高中數學解題教學中的問題引導和支架搭設分析

摘 要：文章對高中數學解題教學中的問題引導和支架搭設進行分析，并結合等差數列的相關知識展開探究，為高中數學解題教學中的問題引導和支架搭設提供有效的借鑒.

關鍵詞：高中數學解題；問題引導；等差數列；支架搭設

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0027-03

《普通高中數學課程標準》中強調，培養學生的思維能力是我國高中數學教學的重要目標.通過數學解題過程中的多種思維訓練，幫助學生提高理性思維能力，為他們的未來發展打下堅實的基礎.在這個過程中，教師的角色至關重要，需要關注學生的主體地位，從學生的最近發展區入手，引導學生經歷問題解決的各個過程，并幫助學生掌握知識，提高解決問題的能力.

1 高中數學解題教學中的問題引導和支架搭設概述

“支架”這一概念源自建筑行業中的“腳手架”，在教育學中被用來比喻學生學習的過程.就像建筑工人在建造大樓時需要腳手架來支撐一樣，學生在學習時也需要支架來支撐，幫助他們建構知識體系.教師在教學中的角色就是構建這些支架，幫助學生深入理解數學知識[1].因此，支架式教學模式的核心在于為學習者建構概念框架，幫助學生深入理解所學知識.這種教學模式注重引導學生在具體的學習中逐步建立自己的知識體系，以便更好地掌握數學知識.

支架式教學是一種基于學生認知發展階段的教學方法，旨在幫助學生逐步建立對知識的理解.在高中數學教學中，教師通常會按照以下幾個步驟來實施支架式教學.

首先，創設問題情境，引導學習.問題是激發學生思考的源泉，教師應根據教學內容和學生的實際需求，巧妙地設計問題情境，激發學生的求知欲.其次，找準學生認知發展區，設計問題并搭建支架.接下來，給予充足探索時間，引導學生自主解決問題.教師還需關注學生的個體差異，提供個性化的指導，使每個學生都能在探索中收獲成功.最后，開展協作學習，通過協商和討論深化理解.教師要組織學生進行小組合作，讓他們在協商、討論的過程中，分享觀點、交流思路，從而深化對問題的理解[2].

2 高中數學等差數列解題教學中的問題引導和支架搭設

在“支架”教學中，教師扮演“輔導者”的角色，而“學生”才是“主體”.要保證學生在課堂上有秩序地交流，了解自己的學習需求，按自己的計劃完成自己的任務[3].

2.1 基于情境的問題引導和支架搭設

2.1.1 搭建支架

開展教學活動，搭建問題支架1和2，引導學生理解等差數列的高斯求和與倒序相加法.

問題支架1：讓學生按照求1+2+3+…+100的思路來考慮如何求得1+2+3+…+n.目的是在已有的基礎上，使學生擴展高斯求和方法的知識.

問題支架2：向學生提出一個比較容易的辦法.目的是利用倒序相加法引導學生思考.

2.1.2 進入情境

引入情境教學活動：高斯是德國數學家，近代數學的奠基人之一.在200年以前，高斯的數學教師就曾給出過這樣一個題目：1+2+3+…+100=？在別的學生都在忙于計算100個數逐個相加的時候，十歲的高斯很快就給出了一個準確的數字：（1+100）+（2+99）+…（50+51）=101×50=5 050.高斯的運算法則其實是在求解一個等差數列1，2，3，…，n，…的前100項和的問題.

2.1.3 獨立探索

教師：探索問題支架1，高斯解答了“1+2+3+…+100=？”下面讓學生想一想怎樣去求1+2+3+…+n？

學生：（1+n）+[2+（n-1）]，不清楚有多少組，計算不出來.

教師：如果把n分為奇、偶兩個不同的情形，這樣也行.[老師指導同學們通過分類討論得出了Sn=1+2+3+…+n=n（1+n）2].

2.1.4 協作學習

教師：探索問題支架2，現在讓學生想一想，有沒有其他更簡單的解法.讓學生進行討論.有學生說，可以把n個數倒過來.

2.1.5 歸納總結

教師：在同學們的討論中，老師得出結論，如果將這個公式Sn=1+2+3+…+n進行變形，就可以得到2Sn=2（1+2+3+…+n）=n（n+1），這是兩個Sn相加，而得到的結果是n個（n+1）相加.在這個想法的啟發下，我們可以把n個數倒過來得到另一個式子.

解

Sn=1+2+…+（n-1）+n；Sn=n+（n-1）+…+2+1.

上面兩式相加：2Sn=（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）=（n+1）×n.

所以，Sn=1+2+3+…+n=n（1+n）2，這就是我們今天要重點掌握的“倒序相加求和法”.

2.1.6 案例展示

例1 在等差數列{an}中，

a3=5，a8=10，求等差數列{an}的通項公式an，并求S10.

解 a8=a3+5d，即10=5+5d，

∴d=1，a1=a2-2d=5-2=3，

即an=a1+（n-1）d=3+（n-1）×1=3+n-1=n-2.

∴an=n+2，又∵d=1，a1=3，

∴a10=12，因此S10=（3+12）×102=75.

2.2 基于定義的問題引導和支架搭設

2.2.1 導學支架

引入導學案例：

（投放影片）2012年的倫敦奧運會上，女子舉重項目一共分為七個等級，其中較輕的四個級別體重組成數列（單位：kg）：48，53，58，63.

北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊，從9開始，每隔9數一次，可以得到數列：9，18，27，36，45，….

教師：大家發現其中有什么規律呢？讓同學們注意到兩個物體之間的相互聯系，然后對它們進行總結：上述四組數字中，從第二項開始，其與前一項之差均為一常數（也就是：它們的特性是相鄰兩項之差是同一常數）.我們把上述序列稱為等差數列.

2.2.2 課堂小結

教師：通常，若數列中的每一項與其前面一項之差相等，則該數列稱為等差數列.此常數稱為等差數列的公差，而公差一般用字母d來表示.

2.2.3 問題支架1

教師：若在a，b之間插入一個數字A使a，A，b構成等差數列，那么A應該符合哪些條件？

學生：由于a、A、b構成等差數列，從定義可知：A-a=b-A，因此有a+b=2A.三個數字a、A、b構成的等差數列，可以被認為是最簡的等差數列，這時A叫作a，b的等差中項.

2.2.4 案例展示

例2 在等差數列{an}中，設{an}的前n項和為Sn，已知S10=100，S100=10，求S110的值.

解

由Sn=na1+n（n-1）2d可得出10a1+10×92d=100，

∴a1+92d=10.（1）

同理得100a1+100×992d=10，

因此，a1+992d=110，（2）

聯立（1）和（2），得a1=1 099100，d=-1150，

由此可得，S110=110a1+110×1092d=-110.

2.3 基于應用變幻的問題引導和支架搭設

2.3.1 問題支架1

教師：總結出等差數列的概念，提出問題：

例3 求等差數列8，5，2，…的第20項.

解 由a1=8，d=5-8=-3，n=20得等差數列第20項是a20=8+（-3）×（20-1）=-49.

2.3.2 問題支架2

例4 -401是不是等差數列-5，-9，-13，…的項？如果是，是第幾項？

學生回答：由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得an=-5-4（n-1），只需考慮有沒有正整數n，使得-401=-4n-1成立.

2.3.3 問題支架3

教師：數學問題浩如煙海，只有抓住題目的規律和解題的技巧，才能應對各種變式題目.解決完一道數列題之后，我們要及時總結、歸納.

例5 已知數列{an}滿足a1=2，an+1=2anan+2，證明：數列1an為等差數列.

證：∵an+1=2anan+2，

∴1an+1= an+22an= 12+ 1an，

即1an+1-1an=12，

又∵a1=2，

∴{1an}是首項為12，公差為12的等差數列.

3 結束語

綜上所述，支架式教學模式是一種值得嘗試的教學方法，它可以讓學生在問題的引導下，逐步深入問題的探究中，從而更好地掌握知識.為此，高中數學教師必須拋棄以往的教育理念，以學生的認識發展為依據，對問題進行科學建構.通過對問題支架的合理選取，以及對教學媒介的合理使用，提高了“問題支架”的有效性.在高中數學等差數列求解的教學過程中，通過對與等差數列有關的一些數學問題進行合理的設計，讓學生對這些條件和結論有一個更加明確的認識，從而使解決問題的方法更具針對性，提升了解決問題的效率.

參考文獻：［1］ 許可雄.HPM視角下的高中數學項目化學習支架設計：以《導數概念的誕生》為例[J].福建基礎教育研究，2021（07）：51-53.

[2] 葉琳瑋.基于數學建模核心素養下支架式教學設計：以“解三角形的應用”的教學為例[J].數學學習與研究，2021（23）：10-11.

[3] 徐梅香.“扶“”放”進階：指向“獨立學習”的高中數學教學新樣態[J].江蘇教育，2022（19）：33-36.

［責任編輯：李 璟］