學(xué)會裂項 求和無憂

［摘 要］文章以2022年一道數(shù)列求和高考題為引，結(jié)合幾道典型例題，分析探討裂項相消法的主要類型及應(yīng)用，以拓寬學(xué)生的思維路徑。

［關(guān)鍵詞］數(shù)列求和；高考題；裂項相消法

［中圖分類號］" " G633.6" " " " " " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " " " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）32-0021-03

數(shù)列求和歷來是高考的必考題型，尤其是對裂項相消法的考查更為頻繁。下面以2022年新高考Ⅰ卷第17題為引，結(jié)合幾道典型例題，探究裂項相消法的主要類型及應(yīng)用，以拓寬學(xué)生的思維路徑。

一、高考試題

本題作為數(shù)列問題典型考題，聚焦了兩大考查重點：數(shù)列通項和數(shù)列求和。本文暫不討論數(shù)列通項，僅探究如何運用裂項相消法進行數(shù)列求和。

二、裂項相消法的原理

裂項相消法的作用在于通過把一個數(shù)列的每一項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終化簡求和。

裂項相消法的基本步驟見圖1。

裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止。

消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項；前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項。

在應(yīng)用裂項相消法時需注意，抵消后不一定只剩第一項和最后一項，也可能前面剩兩項，后面剩兩項，還需注意有時要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂項前后等式兩邊保持相等。

三、裂項相消法的運用類型

（一）等差型

出現(xiàn)在中檔題中，如上文提到的高考題就是屬于這種類型。那么等差型裂項求和應(yīng)如何求解呢？以下結(jié)合例題進行分析。

評注：從以上兩道例題可以觀察到，等差型裂項求和的解題方法有一定的規(guī)律可循，但教學(xué)中仍須提醒學(xué)生：具體問題具體分析，合理配湊，才會有所收獲。

（二）根式型

評注：根式型裂項求和題在高考中屬于基礎(chǔ)題，其解答難度在于“裂項”。教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，積累方法，以靈活運用“裂項”技巧。

（三）指數(shù)型

若問題中將數(shù)列裂項求和與指數(shù)運算相結(jié)合，則會使“裂項”難度陡增。

評注：從以上兩道例題可以看出，“裂項”中加入指數(shù)運算，題目難度直線上升，當通項中出現(xiàn)[（-1）n+1]時，往往將通項分裂成[（-1）n+1]乘以兩項之和，然后借助[（-1）n+1]得到一正一負的項，相互抵消；當通項中出現(xiàn)[an]，應(yīng)將通項分裂成含有指數(shù)的兩項之差，而這兩項剛好是某數(shù)列的連續(xù)兩項。

總之，數(shù)列問題中裂項相消法的考查方式靈活多樣，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入理解其基本原理和應(yīng)用技巧。教師應(yīng)通過分析不同題型的特點，幫助學(xué)生掌握裂項相消法的關(guān)鍵點——裂項，讓學(xué)生通過多練習(xí)，感悟方法，并積累裂項相消法的經(jīng)驗，以使學(xué)生獲得更深層次的理解和提升。