例談利用特征分析回歸本源的解題策略

摘 要：特征分析法是數學問題解決的一條有效途徑.掌握此法，能將一些抽象問題具體化，復雜問題簡單化，從而能夠找到解決問題的突破口，實現問題解決的目的.

關鍵詞：特征分析；回歸本源；解題策略

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）19-0029-03

解題思路的探索是解決數學題的關鍵，分析題設特征、探求思路是必然的選擇.《現代漢語詞典》中特征釋義是可以作為事物特點的征象、標志等.所謂數學問題的特征，就是指能反映問題條件與結論的內在聯系的外形結構、數值、位置和差異等特點.如何通過對問題的特征分析，尋求其特征蘊含的方法，從而使問題獲解的思維方法，以下通過示例對此進行探究.

1 善抓結構特征，巧中取勝

善于洞察題設、結論的外形結構特征，從結構特點出發，尋找和熟題相關或相近的題目特征進行模式識別，并加以分析、加工、轉化，由此及彼地聯想，把抽象結構直觀化，隱蔽結構明顯化，復雜問題簡單化，可使問題迅速巧妙地獲得解決[1].

例1 （多選）（2022年新高考Ⅱ卷）若x，y滿足x2+y2-xy=1，則（" ）.

A.x+y≤1""" B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1

分析 題設條件結構中隱含有與選擇支

A，B相似的一部分，需把它們之間的聯系挖掘出來.因為ab≤（a+b2）2≤a2+b22 （a，b∈R）

，所以由x2+y2-xy=1，得 （x+y）2-1=3xy≤3（x+y2）2，解得-2≤x+y≤2，當且僅當x=y=-1時，x+y=-2；當且僅當x=y=1時，x+y=2，所以A錯誤，B正確.

再看題設等式明顯地含有選擇支C，D中的

x2+y2，需把等量關系轉化為不等量關系，即需把它轉化為關于x2+y2的不等式即可.由x2+y2-xy=1，得 （x2+y2）-1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，當且僅當x=y=±1時取等號，所以C正確.

最后，我們可將x2+y2-xy=1變形為（x-y2）2+34y2=1，隱蔽的結構外形結構類似于sin2θ+cos2θ=1的結構形式，因而設x-y2=cosθ，32y=sinθ，所以x=cosθ+33sinθ，y=233sinθ.因此 x2+y2=23sin（2θ-π6）+43，解得x2+y2∈［23，2］，所以當x=33，y=-33時滿足等式，但是x2+

y2≥1不成立，所以D錯誤.故選BC.

評注 本題對于選擇支A，B可由題設條件，利用基本不等式轉化為關于x+y的不等式；對于選擇支C，D把題設條件轉化為（x-y2）2+34y2=1，聯想類比，引入參數θ，利用輔助角公式把x2+y2轉化為關于θ的三角函數可解，均回歸本源，找到解題的切入點.

2 善抓特殊值，聯想轉化獲解

在許多數學問題中，常常出現具有某種特征的數值.若能從題設中的特值入手，牢牢抓住特值存在的特殊含義，并加以分析、聯想和轉化，往往可迅速找到解決問題的切入點.

例2 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求證 （a+1a）+（b+1b）+（c+1c）≥10.

分析 觀察題設和所要求證的結論中都有數值“1”，我們可以將結論中的“1”用a+b+c來替換，結果會是怎樣？

（a+1a）+（b+1b）+（c+1c）

=（a+a+b+ca）+（b+a+b+cb）+（c+a+b+cc）

=4+（ba+ab）+（ca+ac）+（cb+bc）

≥4+2+2+2

=10，

當且僅當a=b=c=13時取等號.

評注 直接按外部結構特征，使用基本不等式會得到（a+1a）+（b+1b）+（c+1c）≥3，當且僅當a=b=c=1時取等號，這與已知條件不符，所以將所要求證的不等式左端用“1”代換是關鍵，最終回歸到本源，利用基本不等式求證.

3 善抓位置特征，構造獲解

與圖形相關的一些數學問題，如函數圖象、立體幾何、圓錐曲線等問題，若能仔細分析某些關鍵點和線的位置特征，不僅有助于學生厘清解題思路，而且對培養學生探求問題的解決途徑和提高學生解決問題的能力大有裨益[2].

例3 已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（" ）.

A.86π" B.46π" C.26π" D.6π

分析 這是2019年高考數學課標全國Ⅰ卷理科的第12題，主要考查面面垂直模型的外接球問題.如圖1，一方面根據“PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形”的顯性特征可判斷三棱錐P-ABC為正三棱錐，頂點P在底面上的射影O′是正△ABC的中心，球心O必然在PO′上，連接O′A，O′B，O′C，則球內接小圓的半徑為O′A=O′B=O′C=23×32×2=233.

至此，如若缺少條件，就不能求出球半徑.

但又有“E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°”顯性特征，我們可取AC的中點M，連接PM，BM，易證明AC⊥平面PBM.

從而AC⊥PB.

又PB∥EF，EF⊥CE，可得PB⊥CE.

又AC∩CE=C，所以PB⊥平面PAC.

從而PB⊥PA，PB⊥PC.

從而正三棱錐P-ABC的三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，至此我們可將該三棱錐還原成一個以PA，PB，PC為棱的正方體，正方體的體對角線即為球O的直徑.

即2R=6，解得R=62，

所以球O的體積為V=43πR3=6π.

評注 本題根據已知條件推得正三棱錐P-ABC的三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直的位置特征，進而構造正方體，其體對角線就是球直徑，回歸到球內接正方體的性質上來.

4 尋找差異，抓聯系中促轉化

分析數學問題條件和結論的差異，解題就是要消除條件與結論之間的差異，尋求聯系，促成轉化，達到新的平衡.

例4" 已知sinθ+cosθ=2sinα，sinθcosθ=sin2β，求證：4cos22α=cos22β.

分析 這是新人教A版數學必修第一冊P253復習參考題5的第19題，條件中含θ，α，β三個單角，而求證的結論不含角θ，只含α，β的二倍角，主要是角的差異，根據這一差異特征，在推演中消去參數θ，同時要消除函數名的差異.

證明 因為sin2α+cos2α=1，

所以（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ.

把已知條件代入，得

4sin2α=1+2sin2β.

又由降冪公式，得

4×1-cos2α2=1+2×1-cos2β2.

整理，得2cos2α=cos2β.

即4cos22α=cos22β.

評注 本題針對題設與結論的差異，有針對性地把sinθ+cosθ=2sinα兩邊平方，尋找聯系，把已知代入，促成轉化.有關三角函數求值、化簡和證明要觀察角、函數名和結構特征的差異，注意利用整體思想解決相關問題.

5 結束語

總之，解題思路的探索始終是教學的重點，學會“問題解決”是教學的難點和關鍵所在.從題設條件特征分析切入，觀察題中條件的結構特征與數量特征來尋求解題突破口，思維就能進入解題的快車道，無論是簡單的數學題還是復雜的代數題，都可以從題設條件的結構與數量中進行分析，探尋出解題思路的來源，回歸到本源.因此，要想提高自身的數學思維能力，學好數學，提高學習效率，就要抓住題設條件中的核心內容，對問題進行多角度探究，從結構與數量特征關系入手，建立正確的解題思路.不僅能使學生突破這些難點，而且能建構完整的解題框架，提升學生分析問題和解決問題的能力［3］.

參考文獻：

［1］ 劉義鳳.解答高中數學題的三種策略[J].語數外學習，2018（10）：41.

[2] 賴祝華.高中數學解題策略實踐方法[J].數理化解題研究，2019（13）：38-39.

[3] 盧敏.高中數學解題策略的思考[J].中學數學，2016（15）：84-86.

［責任編輯：李 璟］