四階受迫擺方程周期解的存在性

摘要：運(yùn)用Mawhin延拓定理研究四階受迫擺方程x（4）+a（t）sin x=e（t）周期解的存在性，其中a（t）和e（t）是連續(xù)的T-周期函數(shù).同時(shí)，作為結(jié)論的應(yīng)用，也給出一些具體的例子來說明所得結(jié)論的適用性.

中圖分類號：周期解; 受迫擺方程; 四階微分方程; Mawhin延拓定理

中圖分類號：O175.14

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-8395（2025）01-0132-06

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2025."01.013

1 研究背景

在非線性振動理論中，擺方程是一種經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理方程.關(guān)于受迫擺方程周期解的研究最早可以追溯到1922年Hamel的工作[1].在文獻(xiàn)[1]中，Hamel用變分法得到受迫擺方程

x″+asin x=bsin t

（1）

2π-周期解的存在性，其中a和b是常數(shù).

在實(shí)際應(yīng)用中，受迫擺方程的運(yùn)動會受到摩擦項(xiàng)或者阻尼項(xiàng)的影響，當(dāng)加上摩擦項(xiàng)時(shí)，方程（1）變?yōu)?/p>

x″+kx′+asin x=e（t），

（2）

其中，k和a是常數(shù)，e（t）是連續(xù)的T-周期函數(shù)且∫T0e（t）dt=0.當(dāng)k≠0的時(shí)候，變分法將不再適用于研究方程（2）的周期解.后來許多學(xué)者用不同的方法來研究受迫擺方程的周期解并得出了豐富的結(jié)論[2-8].例如，文獻(xiàn)[2-3]用上下解方法和度理論研究了一類強(qiáng)迫擺方程周期邊界問題的多重解，文獻(xiàn)[4]討論了關(guān)于受迫阻尼擺方程周期解的存在性，文獻(xiàn)[7]利用擾動法證明了給定的強(qiáng)迫擺方程具有許多周期解.隨著二階受迫擺方程的研究更為深入，學(xué)者們對受迫擺方程的周期解的研究也更加深入.例如，對于二階受迫擺方程的最小周期解，非退化周期解和概周期解等問題[8-16].據(jù)筆者了解，目前還沒有文獻(xiàn)報(bào)道四階受迫擺方程周期解的研究.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文運(yùn)用Mawhin延拓定理考慮了以下四階受迫擺方程

x（4）+a（t）sin x=e（t）

（3）

周期解的存在性，其中a（t）和e（t）是連續(xù)的T-周期函數(shù).在研究四階受迫擺方程周期解時(shí)，當(dāng)對x（4）·x在0到T上積分，能得到

∫T0（x（4）·x）dt=∫T0（x″）2dt，

此時(shí)出現(xiàn)了∫T0（x″）2dt這一項(xiàng)，為了得到本文的結(jié)論，就要找到∫T0（x′）2dt與∫T0（x″）2dt之間的關(guān)系，這就給本文的研究增加了難度.顯然，解決了這個(gè)問題之后，就能在函數(shù)a（t）、e（t）和周期T滿足適當(dāng)?shù)臈l件時(shí)，得到方程（3）周期解的存在性，同時(shí)給出具體的例子來說明所得結(jié)論的適用性.

2 預(yù)備知識

在本節(jié)中，將介紹一些符號和一些已知的結(jié)果.為了得到方程（3）周期解的存在性，假設(shè)a（t）和e（t）滿足以下條件：

（F） 假設(shè)a（t）是一個(gè)連續(xù)的T-周期函數(shù)且在[0，T]上不變號，e（t）是一個(gè)連續(xù)的T-周期函數(shù)且e（t）不恒為零.

此外，對于給定的連續(xù)函數(shù)f：[0，T]→R：當(dāng)f（t）在[0，T]上不變號時(shí)，定義f+和f-為

f+=maxt∈[0，T]|f（t）|gt;0，

f-=mint∈[0，T]|f（t）|gt;0；

當(dāng)f（t）在[0，T]上變號時(shí)，定義f*和f*為

f*=maxt∈[0，T]f（t）≥0，

f*=mint∈[0，T]f（t）≤0.

為方便，定義

CT={x∈C（R，R）：x（t）=x（t+T）}

是一個(gè)Banach空間，其范數(shù)為

‖x‖C=|x|∞.

定義 2.1 [17] 設(shè)X和Y為實(shí)Banach空間，L：Dom LX→Y是一個(gè)線性映射，如果L滿足：

（i） Im L是Y的閉子空間，

（ii） dim Ker L=codim Im Llt;+∞，

則稱L是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm映射.

若L是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm映射，則存在連續(xù)投影算子P：X→X和Q：Y→Y，滿足

Im P=Ker L， Ker Q=Im L=Im （I-Q）.

記

LP：Dom L∩Ker P→Im L

是L在Dom L∩Ker P上的限制，則LP是可逆的，記KP=L-1P.

定義 2.2 [17] 設(shè)Ω為X的有界開子集，N：X→Y是一個(gè)連續(xù)映射，如果QN（〖AKΩ-〗）有界且KP（I-Q）N：〖AKΩ-〗→X是緊映射，則稱映射N在〖AKΩ-〗上是L-緊的.

下面給出本文的主要工具定理Mawhin延拓定理.

引理 2.1 [17] 設(shè)L是零指標(biāo)的Fredholm映射，N在〖AKΩ-〗上是L-緊的，假設(shè)下列條件成立：

1） Lx≠λNx，對x∈Ω∩Dom L，λ∈（0，1）;

2） QNx≠0，對x∈Ker L∩Ω;

3） deg{JQN，Ω∩Ker L，0}≠0，其中J：Im Q→Ker L為同構(gòu)映射;

則方程Lx=Nx在Dom L∩〖AKΩ-〗上至少存在一個(gè)解.

引理 2.2 [18] 令x：[0，T]→R是絕對連續(xù)函數(shù)且x（0）=x（T），則

（maxt∈[0，T]x（t）-mint∈[0，T]x（t））2≤T4∫T0|x′（t）|2dt

成立.

引理 2.3 [19] 對u∈C2T，有

∫T0|u′（t）|2dt≤（Tπ）2∫T0|u″（t）|2dt.

3 主要結(jié)果及證明

本節(jié)陳述并證明本文的主要結(jié)果.

定理 3.1 "假設(shè)條件（F）成立，以及

C1=π2R1a+sin R1+e+， C2=π2R2a+sin R2-e*，

C3=π2R2a+sin R2+e*， R1=2arcsin（e+a-+），

R2=max{2arcsin（e*a-+），2arcsin（-e*a-+）}

是常數(shù)且當(dāng)gt;0足夠小時(shí)

e+a-+lt;22， max{e*a-+，-e*a-+}lt;22，

則存在周期T（0lt;T4lt;min{C1，C2，C3}）使得方程（3）至少有一個(gè)T-周期解.

證明 "令X=Y=CT，定義線性算子L：Dom LX→Y，令

Lx=x（4）， x∈Dom L，

其中

Dom L={x|x∈X，x（4）∈C（R，R）}.

直接計(jì)算得

Ker L=R和

Im L={y|y∈Y，∫T0y（s）ds=0}.

因此，有

dim Ker L=codim Im L=1.

易看出Im L是Y中的閉集.因此，算子L是零指標(biāo)的Fredholm算子.

定義非線性算子

N：X→Y， Nx=e（t）-a（t）sin x.

定義投影算子

P：X→Ker L， Px（t）=x（0），Q：Y→Y， Qx（t）=1T∫T0x（s）ds.

因此Im P=Ker L， Ker Q=Im L，則KP：Im L→Dom L∩Ker P可以表示為KPy（t）=∫T0G（t，s）y（s）ds，

其中，G（t，s）是x（4）=0， t∈[0，T]，

∫T0x（t）dt=0，x（i）（0）=x（i）（T）， i=0，1，2，3

的格林函數(shù)，故

KP：Im L→Dom L∩Ker P

是一個(gè)線性全連續(xù)算子且N：X→Y是個(gè)連續(xù)有界算子.因此，對于任意有界開子集Ω∈X，N在〖AKΩ-〗上是L-緊的.

由條件（F）可知函數(shù)a（t）有2種情況，分別為a（t）gt;0或者a（t）lt;0.e（t）有3種情況，分別為e（t）gt;0，e（t）lt;0或者e（t）變號.不失一般性，對于函數(shù)a（t），只討論a（t）gt;0.而a（t）lt;0的情形類似地可以證明.下面主要對函數(shù)e（t）的3種情形進(jìn)行分類討論.

情形1 若a（t）gt;0，e（t）gt;0，則有0lt;a-≤a（t）≤a+， 0lt;e-≤e（t）≤e+，

記Ω1：={x∈X|‖x‖lt;R1}，

（4）

其中R1=2arcsin（e+a-+）是一個(gè)常數(shù)且gt;0足夠小使得e+a-+lt;22.顯然Ω1是X中的開集.

（I） 下面證明引理2.1的條件1）成立.設(shè)0lt;λlt;1和x∈Ω1∩Dom L，使得

x（4）+λa（t）sin x-λe（t）=0.

（5）

將（5）式兩邊同乘x并在0到T上積分得

∫T0（x（4）x+λxa（t）sin x-λxe（t））dt=0.

（6）

由分部積分法易知

∫T0x（4）xdt=∫T0（x″）2dt.

因此，（6）式等價(jià)于

∫T0（（x″）2+λxa（t）sin x-λxe（t））dt=0.

（7）

事實(shí)上，由（4）式可知，如果x∈Ω1，則‖x‖=R1.當(dāng)‖x‖=R1時(shí)，有

|xmax-xmin|lt;R12

或

|xmax-xmin|≥R12

成立.如果|xmax-xmin|lt;R12，結(jié)合

‖x‖=maxt∈[0，T]|x（t）|，

可知R12lt;x≤R1或-R1≤xlt;-R12.下面對這2種情況進(jìn)行分類討論.

當(dāng)R12lt;x≤R1時(shí)，因?yàn)閑+a-+lt;22，所以有

0lt;sinR12lt;sin x≤sin R1，

則對（5）式從0到T積分得

0=∫T0（λa（t）sin x-λe（t））dtgt;

∫T0（a-sinR12-e+）dtgt;0.

當(dāng)-R1≤xlt;-R12時(shí)，因?yàn)閑+a-+lt;22，所以有

sin（-R1）≤sin xlt;sin（-R12）lt;0，

則對（5）式從0到T積分得

0=∫T0（λa（t）sin x-λe（t））dtlt;

∫T0（a-sin（-R12）-e-）dtlt;0.

如果|xmax-xmin|≥R12，由（7）式和sin x≤sin R1，根據(jù)引理2.2和引理2.3可知

0=∫T0（x（4）x+λxa（t）sin x-λxe（t））dt=

∫T0（（x″）2+λxa（t）sin x-λxe（t））dt≥

4π2T3|xmax-xmin|2-∫T0（xe（t）-xa（t）sin x）dt≥

π2R12T3-T（e+R1+R1a+sin R1）=

R1T（π2R1T4-（e++a+sin R1））gt;0.

上述情況與事實(shí)相矛盾，因此可知引理2.1的條件1）成立.

（II） 接下來證明引理2.1的條件2）成立.通過簡單的計(jì)算，可以得到

e（t）-a（t）sin（-R1）=e（t）+a（t）sin R1≥

e-+a-sin R1gt;0，

e（t）-a（t）sin R1≤e+-a-sin R1lt;0.

因此

e（t）-a（t）sin（-R1）gt;0，

e（t）-a（t）sin R1lt;0.

（8）

若x∈Ω1∩Ker L，則x=-R1或者x=R1.根據(jù)（8）式可得

（QNx）（t）=1T∫T0（e（t）-a（t）sin x）dt≠0，x∈Ω1∩Ker L.

因此，引理2.1的條件2）成立.

（III） 下證引理2.1的條件3）成立.定義一個(gè)連續(xù)函數(shù)

H（x，μ）=-（1-μ）x+

μ1T∫T0（e（t）-a（t）sin x）dt， μ∈[0，1].

顯然，對于x∈Ω1∩Ker L，有H（x，μ）≠0.

根據(jù)拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃钥芍?/p>

deg（QN，Ω1∩Ker L，0）=deg（H（x，1），Ω1∩Ker L，0）=

deg（H（x，0），Ω1∩Ker L，0）=

-1≠0.

因此，引理2.1的條件3）成立.

綜上所述，由引理2.1可知方程（3）在Ω1上至少存在一個(gè)T-周期解.

情形2 若a（t）gt;0，e（t）lt;0，易知0lt;a-≤a（t）≤a+， -e+≤e（t）≤-e-lt;0.令（t）=-e（t），

那么可以得到0lt;a-≤a（t）≤a+， 0lt;e-≤〖AKe～D〗（t）≤e+.

顯然，方程（3）等價(jià)于x（4）+a（t）sin x+〖AKe～D〗（t）=0.

（9）

剩下的證明類似于情形1的證明，故省略.因此，由引理2.1可知方程（9）在Ω1上至少有一個(gè)T-周期解.

情形3 若a（t）gt;0，e（t）在[0，T]上改變符號，易知

0lt;a-≤a（t）≤a+， e*≤e（t）≤e*，

顯然

e*≤0， e*≥0，

且e*和e*不同時(shí)為0.令

Ω2：={x∈X|‖x‖lt;R2}，

（10）

易知Ω2是X中的開集，其中

R2=max{2arcsin（e*a-+），2arcsin（-e*a-+）}

是一個(gè)常數(shù)且gt;0足夠小使得

max{e*a-+，-e*a-+}lt;22.

下面證明引理2.1的條件1）成立.設(shè)0lt;λlt;1和x∈Ω2∩Dom L使得

x（4）+λa（t）sin x-λe（t）=0.

（11）

將（11）式兩邊同乘x并在0到T上積分得

∫T0（（x″）2+λxa（t）sin x-λxe（t））dt=0.

（12）

事實(shí)上，由（10）式可知若x∈Ω2，則‖x‖=R2.當(dāng)‖x‖=R2時(shí)，有

|xmax-xmin|lt;R22

或

|xmax-xmin|≥R22

成立.若|xmax-xmin|lt;R22，由于

‖x‖=maxt∈[0，T]|x（t）|，

可知R22lt;x≤R2或-R2≤xlt;-R22.下面對這2種情況進(jìn)行分類討論.

當(dāng)R22lt;x≤R2時(shí)，由

0lt;max{e*a-+，-e*a-+}lt;22，

可知

0lt;sinR22lt;sin x≤sin R2，

則（11）式從0到T積分得

0=∫T0（λa（t）sin x-λe（t））dtgt;

∫T0（a-sinR22-e*）dtgt;0.

當(dāng)-R2≤xlt;-R22時(shí)，鑒于

0lt;max{e*a-+，-e*a-+}lt;22，

知

sin（-R2）≤sin xlt;sin（-R22）lt;0，

將（11）式從0到T積分得

0=∫T0（λa（t）sin x-λe（t））dtlt;

∫T0（a-sin（-R22）-e*）dtlt;

0.

如果

|xmax-xmin|≥R22且e*lt;|e*|，

由（12）式和sin x≤sin R2，根據(jù)引理2.2和引理2.3，可以得到

0=∫T0（x（4）x+λxa（t）sin x-λxe（t））dt≥

4π2T3|xmax-xmin|2-∫T0（xe（t）-xa（t）sin x）dt≥

π2R22T3-T（a+R2sin R2-e*R2）=

R2T（π2R2T4-（a+sin R2-e*））gt;0.

如果

|xmax-xmin|≥R22

且

e*≥|e*|，

由（12）式和sin x≤sin R2，根據(jù)引理2.2和引理2.3，可以得到

0=∫T0（x（4）x+λxa（t）sin x-λxe（t））dt≥

4π2T3|xmax-xmin|2-∫T0（xe（t）-xa（t）sin x）dt≥

π2R22T3-T（a+R2sin R2+e*R2）=

R2T（π2R2T4-（a+sin R2+e*））gt;0.

上述情況與事實(shí)相矛盾，故引理2.1的條件1）成立.

接下來證明引理2.1的條件2）成立.通過簡單的計(jì)算，可以得到

e（t）-a（t）sin（-R2）gt;0，

e（t）-a（t）sin R2lt;0.

剩下的證明類似于情形1的證明，故省略.

因此，從引理2.1可知方程（3）在Ω2上至少有一個(gè)T-周期解.

4 具體的例子

例 4.1 "考慮下面的四階受迫擺方程

x（4）+（cos（15πt）+8）sin x=cos（15πt）+3.

（13）

顯然方程（13）是方程（3）當(dāng)a（t）=cos（15πt）+8，e（t）=cos（15πt）+3

時(shí)的情形.因此，a（t）gt;0，e（t）gt;0且a-=7， a+=9， e-=2， e+=4，

則函數(shù)a（t）和e（t）滿足條件（F）.令=1/700，則有0lt;T4lt;0.967 0.

因此，由定理3.1可知方程（13）在Ω1中至少具有一個(gè)T-周期解，其中

Ω1={x∈X|‖x‖lt;1.22}.

通過數(shù)值模擬（見圖1）得到方程（13）周期解的存在性，進(jìn)一步說明了本文所得結(jié)論的適用性.

例 4.2 "考慮下面的四階受迫擺方程

x（4）+（cos（4πt）+6）sin x=sin（4πt）.

（14）

方程（14）是方程（3）當(dāng)

a（t）=cos（4πt）+6， e（t）=sin（4πt）

時(shí)的情形，故有

a-=5， a+=7， e*=-1， e*=1，

則函數(shù)a（t）和e（t）滿足條件（F）.令=1700，則有0lt;T4lt;1.064 1.

因此，由定理3.1就能得到方程（14）在Ω2中至少具有一個(gè)T-周期解，其中

Ω2={x∈X|‖x‖lt;0.405 6}.

通過數(shù)值模擬（見圖2）得到方程（14）周期解的存在性，進(jìn)一步說明了本文所得結(jié)論的適用性.

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Existence of Periodic Solutions for the Fourth-order Forced Pendulum Equation

YU Wenyuan， HAN Xiaoling

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， Gansu）

In this paper， by using Mawhin’s continuation theorem to study the existence of periodic fourth-order forced pendulum equation x（4）+a（t）sin x=e（t），where a（t） and e（t） are continuous T-periodic functions. As the application of the conclusion， some concrete examples are given to illustrate the applicability of the conclusion.

periodic solution; forced pendulum equation; fourth-order differential equation; Mawhin’s continuation theorem

（編輯 余 毅）

收稿時(shí)間：2023-01-05 "接受日期：2023-03-17

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（12161079）

*通信作者簡介：韓曉玲（1978—），女，教授，主要從事常微分方程與動力系統(tǒng)的研究，E-mail：hanxiaoling9@163.com

引用格式：于文源，韓曉玲. 四階受迫擺方程周期解的存在性[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2025，48（1）：132-137.