在“變”中求“不變”的創生課堂

新課程標準頒布以來，教師在紛紛實踐“核心素養落地課堂”的課程理念，建構開放的、生成的、充滿靈動的教學課堂，使得數學課堂常常會邂逅一些美麗的“意外”，即課堂上不可多得的生成資源。人教版數學五年級下冊長方體和正方體這一單元的教學中，求不規則物體的體積應用廣泛，內容抽象，不易理解，學生面對各種變式題頻頻出錯，成為一個揮之不去的“痛點”。教學中，我借助學生已有的學習經驗，讓學生全程參與活動，并充分利用生成資源進行有效的學習。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出“方法一致性與內容結構化”的新理念，那么，求不規則物體的體積及相關的變式題是否具有內在方法上的一致性？如何實現解題方法的結構化？

一、回溯——思路在何處

本節內容在北師大版教材中的課題名稱是“有趣的測量”，即測量石塊的體積，把石塊完全浸沒到一個有水的長方體容器中，呈現水面上升水未溢出和水面上升水已溢出兩種情況。人教版教材采用“排水法”測量土豆的體積（水未溢出），以思考的形式展開教學，教法上更“放”了一些。

例：如下圖，珊瑚石的體積是多少立方厘米？

【片段賞析】

師：同學們，從上圖中，你能獲得哪些數學信息？

生：一個長方體玻璃容器，底面是一個邊長為8厘米的正方形，一塊珊瑚石完全浸沒水中之后，水面高度由6厘米上升到7厘米。問題是求珊瑚石的體積。

師：珊瑚石，不易變形，怎樣求出它的體積呢？

生1：上圖所示就是一道實驗測量題，容器中裝有水的體積是8×8×6=384（立方厘米），放入的珊瑚石完全浸沒水中之后，水面升高且水未溢出，相當于體積增多了，這時水和石頭所占的體積是8×8×7=448（立方厘米），用水和石頭的總體積減去原來水的體積，就是珊瑚石的體積。即：V石=V總（水+石）-V水。

師：請思考——珊瑚石放入水中之后，水面上升了，為什么？（學生靜默，思考）

生2：因為珊瑚石完全浸沒于水中之后，占據了水的空間，把水擠壓上升了，水面和原來相比上升了1厘米，相當于在原來的基礎上增加了一個長8厘米、寬8厘米、高1厘米的隱形長方體，這個隱形長方體的體積其實就是珊瑚石的體積。

學生不由自主地把掌聲送給了2號同學，第三個學生不甘示弱。

生3：那是因為石頭是固體，水是液體，石頭放入水中占據了水的空間，剛才的實驗是水未溢出，如果水溢出了，石頭的體積就成了水面上升的體積加溢出來的水的體積。這種轉化的方法叫作排水法。

此時掌聲雷動。

V石=V增加的水=底面積×h增，即：V石=長×寬×h增。

師：對比兩種做法，你更喜歡哪種，喜歡的理由又是什么呢？

學生思考。

生4：我更喜歡第二種，因為計算簡便。

生5：我不怕計算麻煩，我喜歡第一種，因為容易理解，一目了然。

師：兩種做法都很好，給予肯定。數學在追求嚴謹的同時，也追求簡捷，在實際應用中第二種做法因為簡便更受青睞。

思路即是：在水未溢出的情況下，增加的體積=不變的長×不變的寬×高增加的長度。

今天，我們就沿著這條思路，接著探究這道數學題可以衍生出哪些題？又是怎樣解決的呢？

二、創生——基于內在一致性

小學數學教學中，“創生”活動是一種重要的學習方式，本活動以小組合作，先“扶”后“放”的形式展開，活動中學生組內自主交流，互相啟發，教師選擇具有代表性的“創生”資源，讓學生交流分享，充分展示自我。

活動內容：

一個長方體，長8厘米、寬6厘米、高4厘米，如果（ "）（ ）2厘米，則體積變化了多少立方厘米？

活動要求：

1.四人小組合作，自主填空。

2.第一個（ ）填“長”或“寬”或“高”，第二個（ ）填“增加”或“減少”。

3.根據所填的空，畫圖分析，并計算出變化的體積。

4.學有余力的同學，從此題展開變式，自創自編，靈活拓展。

小組開始探究活動，10分鐘后分享活動成果：

成果1：

【評析】小組1仿照例題的結構微調，把例題中高增加改編成了寬增加，解題思路是：增加的體積=寬增加的長度×不變的長×不變的高。

成果2：

【評析】小組2的同學很會變通，構造了一個長、寬、高都是5米的特殊長方體（即正方體），“沿著長從3米處切開”，意為“長減少2厘米”。解題思路是：減少的體積=長減少的長度×不變的寬×不變的高。

成果3：

【評析】小組3對題目的改編大大出乎了老師的預料，這是他們小組一個特別機靈的孩子帶著組員想出來的做法，語言精練，富有情境。題目中長方體模型一共變了兩次，第一次是長增加了2厘米，第二次是在第一次增加后得到的新長方體的基礎上，又把寬增加了2厘米，在原題的基礎上實現了思維的進階。

本小題題目冗長，其實不難，結合圖形及每一步中的小標題，兩種方法都容易理解，關鍵是第二次增加必須建立在第一次得到的新長方體基礎上增加，在這里必須為這個小組點贊！

【片段賞析】

師：謝謝同學們分享的成果，每次都讓我有了“驚喜”和“意外”，現在請認真觀察展現的三個“成果”，找出什么變了？什么沒變？

同學們開始竊竊私語，小聲說開了。

生逐一說自己的發現，最后師生總結，如下表。

師：我們走在解題的“大路”上，思路越來越寬闊了，現在進入“學以致用”。

三、再造——尋求思路結構化

“用數學”是學好數學的主旋律，通過剛才同學們的分享、分析、總結，發現“增加或減少的體積=變量增加或減少的長度×不變量1×不變量2”，是求不規則物體的體積與相關變式題在解題思路上存在的一致性，那是否還有一種可能就是引導學生走進生活，用數學的眼光去捕捉信息，用數學的思維去實現“再創造”，基于方法的一致性，形成內容結構化。于是，我布置了課后實踐作業，讓同學走進生活，尋求此類問題在生活中的實際應用，用數學語言整理成題。

同學們廣泛聯系生活，提交的作業真可謂是“百花齊放”，左邊及下面是摘選張宇墨同學的優秀作業：

教學中，變與不變是對立統一的辯證關系，數學題萬變不離其“本質”，數學教學就是在學生的已知與未知之間，在認知、情感與元認知之間，精心設計“變”的素材、“變”的情境、“變”的方式，并在各種變化中找出存在的內在一致性與解題思路的結構化。否則，做題就是一種低階的模仿，知識都是相互割裂和碎片化的。因此，數學課堂要立足于單元、學段、領域內容的整體結構，抓住“原生”與“再生”，反復比較，積極探索，洞悉各種題型背后的內在邏輯與一致性。做到“變中知不變，變中思不變，變中識不變”，讓創生課堂成為我們的專業常態，在感悟數學萬變不離其“本質”的同時，提升數學核心素養。

【注：本文系保山市教育科研“十四五”規劃第二批立項課題“三名”工作室專項課題“核心素養下的小學數學創生課堂教學案例研究”（課題批準號為：145SM2307）研究成果】