一般邊界條件下功能梯度板流激振動聲輻射研究

摘要： 為了研究嵌于無限大障板中的功能梯度板在湍流激勵下的振動聲學特性，基于湍流邊界層壁面脈動壓力互功率譜密度函數、切比雪夫譜方法、瑞利積分以及流體與結構耦合面的連續性條件，通過能量法建立了一般邊界條件下功能梯度板的流激聲振耦合模型。該模型能夠精確預測功能梯度板在湍流激勵下的振動及聲輻射響應，與解析解和試驗值的吻合驗證了算法的準確性。對一般邊界條件和梯度指數的研究表明：邊界彈簧剛度較大時，功能梯度板在低頻具有較低的流激聲振響應，而高頻時的輻射聲壓有所升高。隨著梯度指數的增大，流激振動及其輻射聲壓的峰值頻率逐漸增大，而峰值頻率對應的響應值減小。

關鍵詞： 功能梯度板； 流激振動； 流激噪聲； 一般邊界條件

中圖分類號： U661.44； O357.4""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2024）07-1221-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.07.014

收稿日期： 2022?07?16； 修訂日期： 2022?09?26

基金項目："國家自然科學基金資助項目（52225109，52241101，52271309）。

引" 言

潛艇水下噪聲源主要包括機械噪聲、螺旋槳噪聲和水動力噪聲。其中水動力噪聲的大小與流速的5～7次方成正比，中高速航行時，水動力噪聲將成為主要噪聲源。水動力噪聲包括湍流直接輻射噪聲和湍流激勵結構振動聲輻射。低馬赫數時，湍流直接輻射噪聲很小，可以忽略，流激噪聲成為主要貢獻量。流激噪聲會影響潛艇的隱身性能，因此開展水下結構的流激振動聲輻射研究具有重要意義。

流激噪聲是由湍流邊界層（TBL）壁面脈動壓力引起的。根據隨機理論，湍流脈動壓力可視為一種穩態的隨機過程，并應以功率譜形式加以描述。作為經典的TBL脈動壓力功率譜密度函數，Corcos模型［1］被廣泛使用。Strawderman等［2］采用Corcos模型，基于解析法計算了簡支平板和無窮大平板的水下流激振動響應，簡支板的精確解使得文獻［2］中的方法不能被推廣到其他邊界條件。陳美霞等［3］結合有限元邊界元方法和Corcos模型，提出一種半解析半數值算法，分析了簡支平板和圓柱殼的流激振動特性，該方法繼承了有限元方法的優點。Maxit等［4］基于互易原則實現了無限大周期加筋圓柱殼的流激聲輻射計算。Hambric等［5］通過對不同波數段的TBL功率譜建立單獨的模型，發現固支邊界和自由邊界分別在TBL功率譜的低波數區和對流區起主要作用。Esmailzadeh等［6］對具有SFSF，CFCF和CFFF等經典邊界的平板流激振動進行了計算，發現不同邊界條件下最大響應值隨流速的變化規律有差別，且當邊界為CFFF時有較高的響應幅值。邊界條件對流激噪聲有重要的影響，實際工程應用中，結構的邊界往往是復雜的、具有一定剛度的一般邊界條件，但現有研究方法常將其簡化為經典邊界條件，而對一般邊界條件下流激振動噪聲的研究不足。

功能梯度材料（FGM）的屬性在厚度上連續梯度變化，使其具有降低應力集中的性能，被廣泛應用到多種領域中［7］。隨著制備工藝的進步，FGM在水下潛艇上的應用成為可能，因此有必要對FGM的流激振動聲輻射進行研究。受限于FGM板的建模難度，對其在流激方面的研究較少。周理等［8］對湍流激勵下FGM涂覆層?無限大背襯板的聲傳遞性能進行了研究，該文獻只是對厚度剖面進行建模，沒有考慮流體在水平方向的互相作用及結構邊界條件的影響。

能量法適用于建立一般邊界條件下FGM結構的振動分析模型［9?11］。本文通過能量法和TBL脈動壓力功率譜模型建立了一般邊界條件下FGM板的流激聲振耦合模型，通過在空間域進行四重積分，獲取了振動和聲輻射響應。其中輻射聲壓是通過瑞利積分得到的。針對FGM材料特性，詳細分析了不同邊界條件和不同梯度指數下的流激振動和聲輻射響應。

1 模型建立與理論推導

1.1 TBL壁面脈動壓力激勵

假設充分發展、穩態、均勻的TBL流過嵌于無限大障板的長為a、寬為b的平板的一側（如圖1所示），另一側的流體處于靜止狀態。FGM板和邊界層之間只存在弱耦合，FGM板的振動不會影響湍流脈動壓力場；假設流體中聲波的傳播與湍流的流動互不影響。TBL壁面脈動壓力互功率譜可以作為FGM板振動的輸入載荷。

沿x軸方向有流速為的湍流流動，流體的聲速為，密度為。一般采用半經驗模型來描述湍流脈動壓力互功率譜密度函數，較為經典的模型為Corcos模型［1］：

（1）

式中" 和表示順流方向和擴展方向的相對距離；為角頻率；分別為順流方向和擴展方向的經驗常數，本文中分別取為0.115和0.7；為對流速度，取值范圍一般為流速的0.6～0.8倍［3］；自功譜密度有多種表達形式，本文使用了Skudrzyk等［12］提出的形式：

（2）

式中" ，當流體為水時，ε取為1，當流體為空氣時，ε取為3；δ*為湍流邊界層位移厚度。

1.2 FGM板聲振耦合模型

考慮材料特性沿板厚方向連續變化的FGM板（截面示意圖如圖2所示），材料由金屬按冪函數呈梯度變化到陶瓷。材料屬性隨厚度h變化的關系為：

（3）

式中" Pm和Pc分別為金屬和陶瓷的材料屬性，可以表示彈性模量、泊松比、質量密度等；g∈［0，+∞）為梯度指數。

根據基爾霍夫薄板理論，FGM板上任意一點沿x， y和z三個方向的位移分量為：

（4）

小變形情況下，應變?位移關系為：

（5）

根據胡克定律，應力?應變關系為：

（6）

式中" C為彈性張量，表示為：

（7）

根據能量理論，FGM板的應變能和動能分別為：

（8）

（9）

式中" E（z）為楊氏模量；（z）為泊松比；為密度。E，和是坐標z的冪函數；V表示FGM板的體積。

FGM板的邊界條件通過具有可變剛度的線分布式邊界彈簧來模擬，邊界彈簧彈性勢能為：

（10）

式中" k表示線性彈簧的剛度；K表示扭轉彈簧的剛度；下標“x0”，“xa”，“y0”，“yb”表示FGM板的4個邊界。

板振動引起的聲壓場滿足如下波動方程［2］：

（11）

鑲嵌于無限大障板中的FGM板，在無限遠處滿足Sommerfeld輻射條件，而在平板與流體接觸面上，聲壓場的邊界條件為：

（12）

假設聲壓隨時間簡諧變化，無限大障板使聲場分為互不影響的上、下兩部分，因此FGM板上下兩面的聲壓大小相等，方向相反。在以上邊界條件下求解波動方程，得到瑞利積分公式，FGM板上、下兩面的聲壓場可以表示為：

（13）

式中" 表示板的上表面；表示板的下表面；，表示FGM板上的任意源點，。

上、下兩面互不影響的輻射聲壓都對FGM板做功，表達式為：

（14）

在點施加單頻點力激勵，可以得到單位外力對板做功為：

（15）

綜上，采用瑞利?里茨方法，整個系統的拉格朗日方程［9］為：

（16）

FGM板的位移函數用切比雪夫多項式近似表示為：

（17）

式中" ψ表示切比雪夫多項式；G表示未知系數；M和N表示在x和y方向上使用的切比雪夫多項式的項數；m表示在x方向上的第m階多項式；n表示在y方向上的第n階多項式。；。

將式（17）代入式（16），根據哈密頓原理，對拉格朗日方程求導可以得到單頻點力作用下的線性方程：

（18）

式中" K為剛度矩陣；M為質量矩陣；為聲固耦合矩陣；為外部激勵矩陣。

求解式（18）得到未知系數G，代入到式（17）就可以得到FGM板的位移單頻響應函數為：

（19）

根據瑞利積分公式，由式（13）位移與聲壓的關系式，可得到輻射聲壓的頻響函數為：

（20）

式中" ，為空間響應點與平板上任意一點的距離。

1.3 流激振動噪聲響應的求解

頻響函數具有互易性，點處的法向位移與點處施加的法向力之比，等于點處的法向位移與點處施加的法向力之比［4］。根據隨機理論［2］，湍流激勵下FGM板振動位移的自功率譜密度為：

（21）

根據位移與速度、加速度的關系，速度、加速度的自功率譜密度可以由位移的自功率譜密度表示為：

（22）

同理可得，輻射聲壓的自功率譜密度為：

（23）

由功率譜的定義可知，結構位移和輻射聲壓與自功率譜的關系為：

（24）

2 數值算法驗證

2.1 FGM板模型的收斂性驗證

為了驗證FGM板建模的準確性，對四邊簡支Al/Al2O3 FGM板的模態進行了計算，板的材料參數如表1所示。簡支邊界是通過將扭轉邊界彈簧的剛度K和線性邊界彈簧的剛度k分別設置為0和 N/m2來實現的。

實際計算中不可能取無限項多項式，而隨著位移函數的截斷級數的增加，計算值逐漸穩定，因此有限項多項式就可以表示準確結果。綜合計算效率和準確性，進行了收斂性驗證。梯度指數為1的固有頻率如表2所示，發現當M=N=16時，模態計算值就可以收斂到穩定值。之后的計算都以此截斷級數進行。從表2與文獻［13］解析解的比較結果可以看出，前10階模態的固有頻率與文獻結果相吻合，誤差值小于等于0.01%，證明了本文FGM板建模的準確性，可以用于下一步的流激振動噪聲計算。

2.2 流激振動噪聲響應的準確性驗證

本文通過計算梯度指數為零的簡支板在湍流激勵下的振動噪聲響應來驗證算法的準確性。

案例1和2中分別考慮了流體介質是水和空氣的兩種情況，所需計算參數如表3所示。

案例1計算了水下鋼板在上表面TBL激勵下的振動速度自功率譜密度，考慮了結構與兩側水的聲固耦合效應。圖3對比了平板中心（點a）和3/4長度處（點b）的本文計算值與文獻［2］參考值。

案例2計算了鋁板在空氣中受TBL激勵的振動加速度級和輻射聲壓級。參考加速度級為9.8 m?s-2?Hz-0.5，參考聲壓級為。圖4給出了本文計算值與文獻［14］試驗值、計算值的對比結果，可以看出本文計算結果與文獻試驗和計算結果吻合良好。響應值有微小偏差的原因是本文通過蒙特卡羅數值積分方法求得Corcos模型與位移函數的四重積分及聲固耦合矩陣，與文獻［9］和［14］基于模態疊加法的精確積分方法存在差別。為了探究蒙特卡羅積分的收斂性問題，針對案例2中振動加速度級，在六個頻率處，將不同數量積分節點下的計算值在圖5中進行了比較，可以看出低頻時計算值基本相同。隨著頻率的升高，當積分節點數在100萬以上時，計算值與100萬積分節點時的差值不超過1 dB，結果較為穩定。為了平衡計算效率與準確性，本文以100萬積分節點進行計算。

由以上分析可知，本文提出的方法可以準確有效地計算TBL激勵下的FGM板振動噪聲響應問題。

3 流激振動聲輻射研究

基于案例1的計算參數，把鋼板替換為Al/Al2O3 FGM板，計算了其中心點的加速度級和中心點上方0.5 m處的輻射聲壓級。參考加速度級為 ，參考聲壓級為。

3.1 一般邊界條件對流激振動聲輻射的影響

人工調整邊界彈簧的剛度即可實現任意邊界條件。假設板四邊的邊界條件相同，保持扭轉邊界彈簧剛度為0，將線性邊界彈簧的剛度從 N/m2逐漸增加到 N/m2來探究不同邊界條件的影響。圖6中比較了梯度指數為5的FGM板在上述邊界剛度變化規律下的流激振動加速度級和輻射聲壓級。可以看出，當線性彈簧剛度大于 N/m2時，在低頻具有更低的加速度和聲壓響應值及較少的峰值點，而在高頻處聲壓值有所提高。

隨著剛度從 N/m2增大到 N/m2，峰值頻率向高頻偏移。從式（10）和（18）中可以看出，邊界彈簧剛度的增大引起系統整體剛度矩陣的增大，從而引起固有頻率的增加。這與圖6中峰值頻率向高頻偏移相吻合。本文中，彈簧剛度高于 N/m2和低于 N/m2時，響應值都不再改變。剛度值大于 N/m2時，邊界約束足夠大可視為剛性邊界，而剛度值小于 N/m2時，不足以提供足夠的約束可視為自由邊界。因此彈簧剛度的改變并不能無限影響峰值頻率和響應值，其具有收斂性。

3.2 梯度指數對流激振動聲輻射的影響

梯度指數的改變能夠影響FGM板的材料特性，通過計算不同梯度指數下的振動加速度級和輻射聲壓級，探究了梯度指數對流激振動聲輻射的影響，結果如圖7所示。

從圖7中8種梯度指數下的振動加速度級和輻射聲壓級曲線可以看出，每一梯度指數下都在第一個峰值頻率處有最大響應值，隨著頻率的增加，整體響應呈下降的趨勢。除了個別頻率點的差別，不同梯度指數下的響應曲線形狀趨勢相同。從云圖中可以看出，不同梯度指數下的同一峰值呈帶狀向高頻傾斜，說明隨梯度指數的增加，峰值點向高頻偏移，且峰值密度不變。加速度響應和聲壓響應在梯度指數為10的一側明顯小于梯度指數為0的一側，說明隨梯度指數的增大響應值在減小。

為了進一步驗證上述規律，提取加速度級和聲壓級曲線的前六階峰值數據，在圖8中將不同梯度指數下的同一階峰值進行對比，并將峰值頻率及其對應的加速度級幅值列于表4。可以明顯看到，隨著梯度指數從0增大到10，同一階峰值對應的頻率值逐漸增大，對應的加速度級和聲壓級幅值均降低15 dB以上。根據FGM建模，梯度指數增大會導致陶瓷材料占比的增大。選取的陶瓷材料為Al2O3，彈性模量與密度之比遠大于金屬材料Al。由1.2節推導可知，彈性模量和密度分別體現于剛度矩陣和質量矩陣中，彈性模量與密度之比的增大引起剛度矩陣與質量矩陣之比的增大，從而導致固有頻率的增大，這與文獻［5］的結果相似。這正是峰值頻率隨梯度指數增大而增大的原因。

圖8中前四階峰值頻率對應的加速度級和聲壓級具有隨梯度指數的增大而減小的規律，這與圖7觀察到的結果相同。在第五階峰值點處，g=0.1時的加速度級和聲壓級比g=0和g=0.3時的都低，而在第六階峰值點處，g=0.1和g=3時的加速度級和g=3時的聲壓級都偏低。計算第五階峰值頻率下不同位置的加速度響應及聲壓級響應組成云圖，圖9中比較了g=0，g=0.1和g=0.3三種梯度指數下的平板加速度響應云圖和聲壓級云圖。以平板中心為圓心，板長a為半徑，分別計算了平板所在平面z=0的圓形聲壓級云圖、截面y=b/2的半圓形聲壓級云圖和截面x=a/2的半圓形聲壓級云圖。

三種梯度指數下的加速度響應云圖和聲壓級云圖具有相似性，可以認為均處于第五階峰值頻率下，且g=0.1時的加速度值和聲壓級均比其他兩種情況下低，與圖8第五個峰值點的結果相呼應，對比驗證了本文峰值計算結果的準確性。對比加速度響應云圖和三個平面上的聲壓級云圖可以發現，聲壓級的大小分布與平板的振動加速度幅值相關，振動響應越強的位置，輻射聲壓級越大；隨著與平板距離的增大，輻射聲壓級逐漸減小。

4 結" 論

結合壁面脈動壓力Corcos模型，通過能量法建立了湍流激勵下具有一般邊界條件的FGM板的聲振耦合模型。通過計算FGM板的固有頻率，進行了本文模型的收斂性驗證；將流激振動聲輻射結果與文獻的解析解和試驗值進行對比，分別在空氣中和水中驗證了本算法的準確性。分析了一般邊界條件的影響機理，對梯度指數對流激振動聲輻射的影響進行了研究。結果表明：當彈簧剛度較大時，邊界約束較強，可以在低頻得到較低的加速度響應和聲壓級響應，而高頻的聲壓級幅值會增大。在某一剛度范圍內，隨著邊界彈簧剛度的增大，加速度級和聲壓級的峰值頻率逐漸增大，當在此剛度范圍外時，峰值頻率和響應值基本不隨剛度變化而變化。隨著梯度指數的增大，峰值密度基本不變，峰值頻率向高頻偏移，而峰值處的加速度級和聲壓級幅值減小。

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Flow?induced vibration and sound radiation of the functionally graded plates with general boundary conditions

SONG Xiao?ji， JIN Guo?yong， YE Tian?gui

（College of Power and Energy Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： To investigate the vibration and acoustic properties of the baffled functional gradient plates with general boundary conditions under turbulent excitation， a vibro-acoustic coupling model of the functional gradient plate under turbulent boundary layer wall pressure fluctuation is developed by the energy method based on the turbulent pressure fluctuation cross-spectral density， Chebyshev spectral method， Rayleigh integral and the continuity condition of the fluid-structure coupling surface. The accuracy of the algorithm is verified by the agreement with the analytical solution and experimental results. The effects of the general boundary condition and the gradient index of the FGM plate are studied. It can be noted that when the stiffness of the boundary spring is in a certain range， the peak frequencies of the flow-induced acceleration level and sound pressure level increase with the rise of the spring stiffness. When the stiffness of the boundary spring is large， low vibration and radiated sound exist at low frequency， while the radiated sound pressure is high at high frequency. As the gradient index increases， the peak frequency increases gradually， but the peak responses of the acceleration level and sound pressure level decrease.

Key words： functionally graded plate；flow?induced vibration；flow?induced noise；general boundary condition

作者簡介： 宋曉濟（1995―），男，博士研究生。E?mail： songxiaojihrbeu@hrbeu.edu.cn。

通訊作者： 靳國永（1980―），男，博士，教授，博士生導師。E?mail： guoyongjin@hrbeu.edu.cn。