非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板的靜力學與動力學分析

摘要： 建立了非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板的靜力學和動力學模型。通過固化分析確定了三個平衡狀態，展示了以溫差絕對值為控制參數的超臨界叉形分岔。通過穩定性分析確定了三個平衡狀態為兩個穩定平衡狀態和一個不穩定平衡狀態。通過靜力學分析確定了雙勢阱勢能曲線，這有助于對動態跳躍現象的研究。通過在動力學分析中引入阻尼，分析了平衡點的動態分岔。通過數值模擬討論了基礎激勵頻率對動力學特性的影響。當激勵頻率處于一定范圍內時，系統會發生雙勢阱大振幅動態跳躍和非線性振動，此頻率范圍可以被設定為特定頻率帶寬。雙穩態系統的主要動力學特性表現為周期振動、概周期振動和混沌振動。

關鍵詞： 非線性振動；復合材料層合方形板； 雙穩態； 三種平衡狀態； 動態跳躍

中圖分類號： O322； TB334""" 文獻標志碼： A""" 文章編號： 1004-4523（2024）07-1169-13

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.07.009

收稿日期： 2023?10?18； 修訂日期： 2023?12?15

基金項目："國家自然科學基金資助項目（12102031）；北京建筑大學“金字塔人才培養工程”項目（JDYC20220828）。

引" 言

非對稱纖維鋪設的層合板在從高溫冷卻到室溫的過程中會產生殘余熱應力［1］。由于殘余熱應力和幾何非線性的共同作用，非對稱層合板冷卻到室溫時會產生兩個穩定平衡狀態和一個不穩定平衡狀態，從而形成雙穩態復合材料層合板。這兩個穩定平衡狀態分別表現為主曲率沿x和y方向的兩個圓柱殼，這兩個圓柱殼在沒有能量輸入的情況下就能夠被維持，而當有足夠的能量輸入時，其可以通過跳躍（snap?through）實現相互之間的轉換。不穩定平衡狀態表現為兩個微小曲率分別沿x和y方向的大小相等、符號相反的馬鞍形雙曲殼。雙穩態復合材料層合板作為自適應變形結構，在航空航天工程領域發揮著越來越重要的作用。

雙穩態復合材料層合板的靜態跳躍現象已經得到廣泛的研究［2?8］，Guest等［9］通過調整材料參數和纖維鋪設方式獲得了多個穩定構型。有趣的是，反對稱復合材料層合板或殼體也呈現出兩個帶有卷曲半徑的穩定構型［10］。除了直接提供機械力和力矩的機械加載裝置外［11］，形狀記憶合金能夠提供準靜態力，從而很好地控制靜態跳躍［12?13］。Mattioni等［14］提出多種構型、可跳躍的變形機翼的應用概念。Pirrera等［15］提出了更精確的位移場，改進了雙穩態復合材料層合板的高階多項式函數。與形狀記憶合金相似，含準靜態電壓的壓電纖維更適合與雙穩態復合材料層合板集成使用［16?17］。此外，Seffen等［18］進行了磁力驅動跳躍的研究；Zhang等［19］通過磁流變彈性體驅動多穩態跳躍現象；Chillara等［20］建立了一個傳感器系統的理論模型。

近年來，一些學者研究了雙穩態復合材料層合板的動力學問題。Saberi等［21］分析了雙穩態復合材料層合板的自由振動；Senba等［22］利用豐富的動力學特性改進驅動機構。Arrieta等［23?24］研究了阱間動力學特性即跳躍特性，并采用氣動力來驅動跳躍。Emam等［25］通過實驗的方法研究了動態跳躍。Carrella等［26］建立了雙穩態系統的杜芬方程。Lee等［27］研究了動態跳躍的抑制策略。Habibzadeh等［28］建立了雙穩態板的靜力學和動力學的半解析模型。

到目前為止，關于非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板的靜力學和動力學建模方面的工作是極少的。本文建立了非對稱雙穩態正交復合材料層合方形板的力學模型及方程，忽略慣性項、阻尼項和外激勵項得到靜力學方程。通過求解靜力學方程進行固化分析，確定了雙穩態板的三個平衡點。通過穩定性分析確定了三個平衡點為兩個穩定平衡點和一個不穩定平衡點。通過求解動力學方程闡述了非對稱雙穩態正交復合材料層合方形板的雙勢阱動態跳躍和非線性振動。動態跳躍往往伴隨著混沌振動，而非線性振動表現為周期振動、概周期振動和混沌振動。

1 運動方程

圖1（a）所示為中心固定支撐、四邊自由的非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板，其材料成分為石墨/環氧樹脂，其非對稱鋪層順序如圖1（b）所示，總層數為n=2N（N=2，3，4），前N層纖維鋪設方向為0°，后N層纖維鋪設方向為90°，單層纖維的厚度為h，長度、寬度和總厚度分別為2Lx，2Ly和2H（H=Nh）；Ix，Iy和Iz表示板在3個方向的慣性量。雙穩態板受到基礎激勵Y的作用。兩個穩定平衡狀態分別表現為主曲率沿x和y方向的兩個圓柱殼，不穩定平衡狀態表現為兩個微小曲率分別沿x和y方向的大小相等、符號相反的馬鞍形雙曲殼，如圖2所示。

Reddy三階剪切位移場u，v，w可以分別表示為［29］：

（1a）

（1b）

（1c）

式中" u0，v0和w0分別表示層合板中面上任意一點沿x，y和z方向的位移；φx和φy分別表示中面法線繞y軸和x軸的轉角。

非線性應變?位移關系為：

（2）

其中：

（3a）

（3b）

（3c）

（3d）

（3e）

其中，，。

應力?應變關系如下：

（4）

式中" 和分別表示纖維沿x和y軸的熱膨脹系數，；等效剛度系數Qij為：

，，，，，

，""" （5）

式中" 和分別為縱向和橫向彈性模量；和分別表示縱向和橫向泊松比；和分別表示縱向和橫向剪切模量。

非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板的勢能為：

（6）

非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板的動能為：

（7）

哈密頓原理為：

（8）

為方便起見，建立一個低階模型，根據中心固定支撐、四邊自由的邊界條件，低階位移為［18］：

（9a）

（9b）

（9c）

（9d）

（9e）

式中" 和分別表示x和y方向的曲率。

將式（8）在平面域（x ∈ ［?Lx， Lx］和y ∈ ［?Ly， Ly］）中積分，并只考慮雙穩態系統的橫向振動，確定二自由度常微分方程為：

（10a）

（10b）

引入無量綱表達式：

，，，，，，，，，

，，，，

（11）

因此，式（10）可以寫成無量綱的形式：

（12a）

（12b）

基于式（12），可以分析出非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板的靜力學和動力學特性。

2 固化分析

通過固化分析可以確定三種平衡狀態。忽略式（10）中的慣性、阻尼和動態激勵項，得到非線性靜平衡方程：

（13a）

（13b）

在固化過程中，非對稱復合材料層合板從制造溫度冷卻至室溫。設室溫與制造溫度之間的差值為ΔT，并以溫差絕對值|ΔT|作為控制參數。改變|ΔT|，通過求解式（13）可繪制靜態分岔圖，如圖3所示。

圖3（a）中，黑線、藍線和紅線分別表示非對稱鋪設順序為（0°/0°/90°/90°），（0°/0°/0°/90°/90°/90°）和（0°/0°/0°/0°/90°/90°/90°/90°），尺寸為300"mm×300"mm的雙穩態板。由圖可知，平衡解的數目隨著|ΔT|的變化從1變到3，這表明靜態分岔的類型是超臨界叉形分岔。

圖3（b）表示非對稱鋪設順序為（0°/0°/0°/90°/90°/90°），尺寸為300 mm×300 mm的雙穩態板的固化過程。板在點A處是一個平面板。在點B處，溫度?位移關系曲線分岔出分支BC，BD和BE。沿分支BC，正位移的大小隨著參數|ΔT|（ΔT的符號為負）的增加而增加；沿分支BD，位移保持在接近于零的水平；沿分支BE，負位移的大小隨著參數|ΔT|的增加而增加。在分支BE，沿x方向的曲率占主導地位，而沿y方向的曲率接近于零，這代表第一穩定狀態；在分支BD，沿x和y方向的曲率大小相等、符號相反，這代表不穩定平衡狀態；在分支BC，沿y方向的曲率占主導地位，而沿x方向的曲率接近于零，這代表第二穩定狀態。

3 穩定性分析

本節中，首先研究式（10）是否有三個平衡點，然后通過穩定性分析判斷式（10）是否有兩個穩定平衡點和一個不穩定平衡點。分別考慮無阻尼和有阻尼的情況，其中，無阻尼情況對應靜態分析，有阻尼情況對應動態分析。

在本節中，非對稱鋪設順序為（0°/0°/0°/90°/90°/90°），尺寸為300 mm×300 mm，ΔT為-90 ℃。令，，將式（10）轉化為狀態空間的形式：

（14）

其中：

（15a）

（15b）

（15c）

（15d）

雅可比矩陣為：

（16）

即

（17）

其中：

，，，，

，

，，，，，

，

（18）

3.1 三個平衡點

為確定三個平衡點，去掉阻尼和外激勵項，并令式（14）中的，，，，得到：

（19a）

（19b）

（19c）

（19d）

通過求解式（19）得到三個平衡解：

=，" =，

="""" （20）

3.2 無阻尼穩定性分析

令c1=0，c2=0，并將式（20）中的第一個平衡點代入雅可比矩陣（16），則J1被表示為：

（21）

對應J1的特征方程為：

（22）

即

（23）

特征值為：

（24）

由于λ11和λ12是一對共軛純虛特征值，λ13和λ14也是一對共軛純虛特征值，所以式（20）中的第一個平衡點是一個中心點且該點是穩定的。

令c1=0，c2=0，并將式（20）中的第二個平衡點代入雅可比矩陣（16），則J2被表示為：

（25）

對應J2的特征方程為：

（26）

即

（27）

特征值為：

（28）

由于λ21和λ22是一對符號相反的實特征值，λ23和λ24是一對共軛純虛特征值，所以式（20）中的第二個平衡點是鞍中心點且該點是不穩定的。

令c1=0，c2=0，并將式（20）中的第三個平衡點代入雅可比矩陣（16），則J3被表示為：

"" （29）

對應J3的特征方程為：

（30）

即

（31）

特征值為：

（32）

由于λ31和λ32是一對共軛純虛特征值，λ33和λ34也是一對共軛純虛特征值，所以式（20）中的第三個平衡點是中心點且該點是穩定的。

3.3 有阻尼穩定性分析

考慮阻尼并將式（20）中的第一個平衡點代入雅可比矩陣（16），則雅可比矩陣被確定為：

（33）

對應J1的特征方程為：

（34）

即

（35）

特征值為：

（36）

由于λ11和λ12是一對共軛復特征值，λ13和λ14也是一對共軛復特征值，所以式（20）中的第一個平衡點不再是中心點而是焦點。一旦c1和c2被確定，f1（c1，c2）就可以被計算出來。

考慮阻尼并將式（20）中的第三個平衡點代入雅可比矩陣（16），則雅可比矩陣被確定為：

（37）

對應J3的特征方程為：

（38）

即

（39）

特征值為：

（40）

由于λ31和λ32是一對共軛復特征值，λ33和λ34也是一對共軛復特征值，所以式（20）中的第三個平衡點不再是中心點而是焦點。一旦c1和c2被確定，f2（c1，c2）就可以被計算出來。

令c1=c2=c，以阻尼為控制參數，得到動態分岔圖，如圖4和5所示。

圖4為特征值λ1，λ2，λ3，λ4與阻尼c的關系曲線，圖中，Re（?）表示特征值實部，Im（?）表示特征值虛部。由圖4可知，當cgt;0時，所有特征值實部為負，說明平衡點是一個穩定的焦點；當clt;0時，所有特征值的實部為正，說明平衡點是一個不穩定的焦點。可以得出結論，當阻尼c的符號從負變到正時，所有特征值實部的符號從正變到負，而虛部的大小和符號幾乎保持不變，即平衡點從一個不穩定的焦點變為一個穩定的焦點。

圖5為平衡點的動態分岔圖。如圖5所示，當阻尼c從零變為非零時，平衡點從中心點變為焦點。圖5（a）說明，當cgt;0時，平衡點為穩定焦點；圖5（b）說明，當clt;0時，平衡點為不穩定焦點。可以得到結論，平衡點的動態分岔隨著阻尼c的變化而發生。

4 勢能曲線

對于動力學特性分析，雙穩態系統必須要有外部能量輸入，以克服其自身的勢能。基于式（14），勢能為：

（41）

非對稱鋪設雙穩態板的勢能曲線如圖6所示。圖中，黑線表示（0°/0°/90°/90°），藍線表示（0°/0°/0°/90°/90°/90°），紅線表示（0°/0°/0°/0°/90°/90°/90°/90°）。圖6和7中的橫坐標表示角（Lx，Ly）的位移w，縱坐標表示能量U。雙穩態板的尺寸為300"mm×300 mm，ΔT為-90 ℃。

通過分析圖7，（0°/0°/0°/90°/90°/90°）雙穩態板的勢能曲線有兩個勢阱和一個勢壘，這有助于研究動態跳躍和非線性振動。由圖7可知，雙穩態系統需要足夠的能量輸入來驅動其從一個穩定平衡狀態跳躍到另一個穩定平衡狀態。也就是說，需要向雙穩態系統施加足夠的能量，以驅動其掙脫某一個勢阱的束縛，并跨過隔離兩個勢阱的勢壘，進入到另外一個勢阱。當能量輸入不足時，動態響應將被限制在某一個穩定狀態附近的小范圍內。

5 動力學分析

為研究非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板的動力學特性，設置控制參數為：

p=（n， ΔT， c， f， Ω）""" （42）

式中" f表示激勵振幅；Ω表示激勵頻率。

式（12）被用作頻率?位移響應函數。選擇三組控制參數，分別為p1=（4， 90， 0.75， 1， Ω），p2=（6， 90， 0.75， 0.6， Ω），p3=（8， 90， 0.75， 0.3， Ω）。利用Runge?Kutta法進行掃頻，得到非對稱鋪設順序分別為（0°/0°/90°/90°），（0°/0°/0°/90°/90°/90°），（0°/0°/0°/0°/90°/90°/90°/90°），尺寸為300 mm×300 mm的雙穩態板的頻率?位移響應圖，如圖8所示。

選擇一組控制參數（6， 90， 0.75， 0.6， Ω），得到非對稱鋪設順序為（0°/0°/0°/90°/90°/90°），尺寸為300 mm×300 mm的雙穩態板的頻率?位移響應，如圖9所示。

在圖8中，縱坐標為角（Lx，Ly）的橫向位移w，橫坐標為頻率Ω。橫向位移w采用以下無量綱形式：

（43）

在圖9（a）中，縱坐標為x方向的曲率，橫坐標為頻率Ω；在圖9（b）中，縱坐標為y方向的曲率，橫坐標為頻率Ω。

圖8和9可以被用來分析非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板在掃頻過程中的振動形式。為全面分析動力學特性，圖10展示了一系列平面上的龐加萊截面圖，它們表明了雙穩態系統的振動形式。圖10（a）說明了當Ω=14.46時，系統在第一穩定狀態附近的周期性振動；圖10（b）說明了當Ω=16.68時，系統在兩個穩定平衡狀態之間的連續動態跳躍和混沌振動；圖10（c）說明了當Ω=17.16時，系統在第二穩定狀態附近的概周期振動；圖10（d）說明了當Ω=17.52時，系統在兩個穩定平衡狀態之間的動態跳躍和混沌振動；圖10（e）說明了當Ω=17.64時，系統在第一穩定狀態附近的概周期振動；圖10（f）說明了當Ω=17.88時，系統在第二穩定狀態附近的周期振動。

基于圖10中的龐加萊截面圖，圖8和9可以被描述為如下的流程：

（1）系統在某一個穩定平衡狀態附近的振動→系統在兩個穩定平衡狀態之間的動態跳躍→系統在某一個穩定平衡狀態附近的振動；

（2）系統在第一個穩定平衡狀態附近的周期振動→系統在兩個穩定平衡狀態之間的連續動態跳躍→系統在第二個穩定平衡狀態附近的概周期振動→系統在兩個穩定平衡狀態之間的動態跳躍和混沌振動→系統在第二個穩定平衡狀態附近的混沌振動→系統在第一個穩定平衡狀態附近的概周期振動→系統在第二個穩定平衡狀態附近的周期振動；

（3）單勢阱小振幅振動→單勢阱大振幅振動→雙勢阱大振幅振動和非線性振動→單勢阱大振幅振動→單勢阱小振幅振動。

通過掃頻可知，雙穩態板首先在某一個穩定平衡狀態附近發生輕微振動，然后在兩個穩定平衡狀態之間發生劇烈跳躍，最后又在某一個穩定平衡狀態附近發生輕微振動。

所有能引起雙勢阱大振幅動態跳躍和非線性振動的激勵頻率構成了一個特定的范圍，這個特定范圍實際上有助于雙穩態能量采集器的設計，且會隨著層合板層數的增加而減小。隨著總厚度2H的增加，動態跳躍將被限制在一個非常窄的頻率帶內。

如圖10（a）和（e）所示，沿y方向的曲率振幅占主導地位，而沿x方向的曲率振幅幾乎為零，也就是說，圖10（a）和（e）顯示的位移為正，這表示系統在第一穩定狀態附近振動。類似地，如圖10（c）和（f）所示，沿x方向的曲率振幅占主導地位，而沿y方向的曲率振幅幾乎為零，也就是說，圖10（c）和（f）中顯示的位移為負，這表示系統在第二穩定狀態附近振動。通過比較圖11和12所示的w1和w2的動態響應可以發現，在振動過程中，當某一個方向的曲率趨于零，而另一個方向的曲率迅速增加時，系統發生動態跳躍。基于龐加萊截面圖可知，動態跳躍往往伴隨著混沌振動，也就是說，混沌振動是動態跳躍發生的有利條件。

6 結" 論

本文建立了非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板的靜力學和動力學模型。在靜力學分析中，進行了固化分析、穩定性分析和能量曲線分析；在動力學分析中，研究了基礎激勵頻率對非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板的影響。

通過固化分析確定了雙穩態板的三個平衡位置，并闡明了以溫差絕對值為控制參數的超臨界叉形分岔。通過穩定性分析確定了三個平衡位置為兩個穩定平衡位置和一個不穩定平衡位置。通過在動力學分析中引入阻尼，分析了平衡點的動態分岔，其中，穩定平衡點不再是中心點而是焦點。利用靜平衡方程繪制了帶有兩個勢阱的勢能曲線，這有助于對動態跳躍現象的研究。

以基礎激勵頻率為控制參數的理論模型論證了非對稱鋪設雙穩態正交復合材料層合方形板的雙勢阱動態跳躍和非線性振動。只有當激勵頻率位于一定范圍內時，系統才會發生雙勢阱大振幅動態跳躍和非線性振動，否則只會發生單勢阱小振幅振動。動態跳躍往往伴隨著混沌振動。混沌振動是動態跳躍發生的有利條件。非線性振動往往表現為周期振動、概周期振動和混沌振動。在動態跳躍過程中，沿一個方向的曲率趨于零，而沿另一個方向的曲率迅速增加。所有能引起雙勢阱大振幅動態跳躍和非線性振動的激勵頻率構成了一個特定的范圍，這個特定范圍實際上有助于雙穩態能量采集器的設計，且會隨著層合板層數的增加而減小。隨著厚度的增加，動態跳躍將被限制在一個非常窄的頻率帶內。

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Statics and dynamics analysis of bistable asymmetric cross?ply composite laminated square plates

GUO Zhen?kun1， XU Jia?le1， DONG Ting2

（1.School of Mechanical?Electronic and Vehicle Engineering， Beijing University of Civil Engineering and Architecture， Beijing 100044， China； 2.China North Vehicle Research Institute， Beijing 100072， China）

Abstract： A theoretical model for statics and dynamics of bistable asymmetric cross-ply composite laminated square plates is established. Three equilibrium states are determined by curing analysis in statics. Meanwhile the super-critical pitchfork bifurcation with temperature difference as the control parameter is explicated in the process of curing. Two stable states and one unstable state are demonstrated by stability analysis. The potential energy curve with two potential wells is depicted， which can contribute to studying dynamic snap-through. Moreover， the dynamic bifurcation for the equilibrium points is induced by introducing damping in dynamics. The influence of the base excitation frequency on the dynamics is discussed by numerical simulation. When the excitation frequency is located in a certain range， the large-amplitude dynamic snap-through and nonlinear vibrations with two potential wells can occur. The dynamics behaviors of the bistable system are overwhelmingly dominated by periodic vibration， quasi-periodic vibration and chaotic vibration. The certain frequency range， where the large-amplitude dynamic snap-through and nonlinear vibrations with two potential wells can occur， can be defined as a certain frequency broadband which proofs bistable asymmetric cross-ply composite laminated square plates to be applicable to bistable energy harvesters.

Key words： nonlinear vibration， composite laminated square plates；bistable state；three equilibrium states；dynamic snap?through

作者簡介： 郭振坤（1989―），男，博士，講師。E?mail： guozhenkun@bucea.edu.cn。

通訊作者： 董" 挺（1988―），男，博士，副教授。E?mail： dongtingB2016@163.com。