丟番圖方程運算能力在二項式定理中的應用

【摘要】二項式定理是高考數學中的重要知識點.在二項式定理的一些常見題型中，解答方法大多依賴于討論的方式，較少借助丟番圖方程運算能力進行求解.因此，運用丟番圖方程運算能力處理二項式定理中的一些常規題型，是一種頗具創新性的解題策略.本文主要研究丟番圖方程運算能力在二項式定理中的應用，通過運用獨特的丟番圖方程運算技巧，有效解決二項式定理在高考題、模擬題以及常規題中涉及的二項展開式系數、三項展開式系數、兩項之積求展開式系數等問題.

【關鍵詞】二項式定理；丟番圖方程；運算能力

丟番圖方程（DiophantineEquation）是指有一個或者幾個變量的整系數方程，它們的求解僅僅在整數范圍內進行.高考數學試題中二項式定理多以選擇題或填空題形式出現，主要檢驗考生對二項式定理的理解、二項式展開式的通項公式、二項式展開式的性質及其基本應用.本文對二項式定理在高考試題及模擬題中的各類題型進行了全面梳理與歸納，并對解題策略進行了深入探討.

1丟番圖方程運算能力在二項展開式中的應用

點評在二項展開式中，有時存在一些特殊的項，如常數項、有理項、整式項、系數最大的項等，求解這些特殊項主要是利用二項展開式的通項公式Tr+1.通過該公式，可以依據條件先確定r的值，進而求出指定的項.在二項式展開式中，有理項是指那些指數為整數的項.這些項具有簡潔明了的特性，可以利用組合數公式輕松確定它們的具體個數和形式.本題是一個教材例題的變式，原題是利用t來求展開式中某項x的指數冪，再通過冪等于某個指定項，求解出r值，從而得到該項.而本題則是要求找出有理項，即指數（變量）為整數的項，這需要求解出r值.因此，本題屬于兩個未知數的丟番圖方程求解問題.

2丟番圖方程運算能力在兩項之積展開式中的應用

點評這道題涉及教材中的二項式展開式，需要變通一下，求解兩個二項式乘積的特定項.把兩個二項式分別展開，就轉化為了一個關于兩個未知數r與k的丟番圖方程問題.

3丟番圖方程運算能力在三項展開式中的應用

點評這個題目也是教材中的內容，涉及二項式展開式中特定項的問題.利用轉化思想，把三項式轉化為二項式來解決.對于多項的和或積的二項式問題，可通過“搭配”解決，但要注意不重、不漏.

4結語

隨著教育改革的深入，二項式定理與丟番圖方程問題的結合日益受到高考命題者的青睞，本文探討了丟番圖方程運算能力在解決二項式定理相關題型中的應用.提升丟番圖方程運算能力不僅有助于深入理解二項式定理，還能在解決實際問題中發揮重要作用，對于高中數學學習和應用領域的拓展具有重要意義.

【本文系海南省教育科學規劃一般課題——高中丟番圖方程運算能力的實踐研究（QJY20211041）階段性成果之一】

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