一道求雙曲線方程問題的多解法探究與變式

摘 要：以一道2023年的高考數學題為例，從五個不同的視角深入探究并對其進行變式拓展，尋求不同的解題方法，反思解題過程，對比研究各解法的優劣，挖掘各解法之間的內在聯系.通過一題多解的教學展示與教學反思，引導并培養學生的發散思維、創新思維，發展學生在解高考題中的靈活應變能力.

關鍵詞：雙曲線; 標準方程;一題多解

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0006-04

雙曲線是高中解析幾何的重要內容，求解雙曲線的方程是高考的熱點題型之一.此類高考題大多具有較強的綜合性，往往低起點、入口多、方法靈活，能很好地考查學生的邏輯推理、數學運算、數學抽象、直觀想象等數學核心素養.同時也涉及待定系數法、等價轉化法、數形結合法，設而不求法等數學方法的考查.從高考選拔角度來看，這類題有很好的區分度和一定的難度，具有良好的選拔功能.求解此類題目時，需要學生具有較強的數學運算能力和圖形識別能力，更需要能夠進行合理猜想和推理論證的邏輯思維能力[1].

1 試題呈現

試題 （2023年高考數學天津卷第9題）如圖1所示，雙曲線x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點分別為F1，F2，過點F2作其中一條漸近線的垂線，垂足為點P，已知PF2=2，直線PF1的斜率為24，則雙曲線的方程為（" ）.

A.x28-y24=1"" B.x24-y28=1

C.x24-y22=1D.x22-y24=1圖1 2023年高考數學天津卷第9題圖

2 多解探究

視角1 坐標法.

解法1 因為F2（c，0），不妨設漸近線方程為y=bax，即bx-ay=0.

所以|PF2|=|bc|a2+b2=bcc=b.

所以b=2，|OF2|=c.

因為12ab=12c·yP，

所以yP=abc.

所以tanθ=yPxP=（ab/c）xP=ba.

所以xP=a2c.

所以P（a2c，abc）.

因為F1（-c，0），所以kPF1=ab/ca2/c+c=aba2+c2=2aa2+a2+4=aa2+2=24.

所以2（a2+2）=4a，解得a=2.所以雙曲線的方程為x22-y24=1.故選D.

點評 根據已知條件，結合雙曲線的幾何性質，通過計算得到點P，F1的坐標，然后利用直線PF1的斜率公式，建立關于a的方程，解方程即得雙曲線方程.

視角2 幾何法+正弦定理.

解法2 如圖1所示，F2（c，0），不妨設漸近線方程為y=bax，即bx-ay=0.

則|PF2|=|bc|a2+b2=bcc=b.

所以b=2，且|PO|=|OF2|2-|PF2|2=c2-b2=a.

設∠PF1F2=α，∠F1PO=β，則tanα=24.所以sinα=13.

在△PF1O中，由正弦定理可得POsinα=F1Osinβ，

即asinα=csinβ.

所以sinβ=c3a①

在△PF1F2中，由正弦定理可得PF2sinα=F1F2sin（β+π/2），

即bsinα=2csin（β+π/2）.

所以cosβ=c3.②

①2+②2，得c29a2+c29=1.③

又c2=a2+4，④

由③④得，a2+4a2=4，解得a2=2.

又b=2，所以雙曲線的方程為x22-y24=1.

故選D.

點評 由雙曲線的幾何性質，容易判斷雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，即b=2.再分別研究△PF1O與△PF1F2，利用正弦定理得到a，b，c的關系，再結合雙曲線的幾何性質，求出a（或a2），即可得到雙曲線的方程.

視角3 幾何法+構造直角三角形.

解法3 如圖2所示，由已知可得，PF2=b=2.

在△OPF2中，由面積公式，得

a·b=PB·c.

所以PB=abc.

再由a2=OB·c，得OB=a2c.

所以tan∠PF1F2=PBF1B=2a/cc+a2/c=24.⑤

又因為a2+22=c2，⑥

由⑤⑥，得c2=6，a2=2.

所以x22-y24=1.

故選D.

點評 借助△OPF2為直角三角形，且PB⊥OF2，根據相似比得到OB，PB，進而明確BF2，利用解直角三角形得到tan∠PF1F2=PBF1B，轉化為a，b，c的關系，再由雙曲線的幾何性質，迅速得到雙曲線方程.

視角4" 幾何法+余弦定理.

解法4 如圖3，因為PF2=2，所以b=2.

在△PF1F2中，

PF21=4c2+4-2·2c·2·cos∠PF2F1

=4c2+4-8c·2c

=4c2-12，⑦

又因為kPF2=24，所以tan∠PF1F2=24.

所以cos∠PF1F2=223.

又cos∠PF1F2=PF21+4c2-42PF1·2c=223，⑧

聯立⑦⑧，解得c=6.

所以x22-y24=1.

故選D.

點評 在△PF1F2中，利用余弦定理PF21=4c2+4-2·2c·2·cos∠PF2F1和余弦定理PF22=PF21+4c2-2PF1·2c·cos∠PF1F2，建立等量關系，聯立方程組，解出C的值，即得雙曲線方程.

視角5 幾何法+平行四邊形的幾何性質+正弦定理.

解法5 設PF1=x，由平行四邊形性質得

（2PO）2+F1F22=2（PF21+PF22）.

所以（2a）2+（2c）2=2（4+x2）.

即x=2a2+2c2-4.

在△PF1F2中，有PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠PF1F2.

所以2a2+2c2-4a/c=21/3.

所以a4-4a2+4=0.解得a2=2.

故x22-y24=1.

故選D.

點評 由O為中點，借助平行四邊形的性質，可得（2PO）2+F1F22=2（PF21+PF22），然后在△PF1F2中利用正弦定理建立等量關系，得到a4-4a2+4=0，解出a2=2，即得雙曲線方程.

3 一題多變

變式1 如圖1所示，已知雙曲線x2a2-y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2.過右焦點F2作雙曲線其中一條漸近線的垂線，垂足為點P，連接PF1.若|PF1|＝2|PF2|，則該雙曲線的離心率為.

解析 根據題意由雙曲線的性質：焦點到漸近線的距離等于b可得：|PF2|＝b.

則|PF1|＝2|PF2|＝2b.

在Rt△OPF2中，|OP|＝c2-b2＝a，

|OF1|＝c，cos∠F1OP＝-

ac，

由余弦定理可知a2+c2-4b22ac=-ac.

又c2＝a2+b2，得4a2＝3b2.

即c2＝73a2.即e＝ac=213

點評 由雙曲線的性質得|PF2|＝b，cos∠F1OP＝

-ac，由此利用余弦定理，化簡可得a，b，c的關系，即可得到離心率.

變式2 如圖1所示，設O為坐標原點，雙曲線C：x2a2-y2b2gt;1（agt;0，bgt;0）的左、右焦點分別為F1，F2，其離心率為e=3，PF2垂直于雙曲線的漸近線，垂足為點P，則

|PF1||OP|=.

解析 設雙曲線的一條漸近線為y＝bax，過點F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為點P，則|PF2|＝b.

則|OP|＝a，cos∠PF2O＝

bc.

在△PF1F2中，

cos∠PF2O＝

b2+（2c）2-|PF1|22b·2c=bc.

得|PF1|2＝4c2-3b2＝4（a2+b）2-3b2＝4a2+b2.

因為e＝ca=3，得

c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=3.

所以b2a2=2.

則|PF1||OP|=

4a2+b2a=4a2+b2a2=4+

b2a2=4+2=6.

點評 作出圖象，求出相應的長度，根據離心率的關系進行轉化求解即可.

變式3 如圖4所示，已知F1，F2是雙曲線C：

x2a2-y2b2gt;1（agt;0，bgt;0）

的左、右焦點，點A是C的左頂點，過點F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為點P，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，O為坐標原點，且PO平分∠APM，則C的離心率為.

解析 取雙曲線的漸近線y＝bax，可得直線F2P的方程為

y＝-ab（x-c）.

聯立bx-ay=0，ax+by-ac=0，

解得P（a2c，abc）.

所以直線AP的方程為bx-（a+c）y+ab＝0.

因為PO平分∠APM，所以點O到直線PM，PA的距離相等.

所以

a2c=abb2+（a+c）2.

圖4 變式3示意圖

所以c2-ac-2a2＝0.

即e2-e-2＝0.

因為e＞1，解得e＝2.

點評 取雙曲線的漸近線y＝bax，可得直線F2P的方程，聯立解得點P坐標.根據PO平分∠APM，可得點O到直線PM，PA的距離相等，即可得出離心率.

4 結束語

雙曲線的綜合問題解法較多， 思考問題的視角不同，就會對應不同的解題方法，從而列出不同的方程，不同的方程對應的運算量也不一樣，但最終都能順利解決問題，達到預期目的. 因此，在解題教學過程中，教師應積極引導學生，多角度觀察思考問題， 力爭一題多解、一題多變、強化思維能力，提升學生的數學核心素養.如此，才能在一題多解的探究過程中，認清問題的本質，尋找到最優解法[2]. 當然，在平時的數學教學中，教師要以新課改理念為指導，逐步轉變教學觀念，調動學生積極參與課堂探究活動，重視解題過程中數學思想方法的總結與提煉.只要堅持不懈，必能領悟方法、提高能力，從而在一題多解的路上走得更遠.

參考文獻：

［1］ 王慶豐.立足課本多思考 深入發掘多驚喜：對“雙曲線及其標準方程”教學設計一個局部的思考[J].中學數學教學參考，2007（21）：25-27.

[2]劉榮鋒.“雙曲線及其標準方程”的教學設計[J].中小學數學（高中版），2012（04）：20-22.