目標指引下的數(shù)學(xué)解題方法例析

［摘 要］解題非終極目標，而是培養(yǎng)解題能力和借助解題學(xué)習(xí)。在解題過程中，目標指引至關(guān)重要，它不僅能明確解題方向，還能促進思路的靈活轉(zhuǎn)換，從而更有效地接近正確答案并解決問題。文章結(jié)合三個案例，探討目標指引在數(shù)學(xué)解題中的邏輯應(yīng)用與方法策略。

［關(guān)鍵詞］目標指引；數(shù)學(xué)解題；減元求最值；設(shè)而不求

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）32-0027-03

數(shù)學(xué)解題活動有助于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，其核心在于培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。然而，數(shù)學(xué)解題活動易流于形式，而忽視了其核心價值——掌握解題能力。正如羅增儒所言，數(shù)學(xué)解題不能只是問“怎樣解”，也要問“為什么這樣解”和“怎么學(xué)會解”［1］。這一過程，實質(zhì)上是深度思考目標指引運用方式的關(guān)鍵過程。

本文精選三個例題，深入剖析數(shù)學(xué)解題邏輯與方法，著重探討如何依據(jù)目標構(gòu)思解法。誠然，題目解法多樣，但本文并非簡單羅列與展示解法，而是從解題思路的生成角度出發(fā)，借助目標指引進行深入探究，以期引導(dǎo)學(xué)生掌握解題技巧，進而提升學(xué)生的解題能力。

一、目標指引下的減元求最值

在處理多變量最值問題時，一個比較有效的策略就是減少未知量的數(shù)量。因為求最值時常用基本不等式法，而該方法通常適用于單一變量或兩個變量的情況，要求結(jié)構(gòu)滿足基本不等式的條件。

分析2：第（2）問要求解三邊平方關(guān)系的最小值，該關(guān)系以分式結(jié)構(gòu)形式呈現(xiàn)。如何轉(zhuǎn)化此問題？

至此實現(xiàn)了角數(shù)量的減少，只有一個角[B]。

這時由[cos2B=2cos2B-1]代入得：

評注：從三邊關(guān)系入手，將其轉(zhuǎn)化為三角正弦關(guān)系，進而再轉(zhuǎn)化為一角余弦關(guān)系，通過有效的變形，使其滿足“基本不等式”的結(jié)構(gòu)要求。在這一目標的指引下，學(xué)生產(chǎn)生了積極消元的思路，即通過“減元”實現(xiàn)最值的求解。

二、目標指引下的“算兩次”

“算兩次”是數(shù)學(xué)解題中一種行之有效的方法。將等式的左邊算一次，將等式的右邊算一次，可取得事半功倍的解題效果。從不同等式的角度將同一對象“算兩次”常有助于學(xué)生有效達成解題目標。

［例2］（2023年高考數(shù)學(xué)新課標Ⅰ卷第17題）已知在[△ABC]中，[A+B=3C]，[2sin（A-C）=sinB]。

（1）求[sinA]；

（2）設(shè)[AB=5]，求[AB]邊上的高。

分析1：第（1）問要求[sinA]的值，該如何求解呢？

首先，嘗試直接求解角[A]的值來獲得其正弦值，但根據(jù)已知條件難以直接達成。

評注：題干中的“高”是解題關(guān)鍵，它提示與面積有關(guān)，從而引導(dǎo)學(xué)生采用面積法和“算兩次”的策略。

三、目標指引下的“設(shè)而不求”

在處理運動變化問題時，設(shè)一些未知量有助于找到其背后的不變關(guān)系。有時，為了達成目標，需退一步求解。退一步，問題便能獲得解決。當直接求不可行時，這種迂回策略往往可以出奇制勝。

分析：為了證明角度，可以求出該角的某個三角函數(shù)值。由于正方形的內(nèi)角均為直角，因此可以考慮通過求角的正切值來間接求解目標角。然而，直接求解[∠PAQ]的正切值不可行，因此可以采取“設(shè)而不求”的策略，先求其他角。

具體的目標是求[∠PAQ]，這個角可以看作是[∠BAP]與[∠DAQ]的和的余角。由于[∠BAP]與[∠DAQ]都是直角三角形的內(nèi)角，所以可以考慮采用求這兩個角的正切值的方法。

證明：設(shè)[AB=a]，[BP=x]，[DQ=y]，[∠BAP=α]，[∠DAQ=β]，

則[PC=a-x]，[QC=a-y]，[PQ=x+y]，

由[PQ2=PC2+QC2]，得[（x+y）2=（a-x）2+（a-y）2]，化簡得：[ax+ay=a2-xy]，

評注：從正方形的背景中可觀察到直角三角形的存在；對變量引入未知量，探究其內(nèi)在關(guān)聯(lián)。在目標指引下，采用“設(shè)而不求”的策略，通過求三角函數(shù)值求出角的度數(shù)。

高考數(shù)學(xué)題與課本習(xí)題是由專家精心編制的，對于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有顯著的導(dǎo)向作用。在解題過程中，明確的目標指引至關(guān)重要。事實上，每一個完美的解題過程都是逐步達成目標的過程。有了明確的目標，就有了變形的方向和依據(jù)。當解題遇阻時，學(xué)生應(yīng)重新審視問題，在目標指引下轉(zhuǎn)換思路，從而更接近正確答案并最終解決問題。

數(shù)學(xué)是思維的體操，解題則是鍛煉思維的有效方式。解題并非目的，通過解題學(xué)習(xí)解題方法、提升解題能力才是關(guān)鍵。以目標為引領(lǐng)，指導(dǎo)解題的思維活動，將有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 陳蒲漢，何小亞.數(shù)學(xué)解題反思新解[J].數(shù)學(xué)通訊，2013（4）：12-14.

[2]" 蔡際紅，高成功.“蘑菇”是怎樣采到的[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（1）：36-39.