拋物線中與兩直線斜率的倒數之和有關的一個性質

摘 要：從一道典型試題出發，探究得到拋物線中與兩直線斜率的倒數之和有關的一個性質.

關鍵詞：拋物線；斜率；倒數；定值

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0098-04

在拋物線的定點定值問題中，有一個熟知的結論，即過拋物線E上的點P，作兩條斜率之和（積）為定值的直線分別與拋物線E交于A，B兩點，則直線AB過定點（或有定向）[1].若點P不在拋物線E上，過點P作兩條斜率的倒數之和為定值的直線分別與拋物線E交于點A和點B（其中一個交點），則直線AB是否過定點？已知定點P，是否存在定點Q，過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和為定值？本文從一道典型試題出發，經過深入探究，得到拋物線中與兩直線斜率的倒數之和有關的一個性質.

1 試題呈現與解析

試題 已知拋物線E：y2=4x，點P（1，1）.

（1）證明：在直線y=1上存在定點Q，過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，若直線PA，PB的斜率k1，k2都存在且不等于0，則1k1+1k2是定值.

（2）證明：對于（1）中的定點Q，過點P的動直線與拋物線E交于A，B兩點，若直線QA，QB的斜率k′1，k′2都存在且不等于0，則1k′1+1k′2是定值.

分析 對于第（1）問，假設滿足題意的定點為Q（a，1），設直線AB的方程為x-a=t（y-1），將直線AB的方程與拋物線E的方程聯立，利用韋達定理表示1k1+1k2，由1k1+1k2是定值求出a，于是得到點Q的坐標.對于第（2）問，仿照第（1）問寫出k′1，k′2的表達式，利用韋達定理得到1k′1+1k′2是定值.為了方便，本文中出現的直線斜率，均指直線斜率存在且表達式有意義的情況.

解析 （1）設Q（a，1）滿足題意，即過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值.

設直線AB的方程為x-a=t（y-1），即

x=ty+a-t.

聯立y2=4x，x=ty+a-t，消去x，得

y2-4ty+4（t-a）=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

y1+y2=4t，y1y2=4（t-a）.

于是直線PA的斜率

k1=y1-1x1-1=y1-1ty1+a-1-t，

直線PB的斜率

k2=y2-1x2-1=y2-1ty2+a-1-t.

所以

1k1+1k2=ty1+a-1-ty1-1+ty2+a-1-ty2-1

=2ty1y2+（a-1-2t）（y1+y2）-2（a-1-t）y1y2-（y1+y2）+1

=8t（t-a）+4t（a-1-2t）-2（a-1-t）4（t-a）-4t+1

=-2（2a+1）t+2（1-a）1-4a

=-2（2a+1）t1-4a+2（1-a）1-4a.

由1k1+1k2是定值得a=-12.

于是1k1+1k2=1.

所以在直線y=1上存在一個定點Q（-12，1），過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值，定值為1.

（2）由（1）得Q（-12，1），過點P的動直線與拋物線E交于A，B兩點.

設直線AB的方程為x-1=t（y-1），

即x=ty+1-t.

聯立y2=4x，x=ty+1-t，消去x，得

y2-4ty+4（t-1）=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則

y1+y2=4t，y1y2=4（t-1）.

于是直線QA的斜率

k′1=y1-1x1+1/2=2（y1-1）2ty1+3-2t，

直線QB的斜率

k′2=y2-1x2+1/2=2（y2-1）2ty2+3-2t.

所以

1k′1+1k′2=2ty1+3-2t2（y1-1）+2ty2+3-2t2（y2-1）

=4ty1y2+（3-4t）（y1+y2）-2（3-2t）2［y1y2-（y1+y2）+1］

=16t（t-1）+4t（3-4t）-2（3-2t）2［4（t-1）-4t+1］=1.

所以直線QA，QB的斜率的倒數之和是定值，定值為1.

2 推廣探究

由試題可得，對于拋物線E：y2=4x和點P（1，1），在直線y=1上存在一個定點Q（-12，1），過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值；過點P的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線QA，QB的斜率的倒數之和也是定值.注意到P（1，1），定點

Q（-12，1），點Q的縱坐標與點P的縱坐標相同，過點P作y軸的垂線，與拋物線E交于點N（14，1），則點Q在直線PN上且線段PQ的中點為N.

對于拋物線E：y2=2px（pgt;0）和點P（x1，y0）（P不在拋物線E上），作類似的操作，過點P作y軸的垂線，與拋物線E交于點N，點Q在直線PN上且線段PQ的中點為N，設Q（x2，y0），由N（

y202p，y0）得x2=y20p-x1，于是y20=p（x1+x2）.這樣構造的點對P，Q是否滿足條件，即過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是否為定值？過點P的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線QA，QB的斜率的倒數之和是否也為定值？若這樣構造的點對P，Q（不）滿足條件，則在坐標平面上是否存在其他點對滿足條件？本文經過深入探究，得到以下結論.

結論1 已知拋物線E：y2=2px（pgt;0），點對P（x1，y0），Q（x2，y0），x1≠x2，且y20=p（x1+x2）.過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值，定值為2y0p；過點P的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線QA，QB的斜率的倒數之和也是定值，定值為2y0p.

證明 過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點.

設直線AB的方程為x-x2=t（y-y0），

即x=ty+x2-y0t.

聯立y2=2px，x=ty+x2-y0t，消去x，得

y2-2pty+2p（y0t-x2）=0.

設A（x′1，y′1），B（x′2，y′2），則

y′1+y′2=2pt，y′1y′2=2p（y0t-x2）.

于是直線PA的斜率

k1=y′1-y0x′1-x1=y′1-y0ty′1+x2-x1-y0t，

直線PB的斜率

k2=y′2-y0x′2-x1=y′2-y0ty′2+x2-x1-y0t.

所以

1k1+1k2=ty′1+x2-x1-y0ty′1-y0+ty′2+x2-x1-y0ty′2-y0

=2［y20-p（x1+x2）］t+2y0（x1-x2）y20-2px2

=2y0（x1-x2）p（x1+x2）-2px2

=2y0p.

所以直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值，定值為2y0p.

同理可證過點P的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線QA，QB的斜率的倒數之和也是定值，定值為2y0p.

注 （1）過點P作y軸的垂線，與拋物線E交于點N（2y0p，y0），拋物線E在點N處的切線lN的方程為y0y=p（x+y202p）.實際上，點Q在點P關于拋物線E的極線lP：y0y=p（x+x1）上，lP∥lN且定值2y0p是lN的斜率（y0≠0）的倒數的2倍.

（2）過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，直線PA與拋物線E的另一交點為C，直線PB與拋物線E的另一交點為D，則直線AB與CD交于點Q，直線AD與BC都與lN平行，且直線AC，BD的斜率的倒數之和是定值2y0p，直線AB，CD的斜率的倒數之和也是定值2y0p.

結論2 已知拋物線E：y2=2px（pgt;0），點對P，Q滿足以下條件：過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值；過點P的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線QA，QB的斜率的倒數之和也是定值，則P（x1，y0），Q（x2，y0），x1≠x2，且y20=p（x1+x2），過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值2y0p；過點P的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線QA，QB的斜率的倒數之和也是定值2y0p.

證明 設P（x1，y0），Q（x2，b），易得P，Q不在拋物線E上，于是y20≠2px1，b2≠2px2.

（1）過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點.

設直線AB的方程為x-x2=t（y-b），

即x=ty+x2-bt.

聯立y2=2px，x=ty+x2-bt，消去x，得

y2-2pty+2p（bt-x2）=0.

設A（x′1，y′1），B（x′2，y′2），則

y′1+y′2=2pt，y′1y′2=2p（bt-x2）.

于是直線PA的斜率

k1=y′1-y0x′1-x1=y′1-y0ty′1+x2-x1-bt，

直線PB的斜率

k2=y′2-y0x′2-x1=y′2-y0ty′2+x2-x1-bt.

所以

1k1+1k2=ty′1+x2-x1-bty′1-y0+ty′2+x2-x1-bty′2-y0

=2p（b-y0）t2+2（y0b-px1-px2）t+2y0（x1-x2）2p（b-y0）t+y20-2px2

由1k1+1k2是定值得b-y0=0，y0b-px1-px2=0且y20-2px2≠0，于是

b=y0，y20=p（x1+x2）.①

由y20-2px2≠0，得x1≠x2.

于是1k1+1k2=2y0（x1-x2）y20-2px2

=2y0（x1-x2）p（x1+x2）-2px2=2y0p.

（2）過點P的動直線與拋物線E交于A，B兩點，若直線QA，QB的斜率k′1，k′2的倒數之和是定值，同（1）可得

y0=b，b2=p（x1+x2）.②

此時x1≠x2且1k′1+1k′2=2bp.

由①②得b=y0，y20=p（x1+x2），且x1≠x2，

1k1+1k2=2y0p，1k′1+1k′2=2y0p.

所以P（x1，y0），Q（x2，y0），x1≠x2，且

y20=p（x1+x2），過點Q的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值2y0p；過點P的動直線與拋物線E交于A，B兩點，則直線QA，QB的斜率的倒數之和也是定值2y0p.

3 結束語

拋物線是非常重要的一類圓錐曲線，是平面解析幾何的重要內容.拋物線不僅具有獨特的形狀，還有很多有趣的性質[2].本文從一道典型試題出發，經過深入探究，找到了點對P，Q滿足以下條件：過Q的動直線與拋物線交于A，B兩點，則直線PA，PB的斜率的倒數之和是定值；過點P的動直線與拋物線交于A，B兩點，則直線QA，QB的斜率的倒數之和也是定值.

參考文獻：

［1］ 曹軍.圓錐曲線上的定點定值子弦的性質：圓錐曲線定點定值子弦性質的推廣[J].中學數學研究（華南師范大學版），2013（19）：19-21.

[2] 李鑫.常見二次曲線中斜率和或積為定值的性質探究[J].中學數學研究（華南師范大學版），2022（13）：20-21.

［責任編輯：李 璟］