巧用構造法 解答數學題

摘 要：數學是學生學習的基礎學科，也是培養學生思維能力與推理能力的重要學科.在初中數學教學中，解題教學主要培養學生運用所學知識分析問題和解決數學問題的能力.在解題教學中，教師既要關注理論知識的講授，還需介紹一些常用的解題方法.構造法是一種重要的解題方法，教師可指導學生巧用構造法解決數學題，提升學生的解題水平.基于此，文章針對如何巧用構造法解決數學問題進行深入探討.

關鍵詞：構造法；方程；不等式；函數；圖形

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）23-0027-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：林慧（1981.8—），女，福建省龍巖人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

構造法是一種特殊的解題方法.當遇到運用常規方法通過定向思維難以解決的數學問題時，可結合題干條件及結論的性質與特征，基于新角度或新觀點來觀察、研究與理解問題.在解題過程中，需緊緊抓住已知條件和結論之間的關聯性，根據問題中的坐標、外形、數據等特征，將題干中已知條件當作原材料，把已有的數學關系式或理論知識當作工具，從而構造出符合條件或結論的數學對象，在新構造的數學對象中清晰呈現原問題中隱性性質與關系，最終快捷、便利地解答數學問題.在初中數學解題教學中，當采用常規方法與定向思維難以解決問題時，教師可引領學生巧用構造法，根據解題需求構造新對象，順利解答數學問題［1］.

1 利用構造法解題的優勢及步驟

在初中數學解題教學中，巧妙利用構造法，不僅可以將數學問題變得更簡潔，起到意想不到的解題效果，而且對培養學生的抽象能力與數學思維能力有重要作用.在解答數學問題中采用構造法，主要體現了歸元思想.使用構造法時往往可以把過于淺表的知識點整合起來，再進行適當的數學處理，歸認現有知識，找到一種新的解題方法.構造法還體現出創新性的思想，大力倡導學生把各自的想法付諸至實踐行動之中，使其在解題過程中進行創造性思考，培養他們的數學思維能力.構造法還能體現美的思想，學生在解題過程中通過簡短的解題步驟，可以把完美的數學形式呈現出來，便于其在解題實踐中找到更優質的解題思路.

利用構造法解題的常規步驟包括：第一步，認真解析題意，找出題目中涉及的問題具體是什么；第二步，結合問題明確涉及的關鍵知識點；第三步，把相關知識點融入題目之中，確定構造該知識點所必備的新形式；第四步，根據構造出的新形式，結合該知識點深入研究問題，形成解題思路；第五步，進行詳細、準確地計算和解答.

2 巧用構造法解題的案例

2.1 巧用方程構造法解題

方程作為學生從小學階段就開始接觸到的一個知識點，進入初中以后，他們將會學習到更多的方程知識，不僅要學習簡單的一元一次方程，還要學習一元二次方程及方程組等內容，在初中數學教學中占據著關鍵地位，而且方程知識在解題中的應用也很廣泛.在初中數學解題教學中，教師可以指導學生認真閱讀題目內容，根據題干中給出的已知條件與數量關系構造出新的方程，使其結合方程知識找到合理的解題思路，有效轉化問題，降低解題難度，順利解答數學問題.

例1 已知x、y、z為三個不一樣的實數，其中x＞y＞z，滿足x+y+z=1，x2+y2+z2=1，請求出x+y的取值范圍.

分析 本題中出現的方程比較特殊，分別是三元一次方程和三元二次方程，如果使用常規方法，受限于已知條件有限，學生難以順利完成解題.首選思路通常是采用整體替換法，根據題目中給出的條件進行替換，但是采用這樣的方法，解題過程較為復雜，很難輕松求出代數式x＋y的取值范圍，不過可以巧妙利用構造方程的方法，根據題干中的所有條件與結論構造出新的方程，然后再利用方程相關知識求出x+y的取值范圍.

解 由x+y+z=1可得x+y=1-z，兩邊同時平方，得（x+y）2=（1-z）2，再結合x2+y2+z2=1，化簡整理可得xy=z2-z.由此可以看出，x、y為一元二次方程m2+（z-1）m+（z2-z）=0的兩個不相等的實數根，根據△＞0可得-13＜z＜1，也就是-13＜1-（x+y）＜1，從而可知0lt;x+ylt;43.

例2 已知三個實數x、y、z滿足x+y=3，xy=（z-3）2＋x-1，求x+2y+3z的值.

分析 本題屬于較為常見的代數式求值類問題，可以先對題干中給出的幾個條件進行變形，將原式轉化為關于含兩個未知數的式子，再認真觀察此式子的特征與形式，構造出一個新方程，隨后借助方程的性質就能輕松解題.

解 由x+y=3得y=x-3，將y=x-3代入xy=（z-3）2+x-1，消去變量y，配方可得（x-1）2+（z-3）2=0，由此得到x-1=0，z-3=0，解之得x=1，z=3.根據xy=（z-3）2+x-1可得y=2，所以x+2y+3z=1+2×2+3×3=1+4+9=14.

2.2 巧用不等式構造法解題

在初中數學解題教學中，教師需要提醒學生在閱讀過程中關注一些特殊詞語，像“最小”“最大”“至少”“不高于”“不低于”等，引導其審清題意，并列出不等式，幫助學生結合不等式的性質解決問題，從而提高學生分析問題和解決問題的能力.

例3 已知某公司有A、B兩種材料，重量分別是360千克和290千克，現在計劃使用這兩種材料生產甲、乙兩種產品，一共為50個.已知生產一個甲產品需用到A種材料9千克，B種材料3千克，利潤為700元/個；生產一個乙產品需要用到A種材料4千克，B種材料10千克，利潤是1 200元/個.

（1）生產甲、乙兩種產品一共有幾種方案？分別寫出來.

（2）設生產甲、乙兩種產品能夠得到的總利潤為y（元），生產甲產品x個，求y與x之間的函數關系式.判斷哪種生產方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少？

解析 （1）設生產甲產品x個，則生產乙產品（50-x）個.根據題意可得9x+4（50-x）≤360，3x+10（50-x）≤290，解得30≤x≤32.因為x的值只能是正整數，所以x只能取30，31，32，即為生產甲產品的數量，所以乙產品的數量分別為20，19，18.由此可知，一共有3種生產方案：①甲商品30個，乙商品20個；②甲商品31個，乙商品19個；

③甲商品32個，乙商品18個.

（2）根據題意可得y=700x+1 200（50-x）=-500x+60 000（30≤x≤32）.由一次函數的性質可知，x的值越大，y的值就越小，所以當x=30時利潤最大.此時生產甲產品30個，乙產品20個，所以y=-500×30+60 000=45 000，即最大利潤是45 000元.

2.3 巧用函數構造法解題

函數可謂是貫穿于整個初高中的數學教學，在課程體系中有著相當重要的地位.在初中數學解題訓練中，當遇到難度較大的問題時，如果在短時間內很難找到解題的切入點，教師可指導學生仔細閱讀題干內容，從中找到關鍵性信息，讓其構造函數關系，引導學生根據函數圖象及性質解決問題.

例4 如圖1，一位籃球員正在進行籃球投籃訓練，其中籃球的運動軌跡是一條拋物線，當其解析式為y=-0.2x2+3.5時可以順利投入籃筐.已知籃筐距離地面的高度為3.05 m.

（1）求出籃球在空中運行過程中最高點距離地面的高度.

（2）如果這名籃球運動員進行跳投時，出手時籃球與地面的高度為2.25 m，請問他同籃筐中心之間的水平距離為多少？

解析 （1）根據題意可知，籃球的運動軌跡為拋物線y=-0.2x2+3.5，由二次函數的性質可知，該拋物線的頂點坐標為（0，3.5），所以籃球在空中運行過程中最高點距離地面3.5 m.

（2）如圖1所示，根據籃筐處的高度為y＝3.05 m，代入拋物線的解析式可以求得這時x=1.5 m.結合該籃球運動員進行跳投時出手高度是y=2.25 m，則求得x=-2.5 m，那么該運動員同籃筐中心之間的水平距離為1.5+2.5=4 m.

2.4 巧用圖形構造法解題

在初中數學教學中，利用構造法解答數學題時，既可以結合題意構造代數式，也可以構造幾何圖形.借助數形結合思想進行解題，將“數”與“形”結合起來，不少難題將迎刃而解.這就要求教師在平常的解題訓練中，引導學生深入研究和提取條件中存在的幾何意義，利用數形結合思想構造適當的幾何圖形，把抽象的文字描述以直觀的圖形呈現，使其把代數問題轉化為幾何問題，增強題目內容的可視化，幫助學生順利完成數學問題的解答.

例5 如圖2所示，在一個不規則的四邊形

ABCD中，對角線AC與BD相交于O點，其中AC＝BD，點E、F分別是邊AB和CD的中點，EF分別與BD、AC相交于點G、H，證明：OG＝OH.

分析 一般來說，在幾何圖形中出現中點時，可考慮利用三角形中位線性質解題.解答本題時，可設邊BC的中點為M，連接ME，MF.因為點E、F、M分別是邊AB、CD、BC的中點，據此可得出EM與FM分別是△ABC和△BCD的中位線.然后可利用三角形的中位線定理解題，先證明△EMF是等腰三角形，結合“等邊對等角”定理，可證明∠MEF=∠MFE，再利用平行線的性質證明∠OGH=∠OHG，然后結合“等角對等邊”定理就可以證明OG=OH.

解 如圖2所示，取BC的中點M，連接ME，MF.因為點M、F分別為邊BC、CD的中點，所以MF∥BD，MF=12BD.同理ME∥AC，ME=12AC.因為AC=BD，所以ME=MF，所以∠MEF=∠MFE.因為MF∥BD，則∠MFE=∠OGH.同理∠MEF=∠OHG，所以∠OGH=∠OHG，所以OG=OH.

3 結束語

在初中數學解題教學中，對于部分較為特殊的問題，依靠常規方法與定向思維難以處理.此時教師可引導學生轉變解題思路和方向，巧用構造法解題.在問題解決過程中，引導學生重新審視問題中給出的條件和結論，通過構造方程、不等式、函數、圖形等新的數學對象，將所求結論與已知條件關聯到一起，據此找到解題的突破口，最終準確、快速地解答數學問題.

參考文獻：

［1］ 朱紅艷.促進高階思維發展的初中數學解題策略研究［J］.數理化學習（教研版），2023（6）：12-14.

［責任編輯：李 璟］