類比探究 整體感知

第6章 一次函數

領" 銜" 人：王競進（正高級教師）

組稿團隊：江蘇省鹽城市王競進初中數學名師工作室

一次函數是在我們已經學習了代數式與代數式的值、方程（組）、數軸與平面直角坐標系等有關知識，并積累了一系列研究數學問題的思想、方法與策略的基礎上展開探索的內容?！昂瘮怠敝饕芯孔兞恐g的關系，一次函數圖象與性質的研究方法是今后進一步研究反比例函數、二次函數乃至高中的指數函數、對數函數、冪函數等函數圖象與性質的基礎，是數學思維的一次飛躍。

從實際問題出發，感悟抽象過程

與方程、不等式的研究方式類似，函數也是從同學們熟悉的實際問題出發，逐步抽象、概括形成的概念。

例如，本章起始安排的是我們七年級就非常熟悉的用火柴棒搭小魚的數學活動。隨著所搭小魚條數的變化，所需火柴棒的根數也在變化；當所搭小魚條數確定時，所需火柴棒的根數也確定。由此引出兩個變量的關系：一個變量變化時，另一個變量也隨之變化；一個變量確定時，另一個變量也隨之確定。再抽象到兩個變量x和y的關系：如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么我們稱y是x的函數。

從特殊圖象入手，凸顯數形結合思想

函數的研究離不開圖象和性質，其中的討論運用了數形結合的數學思想。探究一次函數的圖象和性質時，我們可以從特殊的、簡單的表達式入手，先畫出它的圖象，再討論其特征和性質。

在一次函數y=kx+b中，我們可以為k、b賦予一些特殊的、簡單的值，然后通過列表、描點、連線，畫出它的圖象。例如，我們可以畫出函數y=x-1的圖象，如圖1。

再通過觀察、比較、分析、類比，得到一次函數的性質。

在一次函數y=kx+b中：

如果k＞0，函數值y隨自變量x的增大而增大；

如果k＜0，函數值y隨自變量x的增大而減??；

如果b＞0，圖象與y軸交于原點上方；

如果b=0，圖象與y軸交于原點；

如果b＜0，圖象與y軸交于原點下方。

加強知識之間的內在聯系，

完善知識體系

一次函數與方程、方程組有著密切的聯系，它們可以共同應用于解決日常生活中的問題。

例如，一根彈簧的長度為10厘米，當彈簧受到x牛的拉力時（x不超過100），彈簧的長度是y（厘米），求拉力為70牛時，彈簧的長度。有關數據如表1所示：

從表中我們可以看出，拉力和彈簧長度增加量呈線性增長。因此，我們可以設函數表達式為y=kx+b。

根據題意，可列出方程組

解得k=0.05，b=10。所以一次函數表達式為y=0.05x+10。

當x=70時，y=10+0.05×70=13.5。所以當拉力為70牛時，彈簧長度是13.5厘米。

無論是在本章學習一次函數的概念、性質與應用，還是后續研究反比例函數、二次函數的概念、性質與應用時，我們都要能夠在“類比探究，整體感知”的過程中，形成研究函數的一般路徑、方法、策略，不斷發展自己的數學素養。

（作者單位：江蘇省建湖縣教育局教研室）