一道圓錐曲線題目的變式探究

摘 要：以一道雙曲線綜合題目為題根，從離心率、定點、定值、軌跡、探究性問題等不同角度對試題進(jìn)行改編，設(shè)計變式題組，并借助二倍角三角形的結(jié)論將其進(jìn)一步推廣，得到了一般性的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；變式探究；溯源推廣

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0054-03

近年新高考加大了對雙曲線的考查力度，雙曲線沉寂多年的重要性質(zhì)都被挖掘出來.下面通過對一道雙曲線題目的深入研究，進(jìn)一步感悟其命題思路和考查特點.

1 試題呈現(xiàn)

題目 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上.

當(dāng)BF⊥AF時，|AF|=|BF|.

（1）求C的離心率；

（2）若B在第一象限，證明：∠BFA=2∠BAF.

解析 （1）e=2（過程略）.

（2）設(shè)B（x0，y0），其中x0gt;a，y0gt;0，因為e=2，所以c=2a，b=3a.

所以雙曲線方程為x2a2-y23a2=1.

當(dāng)x0=c時，BF=AF，此時∠BFA=π2=2∠BAF，成立；

當(dāng)x0≠c時，

tan∠BFA=-y0x0-c=-y0x0-2a，

tan∠BAF=y0x0+a，

所以tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF

=2y0/（x0+a）1-［y0/（x0+a）］2

=2y0（x0+a）（x0+a）2-y20

=2y0（x0+a）（x0+a）2-3a2（x20/a2-1）

=-y0x0-2a

=tan∠BFA.

因為漸近線方程為y=±3x，

所以∠BAF∈（0，π3），∠BFA∈（0，2π3）.

因為2∠BAF∈（0，2π3），故∠BFA=2∠BAF.

2 變式探究

變式1 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左頂點為A，右焦點為F，點B為雙曲線C右支上的一個動點，若∠BFA=2∠BAF，求C的離心率.

解析 根據(jù)對稱性，不妨設(shè)B（x0，y0），其中x0gt;a，y0gt;0，

當(dāng)x0=c時，BF=AF，即b2a=a+c，解得e=2；

當(dāng)x0≠c時，tan∠BFA=-y0x0-c，

tan∠BAF=y0x0+a，

所以tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF

=2y0/（x0+a）1-［y0/（x0+a）］2

=2y0（x0+a）（x0+a）2-y20

=2y0（x0+a）（x0+a）2-b2（x20/a2-1）

=2y0［（a2-b2）/a2］x0+x20/a.

因為∠BFA=2∠BAF，

所以tan∠BFA=tan2∠BAF.

即2y0［（a2-b2）/a2］x0+c2/a=-y0x0-c.

則a2-b2a2=-2，c2a=2c， 解得e=2.

變式2 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0），離心率e=2，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，A是其左頂點，B是雙曲線C在第一象限上任意一點，問是否存在常數(shù)λ，使得∠BFA=λ∠BAF恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由.

解析" 因為雙曲線離心率e=2，

故b=3a，c=2a.

所以雙曲線方程為x2a2-y23a2=1.

當(dāng)∠BFA=π2時，B（2a，3a），AF=3a，所以∠BAF=π4，此時∠BFA=2∠BAF，即λ=2.

下面證明λ=2對任意點B均使得∠BFA=λ∠BAF成立.

不妨設(shè)B（x0，y0），其中x0gt;a，y0gt;0，

則x20a2-y203a2=1.

又tan∠BFA=-y0x0-c=y02a-x0，

tan∠BAF=y0x0+a，

故tan2∠BAF=2tan∠BAF1-tan2∠BAF

=2y0/（x0+a）1-y20/（x0+a）2

=2y0（x0+a）（x0+a）2-y20

=2y0（x0+a）（x0+a）2-（3x20-3a2）

=y02a-x0

=tan∠BFA.

因為漸近線方程為y=±3x，

所以∠BAF∈（0，π3），∠BFA∈（0，2π3），

結(jié)合正切函數(shù)的圖象可知，∠BFA=2∠BAF.

所以存在λ=2，使∠QF2A=2∠QAF2成立.

變式3 動點M與兩定點A（-1，0），B（2，0）構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設(shè)動點M的軌跡為C，求軌跡C的方程.

解析 設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），顯然有xgt;0，且y≠0，

當(dāng)∠MBA=90°時，點M的坐標(biāo)為（2，±3），

當(dāng)∠MBA≠90°時，x≠2，由∠MBA=2∠MAB，

有tan∠MBA=2tan∠MAB1-tan2∠MAB.

即-yx-2=2y/（x+1）1-［y（x+1）］2.

化簡，得3x2-y2-3=0.

而點（2，±3）也在曲線3x2-y2-3=0上，

綜上可知，軌跡C的方程為x2-y23=1（xgt;1）.

3 溯源推廣

基于上述研究，對本題追根溯源，發(fā)現(xiàn)其命題思路是將二倍角三角形的一般性結(jié)論推廣到雙曲線問題中的特殊情形：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則A=2Ba2=b2+bc.

證明" 因為A=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，所以a=2b·a2+c2-b22ac.

整理可得（c-b）（a2-bc-b2）=0.

則c=b或a2=b2+bc.

當(dāng)c=b時，B=C，由A+B+C=π可得A=π2，B=C=π4.

此時△ABC為直角三角形，滿足a2=b2+bc.

綜上，a2=b2+bc.

反之，若a2=b2+bc，

由余弦定理可得

cosA=b2+c2-a22bc=c2-bc2bc=c-b2b.

即2bcosA=c-b.

由正弦定理可得

2sinBcosA=sinC-sinB=sin（A+B）-sinB.

即2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB-sinB.

整理可得sinB=sin（A-B）.

所以B=A-B，即A=2B.

上述結(jié)論將角與角之間的二倍關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊與邊之間的長度關(guān)系，下面再利用二倍角三角形的等價命題對典例及變式中的結(jié)論給出一般性結(jié)論.

結(jié)論1 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左頂點為A，右焦點為F，點B為雙曲線C右支上的動點，∠BFA=2∠BAF雙曲線的離心率e=2.

結(jié)論2 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左頂點為A，右焦點為F，點B為雙曲線C左支上的動點，π-∠BFA=2（π-∠BAF）雙曲線的離心率e=2[1].

結(jié)論3 雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左頂點為A，右焦點為F，過右焦點F的直線與C交于P，Q兩點，以PQ為直徑的圓恒過定點A雙曲線的離心率e=2.

4 結(jié)束語

文章通過對一道雙曲線習(xí)題的變式和推廣，使得學(xué)生從特殊情境中抽象出一般性規(guī)律，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)問題解決的靈活性和創(chuàng)造性.所呈現(xiàn)的題組不僅增進(jìn)了學(xué)生對離心率、定點、定值和軌跡等問題的理解，還培養(yǎng)了他們將所學(xué)知識應(yīng)用于解決復(fù)雜問題的能力；所采用的二倍角三角形結(jié)論推廣到雙曲線問題的探索，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.這種跨主題的知識鏈接不僅有助于學(xué)生對知識的深度理解和自主遷移，也提供了解決其他數(shù)學(xué)問題的新視角和策略.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 甘志國.離心率為2的雙曲線的性質(zhì)：2010年高考四川卷理科解析幾何大題的課本題背景[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（01）：55-57.

［責(zé)任編輯：李 璟］