算術小游戲

3X+1問題

從任意一個正整數X開始，重復對其進行下面的操作：如果這個數是偶數，把它除以2；如果這個數是奇數，則把它擴大到原來的3倍后再加1。你會發現，序列最終總會變成4，2，1，4，2，1，……的循環。

例如，所選的數是67，根據上面的規則可以依次得到：67，202，101，304，152，76，38，19，58，29，88，44，22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1，……

數學家們試了很多數，沒有一個能逃脫“421 陷阱”。但是，是否對于所有的數，序列最終總會變成 4，2，1 循環呢？

這個問題可以說是一個“坑”——乍看之下，問題非常簡單，突破口很多，于是數學家們紛紛往里面跳；殊不知進去容易出去難，不少數學家到死都沒把這個問題搞出來。

已經中招的數學家不計其數，這可以從3X + 1問題的各種別名看出來：3X + 1問題又叫 Collatz 猜想、Syracuse問題、Kakutani問題、Hasse算法、Ulam問題，等等。

后來，由于命名爭議太大，干脆直接叫作3X + 1問題了。

直到現在，數學家們仍然沒有證明，這個規律對于所有的數都成立。

一個小魔術

在一張紙上并排畫11個小方格，叫你的好朋友背對著你（讓你看不到他在紙上寫什么），在前兩個方格中隨便填兩個1到10之間的數。從第3個方格開始，在每個方格里填入前兩個方格里的數之和。讓你的朋友一直算出第10個方格里的數。假如你的朋友一開始填入方格的數是7和3，那么前10個方格里的數分別是：7、3、10、13、23、36、59、95、154、249。

現在，叫你的朋友報出第10個方格里的數，稍作計算你便能猜出第11個方格里的數應該是多少。你的朋友會非常驚奇地發現，把第11個方格里的數計算出來，所得的結果與你的預測一模一樣！

其實，僅憑借第10個數來推測第11個數的方法非常簡單，你需要做的僅僅是把第10個數乘以1.618，得到的乘積就是第11個數了。

在上面的例子中，由于249×1.618=402.882≈403，因此你可以胸有成竹地斷定，第11個數就是403。而事實上，154與249相加真的就等于403。不管最初的兩個數是什么，按照這種方式加下去，相鄰的兩數之比總會越來越趨近于1.618，這個數正是傳說中的“黃金分割”。

利用組合數學中的“生成函數”，可以完美地解釋這些現象產生的原因。