基于響應面模型和BP-神經網絡模型的機器人定位誤差及驗證分析

摘要：機器人定位精度是衡量工業機器人工作質量的一項重要指標，對零件加工質量有著重要影響。為滿足現代工業的制造精度要求，機器人重復定位精度需要進一步提升，因此，通過響應面模型與BP-神經網絡模型對機器人定位精度誤差進行擬合，對比研究提升機器人重復定位精度的方法。首先建立響應面模型，采用中心復合設計方法，對機器人定位精度誤差進行實驗仿真，接著用BP-神經網絡對機器人定位精度誤差進行擬合。經過比對得知，BP-神經網絡的擬合精度高于響應面模型，但響應面模型擬合效率高于BP-神經網絡。最后借助激光跟蹤儀對機器人進行誤差補償驗證實驗，結果表明，誤差模型預測得到的誤差值是合理的，驗證了仿真的正確性及補償的可行性。

關鍵詞：機器人；定位精度；定位誤差；誤差補償；中心復合設計

中圖分類號：TP242.2 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2024.08.008

文章編號：1006-0316 （2024） 08-0053-07

Robot Positioning Error and Verification Analysis Based on Response Surface Model and

BP Neural Network Model

LUO Jinsheng1，HU Xiaobing2，MAO Yebing2，LUO Qingyi2

（ 1. Huanggang Vocational and Technical College， Huanggang 438002， China;

2. School of Mechanical Engineering， Sichuan University， Chengdu 610065， China ）

Abstract：Robot positioning accuracy is an important indicator for measuring the quality of work of industrial robot and has a significant impact on the quality of part processing. In order to meet the requirements for manufacturing accuracy of modern industry， the repetitive positioning accuracy of robots needs to be further improved. In this paper， the response surface model and BP neural network model are used to fit the positioning accuracy error of robots， and a comparative study is conducted to improve the repetitive positioning accuracy. Firstly， a response surface model is established， and the central composite design method is used to experimentally simulate the positioning accuracy error of the robot. Then， BP neural network model is used to fit the positioning accuracy error of the robot. After comparison， it was found that the fitting accuracy of BP neural network model is higher than that of response surface model， but the fitting efficiency of response surface model is higher than that of BP neural network model. Finally， an error compensation verification experiment was conducted on the robot by using a laser tracker. The results show that the error value predicted by the error model is reasonable， which verified the correctness of the simulation and the feasibility of compensation.

Key words：robots；positioning accuracy；positioning error；error compensation；central composite design

工業機器人憑借出色的工作效率、良好的安全性能與可靠的質量保障，已經被成熟運用在各類工業領域之中。為提高制造的質量水平，同時向高端制造轉型，則需要對多自由度機器人的定位精度有更嚴格的要求。國外在定位精度方面的探索已有近50年時間，如Kuman等[1]首次推導了機器人執行末端的位置誤差模型；Verdonck[2]通過改進的機器人動力學模型實現了對機器人運行軌跡誤差的實時補償。國內，焦國太等[3]研究了機器人關節及連桿柔性對機器人定位精度的影響，并通過仿真模擬對其定位精度進行了補償；王魯平等[4]借助機器人動力學仿真分析了定位精度誤差的因素來源，并建立了機器人定位精度補償界面，但沒有綜合考慮各因素相對于定位精度之間的關系，無法高效率實現誤差補償。

基于上述分析，本文以TYZN-06-04型號機器人為研究對象，根據建立的機器人剛柔耦合動力學模型對其進行動力學仿真，并通過激光跟蹤實驗對實際誤差進行測量。采用響應面模型與BP-神經網絡模型分別對絕對定位誤差進行擬合并對比，后基于MATLAB建立機器人絕對定位精度誤差補償界面，通過計算對機器人的絕對定位精度進行補償。

1 基于響應面法的誤差模型建立

響應面法主要將系統響應看作一個或多個因子的函數，并通過具象化手段顯示出該種函數關系，以便找到響應與多個因子之間的對應關系，并借助數學工具尋找最優參數達到對系統響應的預期。響應面法起初由Box等于1951年提出，主要用于化工領域的研究，后被定義為一種用于開發、改進、優化的統計和數學方法，更多的是作為一種數理統計工具應用在各類實體實驗數據分析中[5]。響應面法旨在借助精簡的多項式模型去擬合因素與目標之間的關系，并在樣本點設計中考慮了實驗誤差因素[6]，計算高效而簡單。

1.1 響應面方法基本理論

響應面函數是一種回歸模型，通過建立數學模型來描述自變量和響應變量之間的關系。其基本思想是將變量間的復雜相互作用轉換為數學表達式，從而實現對響應的優化。在回歸分析中，可以表述為：

（1）

式中：為自變量的函數；y為觀察值；為誤差項。

在響應面分析中，首先要得到回歸方程：

（2）

式中：為響應面近似函數。

然后通過對自變量的合理取值，求得的最優值，這就是響應面分析的目的。

由于事先并不了解目標函數與自變量的函數關系，故首先需要選擇一種函數模型。合適的函數模型可以大大提高擬合精度，模型的設計空間也會更大。響應面函數設計要求其函數形式在保證擬合精度的情況下盡可能簡單，同時為減小實驗與仿真的工作量，設置的待定系數應盡可能少。在現有工程應用中，選取線性或二次多項式形式即可滿足大部分需求。

1.2 響應面模型建立流程

現有眾多成熟的工程軟件可以方便地實現響應面設計，例如Design-Expert、MATLAB、Minitab、SAS等。其中Design-Expert集實驗設計、數學分析與數據處理為一體，較其他軟件使用更為簡單，可以高效得到實驗方案并進行數據處理，并給出更為全面且可視化的模型及優化結果[7]。因此，本文采用Design-Expert對機器人定位精度誤差進行建模。

基于Design-Expert的機器人定位精度誤差響應面分析流程如圖1所示。其中，實驗設計主要是確定分析類型以及選擇實驗點的分布方案；數據分析即完成數據統計、回歸、方差計算等，從而對響應面擬合效果進行評估；響應優化則在響應面模型的基礎上通過設置約束得到最優結果。

1.3 實驗點設計

響應面的擬合精度受到樣本點在設計空間中的位置分布的影響，因此樣本點的分布需要遵循一定規則，以便用較少的樣本點就可以使得近似函數模型有較高的精度，這是實驗設計學（Design of Experiment，DOE）需要考慮的內容。在現今響應面設計中，運用較多的幾種實驗點設計類型有CCD（Central Composite Design，中心復合設計）、BBD（Box-Behnken Design）、LHD（Latin Hypercube Design，拉丁超立方設計）等[8]，其中CCD是一種高效的設計模型，可以用盡可能少的實驗點來獲得較為全面的信息，且具有較高的柔性可以變換形式以適應各類實驗，因此本文選用CCD方法進行實驗設計。

三因素三水平的CCD示意圖如圖2所示。可以看出，除開邊角點，在設計立方中心處以及通過該中心點的兩條直線上的±α距離處分別設置額外實驗點，α的值根據實驗實際情況進行選擇，此處將α設置為1。

基于CCD方法，采用三因素三水平設計，設定α值為1，對機器人定位精度誤差進行實驗設計。實驗點設計情況及對應的數值仿真結果如表1所示。

1.4 結果數據分析

通過Design-Expert對表1中的數據進行分析，得到各類模型方差對比，如表2所示。其中，R2為決定系數，P值為判定假設檢驗結果的參數。

2 基于BP-神經網絡的誤差模型建立

神經網絡已有60年的發展歷史，因優異的處理非線性問題的能力而被應用于模式識別、圖像識別、專家系統、信號辨識、數據擬合、預測等工程領域。工程中經常會遇到非線性系統，這些系統的狀態方程較為復雜，很難用一般的數學方法精確建立擬合模型，神經網絡采用黑匣的形式對未知復雜系統進行表達，對輸入數據和輸出數據進行訓練，直到網絡能夠較好地擬合該種非線性關系為止。借助該網絡便可以實現預測與計算。

2.1" BP-神經網絡基本理論

BP-神經網絡的訓練流程包含了正向計算和誤差反向傳播[9-10]。在正向計算中，輸入數據沿輸入層－隱藏層－輸出層的順序進行計算，層與層之間采用全互聯形式，同一層無互聯，隱藏層可以有多層[11]。計算過程中，如果輸出層得到的數據精度不夠或誤差較大，則數據將進行誤差反向傳播，反向計算過程中會不斷調整各層的權重和閾值，反復運行以上過程直到網絡誤差達到預期。

2.2 神經網絡搭建

使用MATLAB神經網絡工具箱中的BP-神經網絡模型分析機器人的定位精度誤差。分別將待訓練數據和標簽數據導入至MATLAB，由于運行速度、運行加速度和負載為不同單位的輸入，為提高訓練精度并保證收斂，在此借助mapminmax（）函數得到歸一化后的輸入輸出值。訓練數據、驗證數據及測試數據按照默認的70%、15%、15%的比例分配。機器人的運行速度、運行加速度和負載作為輸入層的三個輸入，其三個方向上的定位精度誤差作為輸出層的三個輸出。

3 模型精度對比

為直觀描述響應面誤差模型和BP-神經網絡誤差模型的擬合效果，重點對它們的相關統計學指標進行比較。指標包含R2、預測R2及MSE。其中，決定系數R2是指輸入變量對輸出變量的闡釋度，其值范圍為0～1，數值愈接近1表示擬合效果愈好；MSE為均方誤差，主要用于評估實際值與預測值的偏差程度，數值愈接近0表示擬合程度愈高[12]。

兩種模型的擬合效果對比情況如表3所示。可以看出，響應面的三個模型與BP-神經網絡模型的R2都在0.97以上，這是由于在模型擬合開始的一段時間內，三種動力學因素和機器人定位精度誤差存在近似的線性關系，對于兩種模型而言，前階段線性關系的擬合較為容易，而在后階段，這種接近線性的關系逐漸轉變為較為復雜的非線性狀態。

從R2來看，兩種模型的擬合效果都比較優異，但比較預測R2值可知，BP-神經網絡模型的值為0.9596，大于響應面三個模型的預測R2值，由此說明在該預測過程中，BP-神經網絡的預測能力比響應面強。但另一方面，BP-神經網絡模型雖然可以直接建立多輸入與多輸出的非線性關系且預測能力較好，但其精度依賴于訓練數據的數量，訓練數據越多則其模型精度越高。本文中，響應面只需要20組數據即可分別創建出X、Y、Z三個方向上的定位精度誤差模型，BP-神經網絡建模則需使用98組數據，響應面的建模效率遠高于BP-神經網絡，且模型的擬合精度也較高。

經過對比可知，BP-神經網絡模型和響應面模型的擬合精度都較高且相近。其中，BP-神經網絡模型的預測能力高于響應面模型，但響應面模型的建模效率高于BP-神經網絡模型。可以根據不同需求對機器人定位精度建立不同的模型。

4 機器人定位精度誤差補償驗證實驗

通過對機器人進行動力學仿真分別得到了不同運行速度、運行加速度與負載下執行末端的定位精度誤差值，為驗證仿真的正確性及補償的可行性，借助Leica AT403高精度激光跟蹤儀對機器人進行誤差補償驗證實驗。該型號激光跟蹤儀集成了多種創新性技術，具有更為優秀的測量速度和更堅固的結構，可以在任何地方對任何工件進行精確測量。

具體測試流程為：

（1）搭建測試平臺。進行實驗測量前將Leica AT403激光跟蹤儀安裝固定在機器人前方的合理測量區域內，保證激光跟蹤儀與機器人之間沒有遮擋物，同時注意保持室內溫度在最佳工作溫度范圍內。打開激光跟蹤儀與機器人控制柜進行設備預熱，在計算機控制端打開與Leica AT403配套使用的SA軟件，由于激光跟蹤儀默認的測量坐標在其自身的坐標系下，故需要通過設置構建機器人的基坐標系，隨后在測量過程中以機器人基坐標系為基準，從而使得激光跟蹤儀測量得到的數據與機器人控制器以及仿真中的數據統一。

（2）對機器人進行示教編程。對機器人控制柜進行預熱后，對每個關節進行設置，規劃運動軌跡，并調整控制面板中機器人運行速度倍率和加速度倍率均為50%，無負載。

（3）測量位置坐標。控制激光跟蹤儀與機器人同時開始運行，在SA軟件中記錄機器人末端最終位置坐標。為保證數據可靠性，進行20次測量后，對位置坐標分別取算術平均值。

機器人的運行速度、運行加速度和負載很大程度上造成了柔性連桿及柔性關節的形變，鑒于現今工業機器人的關節間隙誤差、安裝誤差、零件尺寸誤差等運動學參數因素不斷減小，故可以將動力學因素誤差直接疊加至目標坐標點，通過逆運動學解得各關節角度后重新運行機器人，最終較為準確地到達目標點[13]。

初步設置機器人運行速度倍率和加速度倍率均為50%；末端負載為0。原目標點為（23， -476， 287），通過BP-神經網絡模型計算分別得到X、Y、Z三個方向上的誤差值為0.042 mm、0.043 mm和0.066 mm，故通過疊加可得新目標點為（23.042， -476.043， 287.066），根據補償后的軌跡給予示教編程，由于實驗前已將機器人測量坐標系與其工具坐標系統一，故最后可直接得到工具坐標系中心的三個坐標值。

分別對補償前后的坐標進行10次測試，結果取算術平均值，如表4所示。可以看出，三個方向終點坐標補償前均值分別為22.971 mm、-475.980 mm和286.978 mm，補償后均值分別為22.994 mm、-475.996 mm和286.992 mm，補償后機器人的定位精度誤差均得到提升。因此，通過仿真和實驗分別證明了誤差模型預測得到的誤差值是合理的。

在MATLAB設置補償后坐標，重新對機器人進行軌跡規劃，將仿真運行軌跡與剛體運行軌跡進行比對，得到三個方向的軌跡誤差曲線，如圖3所示。可以看出，在ADAMS中補償后仿真前一階段，由于振動現象，誤差起伏波動，但在后面時間中，誤差逐漸穩定增加；在X、Y、Z三個方向上，補償后軌跡誤差均有所減小。證明該補償措施是可行的。

5 小結

在機器人剛柔耦合動力學分析的基礎上，對機器人定位精度誤差分別采用響應面模型和BP-神經網絡模型進行擬合。通過對比可以發現，響應面模型的精度比BP-神經網絡模型低，但建立模型的效率高于BP-神經網絡模型。后通過機器人定位精度補償仿真與實驗分別證明了定位精度誤差模型的準確性。最后基于已經建立的定位精度誤差模型，利用MATLAB App Designer設計了誤差分析界面，通過選擇機器人型號、工況參數以及擬合模型可以高效率計算得到補償后的位置坐標及各關節轉角，提高分析效率。

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