新高考理念下高中立體幾何的函數(shù)建模探究

【摘要】新課標(biāo)、新教材、新高考不僅對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容，更重要的是在提高綜合素養(yǎng)方面作出規(guī)定.在高中立體幾何部分，除對(duì)學(xué)生獨(dú)立思考能力、科學(xué)探究能力和團(tuán)隊(duì)合作能力等綜合素質(zhì)提出要求，對(duì)學(xué)生空間想象能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)建模能力又提出了更高的要求.針對(duì)新高考對(duì)空間幾何體的表面積、體積以及對(duì)空間角和距離的計(jì)算能力的要求，教師不僅要加大訓(xùn)練力度，更要注重對(duì)學(xué)生建模能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生能找到適合自己的解題方法.動(dòng)態(tài)翻折中的函數(shù)問(wèn)題主要以立體幾何為背景，這類問(wèn)題通常以中檔題的形式呈現(xiàn).解決方法是根據(jù)動(dòng)態(tài)特征，引入變量，抓住不變規(guī)律，建立函數(shù)關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】立體幾何;動(dòng)態(tài)翻折;數(shù)學(xué)建模

典型問(wèn)題

方法點(diǎn)撥在求解以上關(guān)于立體幾何中的面積或體積的最值問(wèn)題時(shí)，要有意識(shí)通過(guò)研究關(guān)鍵元素與面積或體積之間的關(guān)系，合理選擇函數(shù)關(guān)系，以便實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確建模.翻折是由平面向空間的一個(gè)轉(zhuǎn)化，解決問(wèn)題的過(guò)程中，要保持頭腦的靈活，條理清楚.明確翻折前后的圖形既有區(qū)別，又存在一定的聯(lián)系.確定好哪些量變了，哪些沒(méi)變.要善于“動(dòng)中取靜”，抓住不變量，這些不變的量往往能夠起到“紐帶”的關(guān)鍵作用.

方法點(diǎn)撥在求解以上問(wèn)題時(shí)，要從已知條件中所給的情境出發(fā)，分析關(guān)鍵信息與所求問(wèn)題的關(guān)聯(lián)性，分析運(yùn)動(dòng)中的關(guān)鍵時(shí)刻，以便準(zhǔn)確判斷取得最值時(shí)的動(dòng)點(diǎn)位置；也可以考慮利用空間向量，或者建立空間直角坐標(biāo)系，把與幾何相關(guān)的最值問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與函數(shù)相關(guān)的最值問(wèn)題來(lái)求解.

方法總結(jié)

（1）圖形的翻折問(wèn)題，是比較常見(jiàn)的一類題目.這類問(wèn)題的解決，需要經(jīng)歷從平面到空間的轉(zhuǎn)化，分析圖形的運(yùn)動(dòng)軌跡，并勾勒出最終的圖案.翻折的過(guò)程中，有的量變了，有的量并不發(fā)生變化.在解題過(guò)程中，往往可以將研究的重點(diǎn)放在不變的量上，這些量往往是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.它就像一根紐帶，使反轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形不再孤立，將它們緊密聯(lián)系在一起，所以這些不變量或許暗示著解題的突破口.

（2）與翻折有關(guān)的最值問(wèn)題是常考題型，通常考查包括長(zhǎng)度、面積、體積的最值和范圍，多數(shù)情況下，會(huì)以常見(jiàn)的幾何體為研究載體，利用元素之間在變化過(guò)程中變與不變的位置和數(shù)量關(guān)系來(lái)解決，經(jīng)常用以下三種方法來(lái)作為解決問(wèn)題的切入點(diǎn)：

①等價(jià)轉(zhuǎn)化，把三維的立體幾何問(wèn)題通過(guò)等價(jià)降維處理，最終利用平面圖形來(lái)研究；

②函數(shù)建模，把翻折所產(chǎn)生的核心元素設(shè)為變量，建立目標(biāo)問(wèn)題與變量之間的函數(shù)關(guān)系，把最值或范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決；

③綜合探究，合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與函數(shù)建模，分層次、有次序地將所求問(wèn)題不斷等價(jià)轉(zhuǎn)化，以便更加高效解決.

參考文獻(xiàn)：

[1]尉根強(qiáng).平面與空間的轉(zhuǎn)化，變與不變的升華——立體幾何翻折問(wèn)題探究[J].科教文匯（下旬刊），2014（12）：150-151.

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