“勾股圓方圖”中的公式在中學數學中的分類證明

摘 要：“勾股圓方圖”是中國古代數學家趙爽注《周髀算經》中的一部分數學內容，對中國傳統數學具有重大意義.在深入研讀“勾股圓方圖”注的基礎上，將其中的二十組獨立命題轉化為數學語言表述，并整理出29個數學公式.然后將其分為勾股定理公式、平方差公式、完全平方公式，并利用等面積法和換元法對公式進行證明.

關鍵詞：勾股圓方圖；公式分類；等價性證明

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）23-0018-03

收稿日期：2023-05-15

作者簡介：戈倩（2001.11—），女，陜西省府谷人，研究生，從事中學數學研究；

常健（1975.7—），女，陜西省榆林人，碩士研究生，副教授，從事數學教育研究.

“勾股圓方圖”記錄于中國數學著作《周髀算經》之中，是由我國古代數學家趙爽所撰寫.趙爽對中國傳統數學的發展起到推動作用，他不僅在“勾股圓方圖”中第一次對勾股定理給出了理論證明［1］，而且論證了一元二次方程根與系數之間的重要關系［2］，他的先進數學教育思想也對中國古代傳統數學的發展產生了重要影響［3］.針對“勾股圓方圖”的研究，湯兆璽［4］基于原文命題，列出所有公式，并且對“勾股圓方圖”中的圖形，提出了新的設想，用此設想驗證了全部命題.

本文通過深入了解“勾股圓方圖”的內容，整理出原文命題涉及的所有公式，并參考“勾股圓方圖”的思路對其進行推導證明.

1 “勾股圓方圖”中的命題及公式

本文參考湯兆璽的研究成果，將“勾”“股”“弦”分別記為a，b，c， 將直角三角形面積記為S△， 把其中的命題及公式如表1所示.

其中，“股實之矩，以勾弦差為廣，勾弦并為袤.而勾實方其里，減矩股之實于弦實，開其余即勾.倍勾在兩邊為從法，開矩股之角即勾弦差.加勾為弦.以差除股實，得勾弦并.以并除股實，亦得勾弦差.令并自乘，與股實為實，倍并為法，所得亦弦.股實減并自乘，如法為勾.”這段描述與第六組至第十二組的命題類似，其包含的所有公式只是將a與b互換，本文不將其作為獨立命題贅述.

2 “勾股圓方圖”中公式的分類及證明

2.1 勾股定理公式

按照公式1.1、1.2、1.9的等價性，將其歸類為勾股定理公式.

命題1 a2+b2=c2，其中a，b為直角三角形兩條直角邊長，c為直角三角形斜邊長.

證明 如圖1，在△ABC和△ADE中，BC=AD=a，AC=DE=b，AB=AE=c，∠ACB=∠ADE=∠BAE=90°.連接BD，BE，過點B作底邊DE上的高BF，交ED的延長線于點F.由圖可得BF=CD=a-b.因為S四邊形ABDE=S△ABD+S△ADE=12a2+12ab，S四邊形ABDE=S△ABE+S△BDE=12c2+12b（a-b），所以

12a2+12ab=12c2+12b（a-b），化簡即得a2+b2=c2.

2.2 平方差公式

按照公式1.8、1.12、1.13的等價性，將其歸類于平方差公式.由公式1.8、1.12、1.13可得a2=（c-b）（c+b），又由勾股定理公式可得a2=c2-b2，聯立上述兩個方程，即可得（c+b）（c-b）=c2-b2，根據方程思想，將c替換成a， 即可得平方差公式.

命題2 （a+b）（a-b）=a2-b2.

證明 如圖2，在△ABC和△ADE中，BC=AD=a，AC=DE=b，AB=AE=c，∠ACB=∠ADE=∠BAE=90°.以DE為邊作正方形DEGF，以BC為邊作正方形BCQP， 延長BC交EG于點N，延長ED交BP于點M.由圖可得CF=AD-AC-DF=a-b-b=a-2b，DQ=CQ-CF-DF=a-（a-2b）-b=b，S四邊形BCPQ=a2，S四邊形DEFG=b2，S四邊形MDPQ=ab，S四邊形CNFG=b（a-2b）=ab-2b2.因為S四邊形BNME=（a+b）（a-b），S四邊形BNME=S四邊形BCPQ-S四邊形MDPQ+S四邊形DEFG+S四邊形CNFG=a2-ab+b2+ab-2b2=a2-b2，所以（a+b）（a-b）=a2-b2.

2.3 完全平方公式

按照公式1.5、1.14、1.15、1.19、1.20的等價性，將其歸類于完全平方公式.

對公式1.5變形可得（a-b）2=c2-2ab，結合勾股定理公式整理得（a-b）2=a2+b2-2ab.對公式1.14和公式1.15變形，分別可得（c+b）2=2c（c+b）-a2=2c2+2bc-a2=c2+c2-a2+2bc，（c+b）2=2b（c+b）+a2=2b2+2bc+a2=a2+b2+b2+2bc.結合勾股定理可得（c+b）2=c2+b2+2bc，利用方程的思想，可將公式里的c替換成a，即可得（a+b）2=a2+b2+2ab.同理，對公式1.19和公式1.20分別變形，也可得到同樣的結果，此處不再贅述.

命題3 （a±b）2=a2+b2±2ab.

證明 如圖3（a）（b）所示，所有直角三角形的長直角邊長為a，短直角邊為b， 斜邊長為c.在圖3（a）中，S四邊形DCFN=b2，S四邊形BCEM=a2，S△ABC=12ab.因為S四邊形AMGN=（a+b）2，S四邊形AMGN=S四邊形BCEM+S四邊形DCFN+4S△ABC=a2+b2+2ab，所以（a+b）2=a2+b2+2ab.在圖3（b）中，S△ABE=12ab，c2=a2+b2.因為S四邊形EFGH=（a-b）2，S四邊形EFGH=S四邊形ABCD-4S△ABE=c2-4×12ab=a2+b2-2ab，所以（a-b）2=a2+b2-2ab.

綜上所述，（a±b）2=a2+b2±2ab.

3 結束語

通過對“勾股圓方圖”所包含的公式進行分類研究和推導證明，在一定程度上豐富了“勾股圓方圖”的研究內容，有利于激發學生學習幾何學的興趣，有利于拓展學生思維，有利于學生形成良好的數學意識和數學思維.其中滲透的數學史內容，更有利于幫助學生了解中國數學幾千年發展的歷史淵源，了解我國古代數學家對數學在全世界的發展作出的貢獻，從而增強學生的文化自信與學習信心，這也是《義務教育數學課程標準（2022年版）》所倡導的課程育人目標.

參考文獻：

［1］ 錢寶琮.趙爽勾股圖說［J］.語數外學習（高中版）， 2021（10）：66-67.

［2］ 董國玉，盧靜.趙爽與《周髀算經注》［J］.蘭臺世界， 2014（14）：128-129.

［3］ 齊曉東，魏俊領.“數學宗師”趙爽的科學創造與歷史價值［J］.蘭臺世界， 2014（3）：76-77.

［4］ 湯兆璽.趙爽的《勾股園方圖》研究［J］.寶雞師范學院學報（自然科學版）， 1993（1）：101-106.

［責任編輯：李 璟］