù)、外部干擾、期望軌跡如下所示。

設(shè)置外部干擾為

τd=2（cos3t）³

2（sint）³

（cos2t）²

0.5sin（0.2t）

0.15e^-t

0.07sinπ100（30）

設(shè)置期望軌跡為

qd=

sin-t+π12

0.1sint+π6+e^-1

1.4e^-t

0.25cos（0.5t）+1.4e^-1

0.7sin（0.1t）

-cosπ15t（31）

3.1"迭代仿真實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證所提控制算法的有效性，在Simulink中進(jìn)行迭代實(shí)驗(yàn)。仿真時(shí)間設(shè)置為10s，采樣頻率為0.001s，設(shè)置機(jī)械臂的初始狀態(tài)為0rad，外部擾動按式（30）設(shè)定，期望軌跡按式（31）設(shè)定，其他仿真參數(shù)詳見表2。對所提算法分別進(jìn)行0～15次迭代計(jì)算，軌跡跟蹤效果如圖4所示。為對比不同迭代次數(shù)的性能，采用平均穩(wěn)態(tài)誤差來評估控制算法的性能，6個(gè)關(guān)節(jié)對比結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以分析出，在第0次迭代到第15次迭代過程中，隨著迭代次數(shù)的增加，平均穩(wěn)態(tài)誤差逐次減少，軌跡跟蹤精度逐步提升。初始控制輸入未經(jīng)過修正時(shí)，軌跡跟蹤誤差較大，各關(guān)節(jié)受耦合影響明顯；第1次迭代后，第1～6關(guān)節(jié)的平均穩(wěn)態(tài)誤差分別減少了約71%、25%、54%、55%、64%、72%；在第5次迭代后，第1～6關(guān)節(jié)的平均穩(wěn)態(tài)誤差分別減少了約28%、25%、35%、40%、41%、55%；在第10次迭代后，第1～6關(guān)節(jié)的平均穩(wěn)態(tài)誤差分別減少了約25%、37%、29%、30%、29%、20%。經(jīng)過多次迭代學(xué)習(xí)，系統(tǒng)對耦合效應(yīng)的抑制能力增強(qiáng)，軌跡跟蹤誤差顯著減少，達(dá)到較高精度的軌跡跟蹤效果，關(guān)節(jié)間耦合影響基本被克服。從圖3可以看出，第1次迭代后跟蹤效果提升最為明顯，其中第6關(guān)節(jié)平均穩(wěn)態(tài)誤差最大減幅為72%；在第5次迭代后，平均穩(wěn)態(tài)誤差的改善效果趨于平緩，曲線下降速率變。因此，綜合考慮跟蹤效果和迭代次數(shù)，在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中迭代次數(shù)選擇為5次，以實(shí)現(xiàn)較少迭代次數(shù)下的最佳控制效果。

通過對圖3的分析，選取第1次、第5次、第10次軌跡跟蹤效果進(jìn)行代表性分析。由圖4可知，存在外部干擾的情況下，隨著迭代次數(shù)的增加，各個(gè)關(guān)節(jié)軌跡跟蹤效果顯著提升，有效抑制各關(guān)節(jié)之間的耦合效應(yīng)。這表明本文所提的控制算法在應(yīng)對外部干擾時(shí)具有良好的適應(yīng)能力，隨著迭代過程的進(jìn)行，系統(tǒng)能夠逐步調(diào)整控制誤差，從而提高軌跡跟蹤的精度。

3.2"無初態(tài)對比控制仿真實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證所提算法的優(yōu)越性，設(shè)置與PD型迭代學(xué)習(xí)控制（PDILC）^［25］、PD型線性滑模控制（SMILC）^［24］對比實(shí)驗(yàn)。仿真時(shí)間設(shè)置為10s，采樣頻率為0.001s，設(shè)置機(jī)械臂的初始狀態(tài)為0rad，外部擾動按式（30）設(shè)定，期望軌跡按式（31）設(shè)定，其他仿真參數(shù)詳見表2。，設(shè)置迭代次數(shù)為5次。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5～7所示。

PD型迭代學(xué)習(xí)控制表達(dá)式為

u_k+1（t）=u_k（t）+Kd_k+1（t）+Kpe_k+1（32）

令s₁為線滑模面，cgt;0為增益參數(shù)，PD型線性滑模控制表達(dá)式為

s₁=ce+

u_k+1（t）=u_k（t）+M₀（q）［d+ks₁+μsat（s₁）］+C₀+G₀

c=2（33）

分析圖5與圖6可知，經(jīng)過5次迭代后3種控制算法均可以跟蹤上期望軌跡。從跟蹤效果上分析，PDILC的控制精度欠佳，存在明顯的超調(diào)和波動誤差，SMILC在跟蹤精度方面有所改善，而NFTSMILC跟蹤精度最好。從收斂速度上分析，NFTSMILC控制算法能實(shí)現(xiàn)在很短的時(shí)間內(nèi)保證機(jī)械臂完全跟蹤上期望軌跡，明顯優(yōu)于其他兩種控制算法。通過對6個(gè)關(guān)節(jié)的跟蹤效果分析發(fā)現(xiàn)，在強(qiáng)耦合的機(jī)械臂系統(tǒng)中，本文提出的NFTSMILC控制算法在所有關(guān)節(jié)上均能精確地跟蹤期望軌跡，有效克服了耦合效應(yīng)，顯著提高整體系統(tǒng)的控制精度和魯棒性。

為進(jìn)一步對比3種控制算法的性能，采用關(guān)節(jié)跟蹤的響應(yīng)調(diào)整時(shí)間（取誤差首次穩(wěn)定在０的時(shí)間）、關(guān)節(jié)跟蹤的平均穩(wěn)態(tài)誤差來評估控制器的性能，6個(gè)關(guān)節(jié)的對比結(jié)果的仿真數(shù)據(jù)見表3所示。

分析表3中的數(shù)據(jù)可知，從平均穩(wěn)態(tài)誤差與響應(yīng)調(diào)整時(shí)間的角度分析，NFTSMILC的總體性能相比于PDILC、SMILC有顯著提升。以1～5關(guān)節(jié)進(jìn)行分析，NFTSMILC相比于PDILC，在平均穩(wěn)態(tài)誤差方面分別提升了約97%、96%、92%、93%、94%，在響應(yīng)調(diào)整時(shí)間上分別減少了約69%、68%、70%、66%、69%；相比于SMILC，NFTSMILC在平均穩(wěn)態(tài)誤差方面分別提升了約51%、32%、27%、23%、45%，在響應(yīng)調(diào)整時(shí)間上分別減少了約25%、32%、50%、39%、38%。通過對比分析，可知NFTSMILC控制算法在顯著提高軌跡跟蹤精度的同時(shí)，大幅縮短了系統(tǒng)的響應(yīng)調(diào)整時(shí)間，驗(yàn)證了NFTSMILC算法在保證快速收斂的同時(shí)，有效降低了平均穩(wěn)態(tài)誤差，提升了系統(tǒng)的控制精度和魯棒性。

分析圖7可知，為克服機(jī)械臂系統(tǒng)建模參數(shù)的不精確性與外部擾動，初始控制輸入力矩較大，在控制關(guān)節(jié)達(dá)到期望的位置后，控制輸入力矩逐漸趨于穩(wěn)定，波動幅度顯著減小。進(jìn)一步與SMILC和PDILC兩種控制算法對比，NFTSMILC在啟動時(shí)所需的最大力矩較小，能夠更快速地收斂到穩(wěn)定狀態(tài)，控制力矩曲線更為平滑。這從側(cè)面反映出，NFTSMILC控制算法在抑制擾動和處理不確定參數(shù)方面具有顯著優(yōu)勢，更快的收斂速度和更平滑的力矩曲線反映了算法在提高系統(tǒng)控制精度和穩(wěn)定性方面的優(yōu)越性能。

3.3"機(jī)械臂真機(jī)實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提控制算法在實(shí)際應(yīng)用中的控制性能，搭建機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)平臺，如圖8所示，進(jìn)行軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)。機(jī)械臂平臺硬件系統(tǒng)主要包括六軸機(jī)械臂本體、控制器、上位機(jī)及底座。上位機(jī)用于編譯、下發(fā)、顯示數(shù)據(jù)；控制器為基于ARM Cortex-A55的CSPACE半實(shí)物仿真平臺，用于控制輸入、采集、轉(zhuǎn)換及上傳數(shù)據(jù)；機(jī)械臂型號為ROCR6，執(zhí)行動作及反饋數(shù)據(jù)信息。在實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置6關(guān)節(jié)的期望軌跡均為sint，將Simulink仿真控制模型中的反饋輸入替換為控制器采集的機(jī)械臂實(shí)際位置數(shù)據(jù)，將仿真控制力矩輸入模型替換為控制器的輸入模塊；在Simulink中編譯整個(gè)控制模型，生成可執(zhí)行文件，并在控制器上運(yùn)行可執(zhí)行文件；通過EtherCAT通信將控制力矩發(fā)送至機(jī)械臂關(guān)節(jié)，以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制。在運(yùn)行過程中，通過上位機(jī)實(shí)時(shí)觀測機(jī)械臂關(guān)節(jié)跟蹤軌跡情況。

從跟蹤效果分析，圖9中所有關(guān)節(jié)均能準(zhǔn)確跟蹤上期望軌跡，尤其第5和第6關(guān)節(jié)跟蹤效果最佳。從跟蹤誤差分析，圖10中機(jī)械臂關(guān)節(jié)跟蹤誤差大約在0.5s內(nèi)快速收斂，并穩(wěn)定在［－0.05，0.05］rad區(qū)間內(nèi)，波動幅度較小；從表4數(shù)據(jù)可知，在軌跡跟蹤過程中，本文提出的控制策略能夠?qū)⒏櫿`差控制在較小的范圍，驗(yàn)證了控制策略能夠在有限時(shí)間內(nèi)迅速收斂，確保機(jī)械臂的高精度軌跡跟蹤性能。

從控制關(guān)節(jié)輸入力矩分析，圖11中每個(gè)關(guān)節(jié)的力矩均能夠迅速響應(yīng)并達(dá)到穩(wěn)態(tài)，顯示出控制策略在不同關(guān)節(jié)上的良好動態(tài)性能，其中第5和第6關(guān)節(jié)的力矩曲線波動較小。同時(shí)，還分析出關(guān)節(jié)間的耦合效應(yīng)差異，第6關(guān)節(jié)處于機(jī)械臂末端，可能受到的負(fù)載變化和外部干擾較少，因此力矩曲線波動較小；第2關(guān)節(jié)處于較靠近基座的位置，承受較大的力和力矩，且耦合效應(yīng)更為顯著，導(dǎo)致其力矩曲線波動較大。

從仿真實(shí)驗(yàn)與真機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，本文所提控制算法在實(shí)驗(yàn)中展現(xiàn)了優(yōu)異的軌跡跟蹤性能和快速收斂速度，在控制精度和穩(wěn)定性方面均能滿足機(jī)械臂控制要求，能夠有效應(yīng)對機(jī)械臂系統(tǒng)的非線性、強(qiáng)耦合和外部擾動等復(fù)雜情況。

4"結(jié)"論

本文提出了一種非奇異快速終端滑模迭代學(xué)習(xí)控制算法，以解決協(xié)作機(jī)械臂受不確定外部干擾及自身參數(shù)不精確影響的軌跡跟蹤問題。非奇異快速終端滑模控制器實(shí)現(xiàn)了對機(jī)械臂系統(tǒng)擾動和不確定參數(shù)的有效抑制，確保了控制誤差的快速收斂；迭代學(xué)習(xí)控制器通過對誤差的逐步校正，不斷提高對期望軌跡的跟蹤精度。經(jīng)迭代與對比仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了NFTSMILC能有效降低平均穩(wěn)態(tài)誤差且保證快速收斂，同時(shí)在處理非線性和耦合效應(yīng)方面表現(xiàn)優(yōu)越；在真機(jī)實(shí)驗(yàn)中也驗(yàn)證了控制策略的有效性。在接下來的工作中，考慮將控制策略引入采摘場景，通過對控制參數(shù)的調(diào)整，進(jìn)一步驗(yàn)證控制策略在復(fù)雜環(huán)境的控制性能。

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（編輯"杜秀杰）