HPM視角下的基本不等式教學

摘 要：本文以基本不等式為例，嘗試收集數學史上對基本不等式的發現和證明過程，然后重構古人的智慧結晶，在此基礎上進行了基本不等式的教學設計.

關鍵詞：HPM；數學史；基本不等式

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）21-0014-04

在HPM視角下，數學知識的教授過程不是簡單地還原歷史過程，而是對歷史知識進行重構.為了更好地重構歷史，華東師范大學汪曉勤教授建議數學教師應該做到以下4個方面[1]：（1）了解所講授主題的歷史發展過程；（2）確定歷史發展過程中的關鍵環節，從一個環節發展到下一個環節的動因以及數學家所遇到的困難和障礙；（3）在此基礎上，重構這些環節，使其適合課堂教學；（4）設計出一系列由易到難、環環相扣的問題.筆者先梳理基本不等式的歷史發展過程，再結合人教版（2019版）基本不等式的教學內容，重構基本不等式的部分證明實例，完成基本不等式的教學設計.

1 基本不等式的歷史證明

1.1 古巴比倫人的證明

2000多年前兩河流域的古巴比倫時期，人們已經知道任何兩個數a，b均可以表示成：

a=a+b2+a-b2，b=a+b2-a-b2，稱為“和差術”，所以ab=a+b2+a-b2a+b2-a-b2=a+b22-a-b22≤a+b22，如果a，b同時為正數，不等式兩邊同時開方得基本不等式：

ab≤a+b2，

當且僅當a=b時等號成立.

1.2 歐幾里得的命題

古希臘數學家歐幾里得在其著作《幾何原本》[2]中雖然沒有一個正式的基本不等式命題，但是根據著作里面的其他命題，很容易得到基本不等式的幾何證明.而且，歐幾里得已經把a，b的算術平均數a+b2稱為a，b的等差中項，把a，b的幾何平均數稱為a，b的等比中項ab.

其中，《幾何原本》的卷Ⅱ命題指出：如圖1所示，對于任意線段a，b，可以使長方形ADHK的面積+正方形EGHL的面積=正方形BCEF的面積，即

ab+（a+b2-b）2=a+b22，

因為（a+b2-b）2≥0，所以ab≤a+b22.

當正方形EGHL的面積為0，即（a+b2-b）2=0，a=b時，等號成立.

另外，在《幾何原本》卷Ⅵ的命題中指出，如圖2所示，對于任意線段a，b，可以通過射影定理做出a，b的幾何中項ab的線段長.這個命題稍加變換就是新人教版必修一基本不等式的探究題.

利用CO=a+b2≥CD，當且僅當a=b時，此時CO與CD重合，就可以得到基本不等式ab≤a+b2.

同時，在《幾何原本》卷Ⅲ證明切割線定理的命題中，也可以推導出基本不等式，如圖3所示：

設AB=a，AC=b，則AO=a+b2，AD=ab，則ab≤a+b2，當割線與切線重合時等號成立.

后來，希臘數學家帕普斯將該圖稍作修改，給出了兩數的算術中項，幾何中項和調和中項的幾何作圖法.

1.3 阿基米德的證明

古希臘數學家阿基米德運用比例的性質，證明了基本不等式：

設兩個正數a，b的等差中項為A=a+b2，則有：A-a=b-A，

不妨設0lt;alt;b，則有A-aagt;b-Ab，交叉相乘有：ba-abgt;ab-aA，

整理得：（a+b）Agt;2ab，

即ablt;a+b22，若a=b，顯然ab=a+b22，證畢.

1.4 芝諾多魯斯的引理

古希臘數學家芝諾多魯斯在其著作《論等周圖形》中證明了：如圖4所示，在邊數相同的等周多邊形中，等邊且等角的多邊形面積最大.例如，長為a，寬為b的長方形面積就小于或等于其等周的正方形，因為與長方形周長相等，這里正方形的邊長為a+b2，即ab≤a+b2.

1.5 趙爽的勾股圓方圖

三國時期吳國數學家趙爽在注釋《周髀算經》時，繪制了勾股圓方圖，后人稱之為趙爽弦圖，如圖5所示.趙爽寫道：以圖考之，倍弦實，滿外大方，而多黃實，黃實之多，即勾股差實，以差實減之，開其余，得外大方，大方之面，即勾股并也.

即：設直角三角形兩直角邊和斜邊分別為a，b，c，則（a+b）2=4ab+（b-a）2，

因為（b-a）2≥0，則有4ab≤（a+b）2，

兩邊開方：ab≤a+b2，證畢.

趙爽弦圖也是人教版必修五作為課堂教學所引入的例子，不過課本只是用它來證明不等式：a2+b2≥2ab，再用a，b分別代替a，b，從代數變換中得到基本不等式ab≤a+b2.

2 HPM融入基本不等式的教學設計

2.1 課前準備

通過挖掘數學歷史發展過程中前人對基本不等式證明的演變，筆者嘗試對基本不等式的教學內容進行重構.因為受到知識點和課堂時間的客觀限制，所以筆者這里只選取了古巴比倫人的證明、歐幾里得的命題推論以及芝諾多魯斯關于海倫公式的應用，最后是用趙爽弦圖作為拓展.由于第一個和第三個例子都帶有“倫”字，第二個例子也與圓（“輪”）有關，因此，筆者決定將上課的標題定為：無與“倫”比的美麗——基本不等式.

2.2 教學設計

標題：無與“倫”比的美麗——基本不等式

對象：高一普通班的學生.

目標：（1）掌握基本不等式的推導過程；

（2）讓學生自發代入到數學歷史中，感受數學文化的熏陶，提高數學建模的核心素養.

重點：基本不等式的自主推導.

難點：基本不等式的簡單應用.

2.2.1 引入——古巴比“倫”人的和差術

教師先介紹古巴比倫人燦爛的數學文化，例如十進制、等差數列、勾股數等，最后引入和差術.引導學生計算經過和差術變換后ab的乘積，引出基本不等式的式子ab≤a+b2，教師最后指出“當且僅當”的含義.

設計意圖：從代數的角度推導基本不等式，并加深學生對等號成立條件的理解.同時，讓學生體驗文明古國的璀璨文化，激發學生的數學學習興趣，感受數學史之美.

2.2.2 驗證——古希臘數學前進的車“倫”

教師介紹背景：雖然古巴比倫文明最后淹沒在浩瀚歷史長河中，沒有傳承下來，但歷史的車輪仍然滾滾前進，文明的下一站是古希臘.此時歷史的車輪來到了歐幾里得的旁邊，他發現了射影定理AD×DB=CD2，如圖6所示，那同學們能否在歐幾里得射影定理的基礎上證明基本不等式ab≤a+b2呢？

設計意圖：從幾何的角度驗證基本不等式.通過展示歐幾里得的射影定理，啟發學生通過類比思想，尋找a，b在圖形中的對應線段，從而完成對基本不等式的證明，深化對基本不等式的理解.

2.2.3 練習——基本不等式求最值時的精彩絕“倫”

教師展示兩道小例題和一道思考題：

例1 （1）用籬笆圍一個面積為100 m2的矩形菜園，請問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短籬笆是多少？

（2）一段長為36 m的籬笆圍成一個矩形菜園，請問這個矩形的長寬各為多少時，菜園面積最大？最大面積是多少？

思考題：一段長為36 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個長方形的長寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

設計意圖：例1兩道小題分別讓學生練習如何用基本不等式來解決求兩數之和最小值，以及兩數之積的最大值.這兩道小例題既是選擇于課本，也是著名的“歐拉羊圈”問題的改編.同時，讓學生自主解決生活實際問題，提高學生的數學思維和分析問題能力.最后的思考題屬于基本不等式求最值的變換題型，留給學有余力的學生思考，實現分層教學.

2.2.4 應用——與海“倫”公式的共同實踐

教師先簡單介紹海倫公式的背景，然后展示.

例2 已知海倫公式S=s（s-a）（s-b）（s-c），其中a，b，c為三角形的三邊長，s為周長的一半，即s=a+b+c2.

借助海倫公式證明：在等底等周的所有三角形中，等腰三角形的面積最大.

設計意圖：教學中應結合課本的“閱讀與思考”，真正引起學生的關注.另外，通過求證芝諾多魯斯的等周引理，讓學生認識到基本不等式在求最值的應用，感受到基本不等式的應用之美.還有，通過分析法證明等周引理，鍛煉學生的邏輯思維，提高學生的解題技巧.

2.2.5 拓展——趙爽弦圖

教師先引導學生回顧前面古巴比倫和古希臘數學家對基本不等式的證明，再引出古代中國的趙爽弦圖：其實，在中國的《周髀算經注》里，也有基本不等式的幾何證明.如圖7所示，這個圖形如此簡單直觀，以至于被用作2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會的會徽.基本上每個人看到圖形時都能“找”到“爽”快，它就是舉世聞名的“趙（找）爽弦圖”.接著用多媒體投影弦圖，鼓勵學生在自主證明趙爽弦圖的過程中“找”到基本不等式的“爽”快.

設計意圖：通過介紹趙爽弦圖的背景，激發學生對古代中國數學文化的熱愛.同時，鼓勵學生自主從圖形中發現基本不等式，體會到數學發現探究過程的爽快，逐漸沉浸在數學史的熏陶中.

2.2.6 總結——ab≤a+b2

教師引導學生回顧基本不等式的幾何證明和應用：這節課，我們從巴比倫人的足跡出發，在歐幾里得的圓上發現了基本不等式，在趙爽的正方形上證明了基本不等式，在等腰三角形上應用了基本不等式.眾所周知，等腰三角形、正方形、圓都是最為簡單也是最為精美的幾何圖形，那與之有關的基本不等式不是更加精彩絕倫嗎？

教師還應指出基本不等式在求最值上的實用性.基本不等式不僅好看，更加好用，它是高中數學除了函數單調性外，求最值的另外一種重要方法.但是使用時要注意，基本不等式是有限制條件的，它的限制條件是什么呢？請同學們先思考，留待下節課講解.

設計意圖：點題，讓學生感受基本不等式的數學之美，同時設置基本不等式限制條件的懸念，保持學生的學習熱情，引發學生的課余思考.

3 結束語

現在，仍有不少人對數學史的看法是：高評價、低應用.造成這種情況的原因之一是人們對數學史的認識還停留在講故事的層面.對歷史信息的直接運用，只屬于數學史運用的第一層次，而HPM視角下的數學教學通常指的是數學史運用的第二層次——借鑒歷史、重演歷史、重構歷史.許多研究表明，HPM視角下重構的數學課堂符合學生的發展認知，提高了學生的數學文化和核心素養，受到了學生的喜愛.因此，有必要進一步深入開展HPM視角下的數學教學研究，開發更多的HPM教學案例，讓數學史與數學教學更好地融合起來.

參考文獻：［1］ 汪曉勤，韓祥臨.中學數學中的數學史[M].北京：科學出版社，2002.

[2] 歐幾里得.幾何原本[M].蘭記正，朱思寬，譯.南京：譯林出版社，2011.

［責任編輯：李 璟］