磁力耦合陣列式壓電俘能器振動特性研究

摘要： 振動能量收集技術有望解決無線傳感節點自供電的難題。通過引入非線性磁力，本文設計了一種磁力耦合陣列式壓電俘能器（MA?PEH）。基于磁偶極子法建立非線性磁力模型，利用有限元方法獲取組合梁的恢復力模型，根據牛頓第二定律及基爾霍夫定律建立系統的動力學模型。仿真分析了激勵幅值、激勵頻率對動力學響應的影響規律，并進行實驗驗證。研究結果表明：在非線性磁力作用下，系統在諧振頻率附近出現混沌和阱間周期運動，這將有利于拓寬俘能器的工作頻帶；隨著激勵頻率改變，各組合梁始終保持相同的運動狀態，當系統處于阱間周期運動狀態時，只存在一種類型的組合梁處于高能輸出狀態。當激勵頻率分別處于兩個組合梁的諧振頻率附近時，增大激勵幅值，將導致一種類型的組合梁輸出被提升，而另一種類型的組合梁輸出被抑制。

關鍵詞： 壓電俘能器； 非線性； 動力學響應； 磁力耦合； 陣列

中圖分類號： TN384； TN712+.5""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2024）07-1191-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.07.011

收稿日期： 2022-09-23； 修訂日期： 2022-11-16

基金項目："國家自然科學基金資助項目（51974228）；陜煤聯合基金資助項目（2021JLM-03）；陜西省創新人才計劃項目（2018TD-032）；陜西省重點研發計劃項目（2018ZDCXL-GY-06-04）。

引" 言

近年來，隨著微電子器件的迅速發展，無線傳感器在各行各業取得了廣泛的應用［1?3］。目前，大多數無線傳感器采用化學電池供電，雖然它在一定程度上可以滿足無線傳感器的功耗需求，但是對于一些長期工作的分散式、嵌入式元件而言，更換電池將會極大地增加成本。除此之外，使用化學電池也會造成環境污染等問題。利用振動能量收集技術，將環境中的振動能量轉化成電能為無線傳感器供電，有望解決無線傳感器自供電的難題［4?5］。壓電式振動能量收集裝置因其結構簡單、易于集成等優點而被廣泛應用。

環境中的振動能量分布在較寬的頻帶范圍內，而傳統的線性壓電俘能器只有在發生共振時才會有較大的輸出，因而能量收集效率低下。為克服這個局限，謝濤等［6］將諧振頻率不同的懸臂梁陣列排布來擴大俘能器的工作帶寬，然而這種方式會使俘能器整體結構過大，除此之外，其單一懸臂梁的工作頻帶仍然很窄。為提升壓電俘能器的能量收集效率，科研人員通過引入非線性因素，拓寬俘能器的工作頻帶并展開相關研究［7?8］。Xie等［9］提出了一種T型壓電俘能器，建立其動力學模型，研究表明：該壓電俘能器在第一共振頻率時出現硬化非線性響應，使得工作帶寬變寬。Zhou等［10］設計了一種由彈簧連接的壓電俘能器，通過仿真和實驗研究驗證非線性系統在能量收集性能方面的提升。當懸臂梁個數為2和3時，該非線性系統的輸出功率分別達到了對應線性系統的268.8%和339.8%。

在各種非線性拓頻的方法中，由于磁力的引入， 壓電俘能器具有響應快、結構簡單等優點而被廣泛應用［11?12］。Zhou 等［13］設計了一種改進的三穩態壓電俘能器，通過調整末端磁鐵的傾角有效拓寬了壓電俘能器的工作頻帶。Chen等［14］設計了一種拱形?線形雙穩態壓電俘能器（BPEH?C），建立了其動力學模型，仿真和實驗結果表明：當激勵幅值為8 和12 時，BPEH?C的有效工作帶寬分別是無磁力狀態下的4.5倍和4.2倍。Li等［15］設計了一種改進的雙穩態壓電俘能器（ABEH），建立其理論分析模型，研究結果表明：相比于雙穩態壓電俘能器，ABEH具有更寬的工作頻帶。Yao等［16］設計了一種L型雙穩態壓電俘能器，研究結果表明：通過引入尖端質量和非線性磁力，可以有效提高俘能器的最大輸出電壓并拓寬工作帶寬。

上述多穩態壓電俘能器的基本結構均采用一種特定的布局方式：在懸臂梁自由端安裝磁鐵，利用框架放置外部固定磁鐵，并與前者保持相斥或相吸磁力關系，形成穩態。然而這種設計需要復雜的框架固定懸臂梁和磁鐵，導致結構的不緊湊，且不利于非線性壓電俘能器的應用。除此之外，就單個懸臂梁而言，其能量收集效率是有限的。針對環境中振動激勵具有多方向的特點，前期本文作者研制了一種線形?拱形組合梁實現多方向振動能量的收集［11，14］。本文在此基礎上，設計一種磁力耦合陣列式壓電俘能器，建立其動力學模型，并利用MATLAB中的ode45函數對模型進行數值求解，重點探討了激勵幅值、激勵頻率對動力學響應的影響規律，并通過實驗驗證了仿真的正確性。

1 壓電俘能器結構

如圖1所示為磁力耦合陣列式壓電俘能器結構模型圖。從圖中可以看出，系統主要由線形?拱形組合梁、磁鐵、壓電材料PVDF、基座組成。PVDF均勻粘貼在線形?拱形組合梁表面，組合梁的自由端各安裝一個磁鐵，磁鐵的尺寸、磁化強度相同，質量均為mt，磁鐵間的距離為d。各組合梁沿y軸方向的距離均為L1，寬度為b1，拱形部分的半徑和弦長分別為r和2r。組合梁1，3的厚度相同均為hs1，組合梁2的厚度為hs2。粘貼在各組合梁上的PVDF尺寸均相同，長度為L2，寬度為b2，厚度為hp。當系統受到沿z方向的激勵時，各組合梁均會產生振動并變形，粘貼在上面的PVDF也會隨之變形，由于正壓電效應，PVDF將機械形變轉化為電能輸出。

2 動力學建模

2.1 恢復力模型

為建立系統的動力學模型，首先需要獲取各組合梁的恢復力模型。本文設計的磁力耦合陣列式壓電俘能器中，組合梁1，3的尺寸完全相同，因此它們的恢復力相同，即Fr1=Fr3。而組合梁2的厚度與組合梁1，3不同，因此恢復力存在差異。由于組合梁中存在拱形結構，導致其恢復力具有非線性，通過理論分析建立其恢復力模型比較復雜。因此，本文利用COMSOL Multiphysics有限元分析軟件分別獲取其非線性恢復力模型。如圖2所示是利用參數化建模方法構建的組合梁有限元分析結構模型。

在組合梁根部施加固定約束，并在組合梁的自由端施加載荷，通過牛頓非線性分析方法可得到各組合梁的恢復力?位移數據，利用Origin軟件對仿真數據進行曲線擬合，如圖3所示，可分別得到組合梁1和組合梁2的恢復力?位移表達式：

（1）

（2）

式中" X1，X2分別代表組合梁1和組合梁2沿z方向的振動位移。

2.2 磁力模型

為建立磁鐵間的磁力模型，本文采用磁偶極子法對磁鐵間非線性磁力進行建模分析。忽略磁鐵偏轉角度，組合梁末端磁鐵的幾何關系如圖4所示。圖中X1，X2和X3分別表示磁鐵A，B和C的位移；rBA和rBC分別是磁鐵B到磁鐵A和磁鐵C的方向向量。

根據磁偶極子理論，磁鐵A，B間的勢能可表示為：

（3）

式中" 為真空磁導率；為向量梯度算子；為L?2范數，歐幾里得距離；分別是磁鐵A，B，C的磁偶極距

同理，磁鐵C，B間的勢能可表示為：

（4）

其中：

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

式中" 分別代表磁鐵A，B，C的磁化強度；分別代表磁鐵A，B，C的體積。。

將式（5）～（9）代入式（3）和（4），可得：

（10）

（11）

由于各組合梁自由端磁鐵的磁化強度、尺寸均相同，且磁極安裝方向一致，因此磁鐵A，C所受到的磁力大小、方向相同，即Fm1=Fm3。磁鐵B所受到的磁力為磁鐵A，C之和，且方向相反，即Fm2=-2Fm1=-2Fm3。通過對式（10），（11）求導，磁鐵A，B的磁力大小可分別表示為：

（12）

（13）

2.3 動力學模型

本文設計的磁力耦合陣列式壓電俘能器主要用于低頻環境能量收集，故只考慮一階振動模態。因此，可將系統簡化為如圖5所示的質量?彈簧?阻尼的集中參數模型。

根據牛頓第二運動定律及基爾霍夫定律，系統的機電耦合動力學模型為：

（14）

其中：

（15）

（16）

（17）

（18）

式中" Mi為模態質量；Cp為壓電元件電容；為壓電常數；為機電耦合系數；e31為介電系數；為機械振型向量的空間導數；V1，V2和V3分別為組合梁1，組合梁2和組合梁3的電壓輸出值；C1，C2，C3和R1，R2，R3分別為組合梁1，2，3的等效阻尼和其梁上PVDF的負載電阻；ρs和ρp分別為基體梁密度和壓電材料PVDF的密度；為基座的振動加速度；A激勵幅值；f為激勵頻率。

由于組合梁1和組合梁3具有相同的幾何尺寸，且末端磁鐵所受到的磁力大小、方向相同，因此組合梁1和組合梁3的動力學方程組完全相同，它們的動力響應也相同。因此，在接下來的分析中，主要對組合梁1和組合梁2這兩種不同類型的組合梁進行研究。

3 系統勢能分析

系統的總勢能可表示為：

（19）

表1給出了磁力耦合陣列式壓電俘能器主要的結構和材料參數。

圖6描述了不同磁鐵間距下系統的總勢能。通過改變磁鐵間距，可以改變磁鐵間的相互作用力，進而對系統的總勢能產生影響。當磁鐵間距d=30 mm時，磁鐵間的磁力可以忽略，系統的總勢能僅由各組合梁的恢復力提供，令式（19）中U1=U2=0，可得到系統在無磁力狀態下的總勢能，由圖6（a）可知，此時系統勢能圖的底部是一個明顯的半圓形狀。減小磁鐵間距至d=22 mm，此時系統勢能圖的底部相比于無磁力狀態時變得平坦，系統表現為單穩態；當磁鐵間距減小至d=18 mm時，系統勢能出現了兩個明顯的勢能阱和一個勢能壘，系統表現為雙穩態；繼續減小磁鐵間距至d=14 mm時，系統的勢能阱變得更深，阱間距離也增大，系統表現為強雙穩態。

圖7描述了當磁鐵間距d=18 mm時，系統勢能曲線形狀隨著組合梁1位移的變化。當X1=0時，系統勢能表現為兩個勢阱和一個勢壘，這與傳統的單自由度雙穩態系統勢能曲線類似，不同點在于系統勢能曲線呈現出不對稱，左邊勢阱略高于右邊勢阱，這主要是由于組合梁自身恢復力的不對稱導致的；隨著X1的增加，系統勢能曲線的雙勢阱和勢壘逐漸消失，其勢能曲線形狀與單自由度單穩態系統勢能曲線類似。

4 動力學特性分析

根據勢能分析可知，合適的磁鐵間距可以使系統處于雙穩態且具有較低的勢壘，而外界激勵條件對雙穩態壓電俘能器動力學特性具有重要的影響。因此，接下來主要針對外界激勵參數對雙穩態系統響應特性的影響規律展開研究。利用MATLAB中的ode45函數對動力學方程進行數值求解，可以得到不同激勵條件下系統的響應。

在俘能器中，系統的有效輸出功率與均方根電壓的平方成正比，因此，通常用均方根電壓來反映俘能器的輸出性能。均方根電壓的計算公式為：

（20）

式中" n為采樣點個數；Vi為離散電壓輸出值。

4.1 無磁力狀態

圖8為無磁力狀態下，激勵幅值時，壓電俘能器隨著激勵頻率變化的均方根電壓。從圖中可以看出，組合梁1和組合梁2的諧振頻率分別為22.2和15.4 Hz，對應的均方根電壓分別是34和33.7 V。此外，隨著激勵頻率的增加，均方根電壓曲線向右彎曲，呈現出硬特性，這主要由于各組合梁中拱形結構的存在，使得組合梁具有非線性恢復力。

4.2 雙穩態

4.2.1 激勵頻率f對系統動力學響應的影響

在的情況下，探究激勵頻率f對系統輸出及動力學響應的影響規律。圖9（a），（b）分別是組合梁1和組合梁2以激勵頻率為分岔參數的分岔圖。由圖可知，兩個組合梁隨著激勵頻率的變化展現出豐富的動力學響應。圖9（c），（d）分別是組合梁1和組合梁2隨著激勵頻率變化的均方根電壓，可以看出，兩個組合梁的頻帶寬度及均方根電壓峰值相比于無磁力狀態時是增加的。圖10為f取10，12，16，21，26 Hz時，組合梁1和組合梁2的相圖。

當f=9～11.7 Hz時，由分岔圖可知，此時兩個組合梁處于周期運動狀態。從圖9（c），（d）可以看出，當f=11.5 Hz時，組合梁1出現了一個電壓峰值，但是兩個組合梁在該頻帶范圍內均方根電壓較低。圖10（a）為f=10 Hz時，兩個組合梁的相圖。由圖可知，此時兩個組合梁的動能較小，均無法越過雙穩態勢壘，只能在勢阱中振蕩，處于阱內周期運動狀態。增大f至11.7～15.3 Hz時，由分岔圖可知，此時兩個組合梁仍處于周期運動狀態，結合圖9（c），（d）可得，此時組合梁1的輸出均方根電壓很小，而組合梁2的輸出均方根電壓高。圖10（b）為f=12 Hz情況下，兩個組合梁的相圖。可以看出，此時兩個組合梁均實現阱間運動，但組合梁1的位移僅為2 mm，且響應速度較慢，而組合梁2的位移達到了近45 mm，且響應速度快于組合梁1。繼續增大f至15.3～20.6 Hz，此時壓電俘能器的狀態發生改變，由分岔圖可知，此時兩個組合梁由周期運動狀態轉變為混沌運動狀態，從圖9（c），（d）可以看出，兩個組合梁的輸出均方根電壓出現波動，這是由于在此頻帶范圍內，組合梁1和組合梁2同時存在阱內和阱間運動，導致輸出均方根電壓不穩定。圖10（c）為f=16 Hz情況下，兩個組合梁的相圖。當f處于20.6～22 Hz時，由分岔圖可知，此時兩個組合梁處于周期運動狀態，由圖9（c），（d）可以看出，組合梁1保持較高的輸出均方根電壓，而組合梁2的輸出均方根電壓較低。圖10（d）為f=21 Hz時，組合梁1和組合梁2的相圖。由圖可知，此時兩個組合梁均實現阱間運動，但是組合梁1的響應位移和速度遠大于組合梁2。當激勵頻率fgt;22.3 Hz時，由分岔圖可知，此時兩個組合梁均處于周期運動狀態，結合圖9（c），（d）可知，此時兩個組合梁的輸出均方根均電壓較低。圖10（e）為f=26 Hz時，兩個組合梁的相圖。可以看出，此時兩個組合梁位移較小，均處于阱內周期運動狀態。

結合上述分析可知，在非線性磁力作用下，系統表現出混沌和阱間周期運動，這對拓寬壓電俘能器系統的工作頻帶是有幫助的。當f處于11.7～15.3 Hz及20.6～22 Hz范圍內，系統高能輸出，其頻帶寬度為5 Hz。隨著f的改變，兩個組合梁的運動狀態始終保持一致。特別地，當兩個組合梁表現為阱間周期運動狀態時，僅有一個組合梁處于高能輸出狀態，而另一個組合梁輸出較低。

4.2.2 激勵幅值A對系統動力學響應的影響

由上述分析可知，當激勵頻率f在兩個組合梁的諧振頻率附近時，系統總存在高能輸出。為探究系統高能輸出與激勵幅值的關系，分別選取f為14.5，21.5 Hz，A為8～18 。圖11（a），（b）分別為f=14.5 Hz及f=21.5 Hz情況下，兩個組合梁隨著A變化的均方根電壓。圖12為A取不同值時，組合梁1和組合梁2的相圖。

由圖11（a）可知，當f=14.5 Hz，處于8～14.7 時，兩個組合梁的輸出均方根電壓均較低。圖12（a）為情況下，組合梁1和組合梁2的相圖，可以看出，兩個組合梁均處于阱內運動狀態。這主要是由于激勵幅值較低，壓電俘能器獲得的動能較小，無法越過系統勢壘。當時，兩個組合梁的輸出均方根電壓出現了非常大的差別，組合梁2的輸出均方根電壓顯著提升，而組合梁1的輸出均方根電壓進一步降低。圖12（b）為情況下，組合梁1和組合梁2的相圖，可以看出，兩個組合梁均實現阱間運動，但是組合梁2的響應位移和速度遠大于組合梁1。

由圖11（b）可知，當f=21.5 Hz，A處于8～9.4時，兩個組合梁的輸出均方根電壓接近。圖12（c）為時，組合梁1和組合梁2的相圖，此時兩個組合梁均處于混沌運動狀態。增大至9.4～18，此時兩個組合梁的輸出均方根電壓與f=14.5 Hz時相似，也出現很大的差別，不同的是：此時組合梁1處于高能輸出狀態，而組合梁2的輸出均方根電壓隨著的增加而減小。圖12（d）為情況下，組合梁1和組合梁2的相圖，可以看出，此時兩個組合梁均實現阱間運動，但是組合梁1的響應位移和速度遠大于組合梁2。

結合上述分析可知：當激勵頻率在組合梁1的諧振頻率附近時，增大激勵幅值，有利于組合梁1實現高能輸出，但是抑制了組合梁2的輸出。然而，當激勵頻率在組合梁2的諧振頻率附近時，增大激勵幅值，有利于組合梁2實現高能輸出，但是抑制了組合梁1的輸出。

5 實驗驗證

為驗證仿真結果的準確性，搭建實驗測試平臺進行驗證。測試平臺如圖13所示，其主要由計算機、振動控制器、功率放大器、振動臺、激光測振儀、激光控制器、振動信號采集儀、示波器、壓電俘能器組成。在實驗中，通過在計算機上設定正弦信號參數并由振動控制器發出信號，經功率放大器放大后作用在振動臺上，振動臺按照預設的正弦信號振動。利用激光測振儀實時測量懸臂梁的末端響應速度，并使用振動信號采集儀獲取速度數據。利用示波器采集壓電俘能器的輸出電壓。

根據表1的參數制作磁力耦合陣列式壓電俘能器實驗樣機，組合梁采用鈹銅材料。根據需求尺寸裁剪PVDF，然后利用聚酰亞胺膠帶封裝，再通過環氧樹脂將封裝后的PVDF膠粘在組合梁表面，磁鐵通過膠水粘貼在組合梁末端。如圖14所示為樣機結構圖。

圖15展示了不同激勵頻率下系統在時的實驗測試結果。由圖15（a）可知，當激勵頻率f=12 Hz，兩個組合梁均處于阱間周期運動狀態，但組合梁2的振動位移達到了35 mm，而組合梁1的振動位移僅為3 mm。在該激勵條件下，組合梁2的輸出均方根電壓為28.2 V，而組合梁1的輸出均方根電壓較小，為2.2 V。增大激勵頻率至f=21 Hz，由圖15（b）可知，兩個組合梁仍處于阱間周期運動狀態，但兩個組合梁的輸出響應發生改變，此時組合梁1的振動位移增大至28 mm，而組合梁2的振動位移僅為3.5 mm。在此激勵條件下，組合梁1的輸出均方根電壓達到了28.5 V，而組合梁2的輸出均方根電壓為3.8 V。

圖16展示了不同激勵幅值下系統在f=14.5 Hz時的實驗結果。由圖16（a）可知，當激勵幅值時，組合梁1和組合梁2的振動位移較小，分別為7和4.5 mm，輸出均方根電壓分別為3.2和4.3 V。表明在較低的激勵幅值下，兩個組合梁均無法越過雙穩態勢壘，只能在勢阱中振蕩，處于阱內周期運動狀態。由圖16（b）可知，當激勵幅值增大至時，兩個組合梁由阱內周期運動狀態轉變為阱間周期運動狀態，組合梁2的振動位移獲得了大幅的提升，達到了39 mm，輸出均方根電壓為34.8 V，而組合梁1的振動位移較小，僅為3.5 mm左右，輸出均方根電壓為2.5 V。

圖17為不同激勵幅值條件下壓電俘能器在f=21.5 Hz時的實驗結果。由圖17（a）可知，當激勵幅值A=，此時組合梁1和組合梁2均處于混沌運動狀態，輸出均方根電壓分別為8.1和14.8 V。增大激勵幅值至，系統獲得的動能進一步增大，由圖17（b）可知，此時組合梁1和組合梁2均實現阱間周期運動，但是組合梁1的振動位移達到了31 mm，輸出均方根電壓為31.4 V，而組合梁2的振動位移為9 mm，輸出均方根電壓為5.2 V。

上述實驗結果定性地驗證了理論模型和數值仿真的正確性，但是存在偏差，其主要原因為：由于仿真分析中未考慮重力的影響，但實際振動過程中，組合梁的拱形部分會存在拉伸變形，這將導致輸出電壓值高于仿真值。此外，由于組合梁在振動過程中產生較大的位移，為盡可能測得組合梁的位移和速度，實驗中激光測振儀測量的是拱形中間的位置，因此，實驗測量的位移和速度與仿真相比是偏小的。

6 結" 論

本文設計了一種磁力耦合陣列式壓電俘能器，首先建立其機電耦合動力學模型，然后采用龍格?庫塔算法對動力學模型進行數值求解，仿真分析了激勵幅值、激勵頻率對系統響應的影響規律。最后，通過實驗驗證了分析結果的準確性。主要結論如下：

（1） 本文設計的磁力耦合陣列式壓電俘能器由兩種不同頻率的梁組合而成，通過改變磁鐵間距，可使系統實現雙穩態。這為多個諧振頻率組合的陣列式多穩態壓電俘能器的設計提供了研究思路。

（2） 當激勵幅值時，系統的工作帶寬相比于無磁力狀態下顯著增加，其阱間周期運動的頻帶寬度為5 Hz。除此之外，系統存在混沌運動，這拓寬了俘能器的帶寬。

（3） 隨著激勵頻率的改變，各組合梁均可實現周期、混沌運動，且運動狀態總是一致的。特別地，當壓電俘能器處于阱間周期運動狀態時，一種類型的組合梁處于高能輸出狀態，另一種類型的組合梁處于低能輸出狀態。

（4） 當激勵頻率在組合梁1的諧振頻率附近時，增大激勵幅值，對提升組合梁1的輸出是有益的，但是抑制了組合梁2的輸出；相反，當激勵頻率在組合梁2的諧振頻率附近時，增大激勵幅值，對提升組合梁2的輸出是有益的，但是抑制了組織梁1的輸出。

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Vibration performance analysis of magnetic coupling array piezoelectric energy harvester

ZHANG Xu-hui1，2， ZHU Fu-lin1， PAN Jia-nan1， CHEN Xiao-yu1， GUO Yan1， XU Heng-tao1， TIAN Hao1

（1.College of Mechanical Engineering， Xi’an University of Science and Technology， Xi’an 710054， China；2.Shaanxi Key Laboratory of Mine Electromechanical Equipment Intelligent Monitoring， Xi’an 710054， China）

Abstract： Vibration energy harvesting technology is expected to solve the problem of self-powered wireless sensor nodes. By introducing nonlinear magnetic force， a magnetic coupling array piezoelectric energy harvester （MA-PEH） is designed in this paper. The nonlinear magnetic force model is established based on magnetic dipole method. The restoring force model of composite beam is obtained by finite element method. According to Newton’s second law and Kirchhoff’s law， the dynamic model of the system is established. The influence of excitation amplitude and excitation frequency on dynamic response is analyzed by simulation and verified by experiment. The results show that under the action of nonlinear magnetic force， the system appears chaos and periodic motion between wells near the resonant frequency， which can help to broaden the working frequency band of the energy harvester. As the excitation frequency changes， each composite beam always maintains the same motion state. When the system is in a periodic motion state between wells， only one type of beam is in a high-energy output state. When the excitation frequency is near the resonant frequency of the two beams， increasing the excitation amplitude will lead to the boosting of the output of one type of beam， while the output of the other type of beam will be suppressed. The research provides theoretical guidance for the design of array piezoelectric energy harvesters and new research ideas for improving the output performance of piezoelectric energy harvesters.

Key words： piezoelectric energy harvester；nonlinearity；dynamic response；magnetic coupling；array

作者簡介： 張旭輝（1972―），男，博士，教授。E-mail： zhangxh@xust.edu.cn。