基于變冪次對數趨近律的振動基機械臂快速魯棒控制

摘要： 針對一類安裝基座存在不確定隨機振動的機械臂系統，提出了一種基于變冪次對數趨近律的快速魯棒控制策略。基于Euler?Lagrange方程建立了系統的不確定動力學模型，并將模型中的基座振動項提取出來看作機械臂所受的不確定外部擾動力。提出了一種全新的變冪次對數函數趨近律，既能實現系統狀態在遠離滑模面時的快速趨近，又能保證在接近滑模面后的抖振能夠被有效抑制。在此基礎之上，結合一種快速終端滑模面設計了系統的快速魯棒控制器，進一步提高了系統狀態的收斂速度。基于Lyapunov穩定性理論證明了所設計控制器的有限時間收斂特性。搭建了實驗平臺，通過實驗進一步驗證所設計控制器的有效性。

關鍵詞： 振動基機械臂；"滑模控制；"有限時間控制；"趨近律

中圖分類號： TP241；"TB535 """文獻標志碼： A """文章編號： 1004-4523（2024）08-1290-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.08.003

引""言

振動基機械臂是一類安裝基座存在不確定隨機振動的機械系統^［1］。許多機械臂可歸為這一范疇，如坦克彈藥傳輸機械臂，其安裝基座，即車體，在坦克行進中會受不平路面激勵產生劇烈振動^［2］。此類機械臂還包括太空漂浮機械臂、船舶起重機械臂、水下作業機械臂等^［3?5］。安裝基座的不確定隨機振動給機械臂本體帶來了強烈的非線性擾動影響，進而給其控制帶來很大的挑戰。如何抑制基座振動的影響，實現機械臂本體的快速、魯棒控制，是振動基機械臂領域的研究熱點和難點。

振動基機械臂的魯棒控制已經吸引了許多學者的研究。如Toda^［6］針對海洋平臺作業機械臂，提出了一種基于H_∞控制和PD控制的魯棒跟蹤控制策略。褚明等^［7］基于粒子群優化算法，實現了太空漂浮機械臂的魯棒鎮定控制。婁軍強等^［8］針對空間柔性基座機械臂，提出一種基于模糊自適應的控制器。此外，滑模控制作為一種強魯棒控制策略，因對被控對象模型依賴更少，也被廣泛應用于振動基機械臂控制領域。如孫友剛等^［9］針對海上浮式起重機械臂在風浪干擾下的位置跟蹤問題，提出了一種二階滑模軌跡跟蹤控制器。Guayasamín等^［10］基于Lyapunov理論和滑模控制，實現了無人機機械臂的魯棒軌跡跟蹤控制。萬凱歌等^［11］結合擴展狀態觀測器與滑模控制，實現了三自由度空間機械臂軌跡跟蹤控制。但是上述研究并未考慮振動基機械臂的快速控制問題，系統狀態只能無限趨近平衡點，無法實現有限時間快速收斂。

振動基機械臂的快速控制尚未引起足夠的關注。而各類振動基機械臂在實際作業時均需實現快速響應，如坦克彈藥傳輸機械臂，其裝填速度直接決定火炮射速的高低。終端滑模控制通過對滑模面再設計，可實現振動基機械臂的快速控制。如張建宇等^［12］采用非奇異終端滑模控制，實現了空間機械臂軌跡跟蹤誤差的快速收斂。姚來鵬等^［13］基于固定時間干擾觀測器和終端滑模控制，實現了坦克彈藥傳輸機械臂的快速魯棒控制。但是，上述滑模控制僅考慮了系統狀態在滑動階段的快速收斂，而通過對趨近律再設計，可進一步實現系統狀態在到達階段的快速收斂。如Mozayan等^［14］通過在冪次趨近律中添加變增益項，在一定程度上提高了系統狀態在到達階段的收斂速度。李慧潔等^［15］設計了一種雙冪次趨近律的滑模控制方法，同樣實現了系統狀態的快速收斂。此外，Li等^［16］針對二階非線性系統，還提出了一種不受系統初始狀態影響的復合快速趨近律。但是，上述趨近律受滑模抖振問題影響，對收斂速度的提升較為有限。

1 模型描述

2 控制設計

2.1 快速終端滑模面

2.2 變冪次對數趨近律

滑模控制中，系統狀態在到達滑模面前（即趨近運動）的收斂性質由趨近律類型決定。如前文所述，傳統快速趨近律如同指數趨近律、冪次趨近律等無法調和趨近速度和抖振抑制性能二者之間的矛盾。為此，本文提出了一種全新的變冪次對數函數趨近律，該趨近律借助了對數函數在原點附近曲線更加平緩、遠離定點時曲線更加陡峭的特點，并在此基礎上增加了一個變冪次項，該部分使系統狀態變量在遠離滑模面時快速趨近，在接近滑模面時降低趨近速度。同時實現了系統狀態對滑模面的快速趨近和滑模抖振的有效抑制，使控制器具有更快的收斂速度和更好的抖振抑制性能。該趨近律表示為：

2.3 控制器設計

本文基于計算力矩法來設計振動基機械臂系統控制器。首先采用計算力矩法將耦合的二連桿機械臂系統解耦為二自由度的線性誤差系統，然后，分別以誤差系統的兩個自由度分量為對象，采用滑模面（6）和本文所提出的趨近律（17）進行控制器設計。

3 實驗分析

3.1 實驗平臺

為了驗證所設計控制器的有效性，搭建了如圖3所示的垂直振動基座?二連桿機械臂系統實驗平臺。該平臺的機械部分主要由機械臂桿1、機械臂桿2和振動基座系統組成。其中，兩個機械臂桿分別由各自的直流電機和減速器系統驅動，機械臂間和機械臂與基座間的連接結構均為轉動鉸連接。機械臂電機選用瑞士Maxon公司的EC45型無刷直流電機（帶霍爾傳感器），其減速器為同公司的GP52C 型行星齒輪減速器，每個電機還配套了一個光電編碼器（HEDL5540型）和一個數字控制器（070/10 型"EPOS2）。

機械臂驅動系統的控制回路為主從式結構，如圖4所示。上位機（PC）采用USB轉CAN的通訊協議，通過位置控制器、編碼器與兩電機進行數據交換。

基座系統通過電機驅動曲柄搖桿機構來實現其在垂直方向的振動。電機選用盛達機械的DS?400.110/S555S型直流減速電機，該電機最高轉動頻率為2 Hz。在本實驗中，基座垂直振動位移通過激光位移傳感器測量，位移隨時間的變化曲線如圖5所示。

實驗物理樣機的控制框架，是基于驅動系統自帶的三環控制回路（電流環?速度環?位置環）進行的開發，其具體原理如圖6所示。其中，電流環仍采用原有的PI控制策略，其控制參數由系統自整定產生。速度?位置環采用本文所提出的基于變冪次對數趨近律的滑模控制策略。電流環與速度?位置環之間通過電機轉矩常數連接。此外，控制程序是基于LabVIEW環境編譯的。

最后，基于上述實驗平臺開展了實驗研究。本研究共完成了三組實驗，如表1所示。在組一中，并未考慮基座振動。此組實驗的目的是初步比較，凸顯本文所設計控制器相較傳統滑模控制器的優勢。故選取了如下式所示的傳統滑模控制作為對照：

在此組實驗中，還發現并解決了復雜滑模控制程序的響應延時問題。在組二中，驗證了所設計控制器對于基座振動帶來不確定擾動的魯棒性。同樣，該組也進行了傳統滑模控制器的對照實驗。在組三中，進一步驗證了所設計控制器對于基座振動及負載不確定的魯棒性。負載不確定通過在機械臂桿2上添加質量塊來實現。

3.2 實驗結果與分析

組一的機械臂響應結果如圖7所示，其中圖7（a），（b）為機械臂1與機械臂2的角位移跟蹤曲線，圖7（c），（d）為兩個機械臂的角速度曲線，圖7（e），（f）為兩個機械臂的電流曲線，圖7（g），（h）為兩個機械臂的角位移跟蹤誤差曲線。實驗過程中快速魯棒控制器對系統的控制出現了響應延時現象。如圖7 （a）和（b）所示，控制程序在啟動時存在2.52 s的響應延時，不符合實驗預期。經過分析排查，是由于控制程序中的冪次運算延長了LabVIEW程序的響應時間。為了解決該問題，在原有控制程序基礎上做出了改進，將LabVIEW所提供的冪函數模塊替代控制程序中部分冪函數計算，有效消除了控制程序的啟動延時。

由圖7（a），（b）可知，本文所設計的快速魯棒控制器具有良好的軌跡跟蹤控制效果。機械臂1和機械臂2分別經過1.285和1.179 s實現了有效軌跡跟蹤，根據圖7（g），（h）所示的跟蹤誤差，兩個機械臂的軌跡跟蹤誤差都在0.01 rad以內，跟蹤效果良好。而普通滑模控制器控制的機械臂在趨近期望軌跡時趨近速度明顯降低，跟蹤軌跡與期望軌跡存在最大0.124 rad的穩態誤差。根據圖7（c），（d）"，（e）"，（f）顯示，快速魯棒控制器對機械臂關節角速度控制和電流響應跟蹤的穩定性較好，機械臂未出現強烈抖振，軌跡跟蹤過程平穩。

組二的機械臂響應結果如圖8所示，其中圖8（a），（b）為機械臂1與機械臂2的角位移跟蹤曲線，圖8（c），（d）為兩個機械臂的角速度曲線，圖8（e），（f）為兩個機械臂的電流曲線。由圖8（a），（b）可知，在增加垂直振動干擾后，機械臂依然可實現有效的軌跡跟蹤，通過速度與電流曲線可知軌跡跟蹤的穩定性表現良好，軌跡跟蹤過程平穩。而普通滑模控制器的控制效果受基座振動影響，機械臂1的跟蹤軌跡在8.961和21.610 s出現了偏移期望軌跡的現象，整體軌跡跟蹤出現多處抖振。機械臂2跟蹤軌跡也出現了多處不同幅度的振蕩。通過普通滑模控制器的速度曲線和電流曲線可以看出，普通滑模控制器的速度跟蹤與電流跟蹤均產生了較大幅度的抖振，無法實現平穩的軌跡跟蹤。

組三的機械臂響應結果如圖9所示，其中圖9（a），（b）為機械臂1與機械臂2的角位移跟蹤曲線，圖9（c），（d）為兩個機械臂的角速度曲線，圖9（e），（f）為兩個機械臂的電流曲線。在添加負載后，由圖9（a），（b）顯示的角位移軌跡跟蹤結果可知，快速魯棒控制器控制的機械臂1在1.466 s實現了有效軌跡跟蹤，機械臂2在1.302 s實現了有效軌跡跟蹤。兩個機械臂的有效跟蹤時間分別增加了0.181和0.123 s，但是跟蹤速度和跟蹤電流依然表現出較為平穩的效果，這表明了該控制器對于外界負載擾動具有良好的魯棒性。同時，三組試驗結果均顯示機械臂1實現有效跟蹤的時間要略高于機械臂2，推測為實驗過程中兩個機械臂實際負載不同的原因。由于實驗臺結構關系，機械臂1需要承載機械臂2與其驅動電機的質量，而機械臂2無需承載系統質量，因此實驗中機械臂1的實際負載大于機械臂2，導致機械臂1的有效軌跡跟蹤時間略長。

4 結""論

（1）本文所設計的控制器具有較好的有限時間快速收斂特性。分別基于Lyapunov穩定性理論和實驗研究驗證了該控制器的這一特性。

（2）本文所設計的控制器具有較強的魯棒性。在基座垂直振動激勵影響下，其仍可以實現機械臂系統的精確平穩軌跡跟蹤。

（3）"本文所設計的控制器在考慮負載不確定情況下，也能實現振動基礎機械臂的有效軌跡跟蹤控制，響應時間相較無負載情況略有增加，但是軌跡跟蹤效果保持良好。

參考文獻：

［1］ Sato M，"Toda M. Robust motion control of an oscillatory-base manipulator in a global coordinate system［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics，"2015，"62（2）："1163-1174.

［2］ Guo Y F，"Xi B C，"Huynh V T，"et al. Robust tracking control of MBT autoloaders with oscillatory chassis and compliant actuators［J］. Nonlinear Dynamics，"2020，"99（3）："2185-2200.

［3］ Zhang Y L，"Gu Y X，"Liu T，et al. Dynamic behavior and parameter sensitivity of the free-floating base for space manipulator system considering joint flexibility and clearance［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，"Part C："Journal of Mechanical Engineering Science，"2019，"233（3）：nbsp;895-910.

［4］ Chu Y G，"Li G Y，"Zhang H X. Incorporation of ship motion prediction into active heave compensation for offshore crane operation［C］// Proceedings of the 2020 15th IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications（ICIEA）. Kristiansand，"Norway，"2020："1444-1449.

［5］ Zhang J，"Li W，"Yu J C，"et al. Development of a virtual platform for telepresence control of an underwater manipulator mounted on a submersible vehicle［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics，"2017，"64（2）："1716-1727.

［6］ Toda M. An H_∞"control-based approach to robust control of mechanical systems with oscillatory bases［J］. IEEE Transactions on Robotics and Automation，"2004，20（2）：283-296.

［7］ 褚明，"董正宏，"任珊珊，"等. 星載串聯型柔性抓捕機構的多級阻尼鎮定控制［J］. 振動與沖擊，"2018，"37（5）："42-49.

Chu Ming，"Dong Zhenghong，"Ren Shanshan，"et al. Multi-stage damping stabilization control for a space-borne Series-wound flexible capturing mechanism［J］. Journal of Vibration and Shock，"2018，"37（5）："42-49.

［8］ 婁軍強，"魏燕定，"楊依領，"等. 空間柔性機械臂彎扭耦合振動的主動控制研究［J］. 振動工程學報，"2014，"27（3）："400-407.

Lou Junqiang，"Wei Yanding，"Yang Yiling，"et al. Active control of bending-torsional-coupling vibration of space flexible manipulator［J］. Journal of Vibration Engineering，"2014，"27（3）："400-407.

［9］ 孫友剛，"董達善，"強海燕，"等. 海上浮式集裝箱起重機的小車位置跟蹤和吊重消擺控制研究［J］. 振動與沖擊，"2018，"37（11）："207-215.

Sun Yougang，"Dong Dashan，"Qiang Haiyan，"et al. Crab position tracking and lifting weight anti-sway control for an off-shore container crane on sea［J］. Journal of Vibration and Shock，"2018，"37（11）："207-215.

［10］ Guayasamín A，"Leica P，"Herrera M，"et al. Trajectory tracking control for aerial manipulator based on Lyapunov and sliding mode control［C］// Proceedings of the 2018 International Conference on Information Systems and Computer Science （INCISCOS）. Quito，"Ecuador，"2018："36-41.

［11］ 萬凱歌，"吳愛國，"董娜，"等. "3-DOF空間機械臂新型滑模軌跡跟蹤控制［J］. 中南大學學報（自然科學版），"2017，"48（12）："3248-3255.

Wan Kaige，"Wu Aiguo，"Dong Na，"et al. A novel sliding mode controller for trajectory tracking of 3 DOF spatial robot manipulators［J］. Journal of Central South University （Science and Technology），"2017，"48（12）："3248-3255.

［12］ 張建宇，"高天宇，"于瀟雁，"等. 基于自適應時延估計的空間機械臂連續非奇異終端滑模控制［J］. 機械工程學報，"2021，"57（11）："177-183.

Zhang Jianyu，"Gao Tianyu，"Yu Xiaoyan，"et al. Continuous non-singular terminal sliding mode control of space robot based on adaptive time delay estimation［J］. Journal of Mechanical Engineering，"2021，"57（11）："177-183.

［13］ 姚來鵬，"侯保林. 彈藥傳輸機械臂固定時間終端滑模控制［J］. 哈爾濱工業大學學報，"2021，"53（1）："109-116.

Yao Laipeng，"Hou Baolin. Fixed-time terminal sliding mode control for ammunition transfer manipulator［J］. Journal of Harbin Institute of Technology，"2021，"53（1）："109-116.

［14］ Mozayan S M，"Saad M，"Vahedi H，"et al. Sliding mode control of PMSG wind turbine based on enhanced exponential reaching law［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics，"2016，"63（10）："6148-6159.

［15］ 李慧潔，"蔡遠利. 基于雙冪次趨近律的滑模控制方法［J］. 控制與決策，"2016，"31（3）："498-502.

Li Huijie，"Cai Yuanli. Sliding mode control with double power reaching law［J］. Control and Decision，"2016，"31（3）："498-502.

［16］ Li H J，"Cai Y L. On SFTSM control with fixed-time convergence［J］. IET Control Theory and Applications，"2017，"11（6）："766-773.

［17］ Yu S H，"Long X J. Finite-time consensus for second-order multi-agent systems with disturbances by integral sliding mode［J］. Automatica，"2015，"54："158-165.

［18］ 劉洋，"井元偉，"劉曉平，"等. 非線性系統有限時間控制研究綜述［J］. 控制理論與應用，"2020，"37（1）："1-12.

Liu Yang，"Jing Yuanwei，"Liu Xiaoping，"et al. Survey on finite-time control of nonlinear systems［J］. Control Theory amp; Applications，"2020，"37（1）："1-12.

［19］ Zuo Z Y，"Tie L. Distributed robust finite-time nonlinear consensus protocols for multi-agent systems［J］. International Journal of Systems Science，"2016，"47（6）："1366-1375.

Fast robust control of oscillatory base manipulators based on variable power log-reaching law

CHEN Hao GUO Yu-fei XU Sheng-yue WANG Zhi-gang HAO Zhi-qiang

（1. Key Laboratory of Metallurgical Equipment and Control Technology of Ministry of Education，Wuhan University of Science and Technology，"Wuhan 430081，"China；"2. Institute of Robotics and Intelligent Systems，Wuhan University of Science and Technology，"Wuhan 430081，"China）

Abstract： A fast robust control strategy based on variable power log-reaching law is proposed for a class of manipulator systems with uncertain random oscillations in the mounting base. The uncertain dynamic model of the system is established based on Euler-Lagrange equation，"and the oscillation term of the base in the model is regarded as the uncertain external disturbance force of the manipulator system. A new approach law of variable power logarithm function is proposed，"which can realize the rapid approach of the system state far away from the sliding mode surface，"and ensure the effective chattering suppression after approaching the sliding mode surface. On this basis，"combined with a fast terminal sliding surface，"a fast robust controller is designed，"which can further improve the state convergence rate of the system. The finite-time convergence of the controller is proved based on Lyapunov stability theory. An experimental platform is built to further verify the effectiveness of the controller.

Key words： oscillatory base manipulator；"sliding mode control；"finite time control；"reaching law

作者簡介： 諶""豪（1998—），男，碩士研究生。"E-mail：huatchenhao@163.com。

通訊作者： 郭宇飛（1985—），男，博士，副教授。"E-mail：guoyufei_1985@163.com。