對浙江高考第19題核心素養的深入思考

摘 要：以研究2019年浙江高考導數試題為主線，探究參數范圍的一般解法，通過必要性探路和兩個特殊不等式對一類高考題進行研究和變式，并結合素養要求深入思考.

關鍵詞：參數范圍；必要性探路；不等式；素養

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0048-03

參數的取值范圍是歷年來高考熱門考點，常見的方法有參變分離、分類討論、同構、隱零點代換、必要性探索［1］.而2019年浙江卷把參數的取值范圍問題推向了新的高度，通過長期思考發現，此題的精妙之處在于利用到了以下文章中的兩個重要不等式，合在一起構成了此題，本文著重介紹這兩個重要不等式.

1 真題重現

題目 （2019年浙江高考）已知實數a≠0，設函數f（x）=alnx+x+1，xgt;0.

對任意x∈［1e2，+∞）均有f（x）≤x2a， 求a的取值范圍.

注：e=2.71828…為自然對數的底數.

分析 通過研究發現，本題難點在于傳統方法，比如，參變分離，無法實現；分類討論，過于復雜，同構無法實現，導函數過于復雜導致隱零點代換無法簡化操作.因此，本題在大量的解法中都是利用了必要性探索的思想，本文正是借助必要性探索之后，找到了證明不等式的兩個關鍵值進行了研究.

結合新高考內容來看，參數的取值范圍是新教材中重點考查內容，也是高考內容核心考點，往往是以指數、對數、冪函數以及三個三角函數為背景來進行考查.下面先對本題進行分析.

解析 由f（1）≤12a，得0lt;a≤24.

當0lt;a≤24時，f（x）≤x2a.

這樣就可以換主元x為主元a.實際上，函數取臨界的條件無非是以下兩條：

（1）a=24，即端點處要滿足；

（2）a取某個值時，剛好能保證函數取到極值，極值點處也滿足.

首先是端點處需滿足：

（1）24lnx+x+1-2x≤0，xgt;0；

等價于-22×1x×ln1x+1+1x-2≤0，xgt;0.

令t=1x∈（0，+∞），等價于證明

-22tlnt+1+t2-2≤0，tgt;0.

設f1（t）=-12tlnt+1+t2-2，則

f ′1（t）=-12（1+lnt）+t1+t2.

①t∈（0，1e］，此時1+lnt≤0，則f ′1（t）gt;0，f1（t）在（0，1e］上單調遞增，則有

f1（1e）=12e+1+1e2-2≤0恒成立；

②t∈（1e，1），設f2（t）=lnt-12ln（1+t2）-

ln（1+lnt）-ln（12），則

f ′2（t）=1t-t1+t2-1t（1+lnt）

=（lnt2）/2-t2t（1+t2）（1+lnt）.

抓住lnxlt;x，則12lnt2lt;12t2lt;t2.

于是f ′2（t）lt;0.

則f2（t）在（0，+∞）上單調遞減，且f2（1）=0，則f1（t）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減.

于是f1（t）≤f1（1）=0.

即24lnx+x+1-2x≤0，xgt;0.

分析 這個是本題證明的關鍵，也就是a的臨界值的由來.實際上，上述不等式成立的條件即為

x=1，但由于有兩個根號，所以在直接處理上比較難，這一點從第一問就能看出，所以上述過程中的等價代換，就是為了減少根號的煩惱，這是本題的亮點之一.

本題的第二個難點就是要找到符合題意的極值點a，于是通過觀察發現，若看成a的函數，本題可以結合對勾函數的特征來處理，即：

（2）對任意a∈（0，122］，x∈［1e2，1），

x+1≤［a×（-lnx）+x2a］min

=2·x×（-lnx），

此時要求14a2=1x×ln1x，x∈［1e2，1），a∈（0，122］等號成立.

令t=1x∈（1，e］，g1（t）=tlnt，則g′1（t）=1+lntgt;0.

則g1（t）在（1，e］上單調遞增.

則g1（t）∈（0，e］，14a2∈［2，+∞）.

因此取等條件為14a2=g1（t）∈（2，e），此時t∈（2，e），下證1+x≤2x×ln1x，

等價于1x+x≤4ln1x.

設g2（t）=t+1t-4lnt，2lt;tlt;e，

則g′2（t）=1-1t2-4t=t2-4t-1t2，其中t2-

4t-1lt;（e-4）e-1lt;0.

則g′2（t）lt;0.

則g2（t）在（2，e）上單調遞減.

于是g2（t）lt;g2（2）=52-4ln2lt;0.

點評 通過上述過程不難看出，x不一定要從1/e2開始，實際上，只要保證tlntgt;2，同時t+1t-4lntlt;0即可，所以本題選取x=

1e2，只是為了方便處理，并不是唯一的取法，比如，本題可以簡化為以下兩個題：

變式1 已知實數a≠0，設函數f（x）=alnx+x+1，xgt;0.對任意x∈［1，+∞）均有f（x）≤x2a， 求a的取值范圍.

此題就明顯簡單了很多，只要用上述證明①即可解決.

變式2 已知實數a≠0，設函數f（x）=alnx+x+1，xgt;0.對任意x∈［1e3，+∞）均有f（x）≤x2a， 求a的取值范圍.

最后給出對本題的分析過程：

解析 當14a2=g1（t）∈（2，e）時，此時x∈［1e2，x0），其中x0滿足1x0ln1x0=2，則

1+x≤2x×ln1x，其中x∈［1e2，x0）.

則1+x≤x+1

≤［a×（-lnx）+x2a］min

≤-alnx+x2a，x∈［1e2，x0）.

而x∈（x0，1）時，函數-alnx+x2a關于a∈（0，122］單調遞減；

x∈［1，+∞）時，函數-alnx+x2a關于a∈（0，122］單調遞減.

此時1+x≤x+1≤［a×（-lnx）+x2a］min

≤

-122lnx+2x，x∈［x0，+∞），

由（1）可知：上述不等式成立.

綜上所述，對任意x∈［1e2，+∞），a∈（0，

122］，必有alnx+1+x≤x2a.

點評 總結上述做法，實際上x0只是設了但沒有求，典型的設而不求問題.所以這個問題的關鍵在于，利用（1）這個在（0，+∞）上恒成立的不等式，就巧妙地把x0給包含在內了.因此真正條件很強的是（2）這個不等式，典型的以偏概全，非常妙，在歷年高考題中實屬少見，即使近兩年也考到必要性探索，比如2023年全國甲卷21題第（2）問和2022年新全國Ⅱ卷22題第（2）問，都無法超越這個難度，甚至實際上和變式1的方法是完全類似的.

2 結束語

通過上述問題的深入分析，深刻體現了函數與方程、數形結合、轉化與化歸、分類討論的數學思想在數學教學中的應用.此問既體現了基礎性，又體現了綜合性和選拔性，通過先猜后證，利用導數得到函數的單調性，進而利用單調性得到所要論證的各類不等式，考查了邏輯思維和運算求解等關鍵能力，以及理性思維和數學探索等學科素養.

通過上述問題分析，在今后教學中，更加要注重核心素養在平常教學中的應用，才能以不變應萬變.

參考文獻：

［1］ 羅小兵.淺談必要性探路法在導數壓軸題中的應用：以2022屆武漢市九調第21題為例[J].中學數學研究（華南師范大學版），2022（05）：20-22.

［責任編輯：李 璟］